四川省广元市利州区川师大万达中学2021-2022高一数学下学期5月月考试题

四川省广元市利州区川师大万达中学2021-2022高一数学下学期5月
月考试题
第一部分（选择题，共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的． 1.下列命题中正确的是()
A. OA →－OB →＝AB →
B. AB →＋BA →＝0
C. →
0·AB →＝→
D. AB →＋BC →－DC →＝AD →
D
2.在下列向量组中，可以把向量()2,3=→
a 表示出来的是()
A. ()()2,1,0,021==→
→
e e B ．()()2,5,2,121-=-=→
→
e e C. ()()10,6,5,321==→
→
e e D ．()()3,2,3,221-=-=→
→
e e B
3.在等差数列{}n a 中，若=5a 10，=10a 5，则=15a （ ） A ．15 B ．5- C ．10- D ．0 D
4.2sin θ＋2cos θ＝()
A ．⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
4sin πθ B ．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+
43sin 22πθ C ．⎪⎭
⎫
⎝
⎛+4sin 22πθ D ．⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
4sin 2πθ C
5.设向量a ＝(2tan α，tan β)，向量b ＝(4，－3)，且a ＋b ＝0，则tan(α＋β)＝()
A ．17
B ．－15
C ．15
D ．－17
A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0， ∴tan α＝－2，tan β＝3，
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－（－2）×3＝17
.]
6．已知→
→
→
+=b a AB 2，→
→
→
+-=b a BC 85，→
→
→
-=b a CD 28，则一定共线的三点是()
A ．A 、
B 、
C B ．A 、B 、
D C ．A 、C 、D D ．B 、C 、D B
7.在ABC ∆中，角C B A ,,对应的边分别是.,,c b a 若,cos cos A a B b =则ABC ∆的形状是()
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 D
8.若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c ＝()
A ．－12a ＋32b
B ．12a －32b
C ．32a －12
b D ．－32a ＋12
b
B [设c ＝x a ＋y b ，则
(－1，2)＝x (1，1)＋y (1，－1) ＝(x ＋y ，x －y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，
x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
2，y ＝－32， ∴c ＝12a －3
2
b .]
9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为()
A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30° B [设向量a ，b 夹角为θ，
|c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，
则cos θ＝－1
2，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B.]
10.若一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其最大角与最小角之和等于()
A ．90°
B ．135°
C ．120°
D ．150°
C
11.甲、乙两楼相距a ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30，则乙楼高为()
A ．a 3
B ．a 332
C ．a 33
D ．a 2
3
B
12. 点G 为ABC ∆的重心，AB =2，BC =1，
60=∠ABC ,则→
→
⋅CG AG =()
A ．9
5
- B ．9
8- C ．95 D ．
9
1 A
第二部分（非选择题 共90分）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上） 13.已知向量()
3,1=→
a ，()
3,3=→
b ，则向量→b 在→
a 方向上的投影为__3______.
14.已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →
同方向的单位向量为 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-54,5
3 .
15. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设ABC ∆的面积为S ，S =()
222
4
3c b a -+，则角C 的大小为_3
π
_____．
16．已知()1,1-=→
a ，()3,2+=→
m m b ，当→
a 与→
b 的夹角为锐角时，实数m 的取值范围是_()()3,11,-⋃-∞-_______．
三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)化简求值： （1）
10sin 160cos 10cos 20sin - （2）(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π
12)
答案（1）
2
1
（2）32
18.(本小题满分12分)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；
解(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2
－4a ·b －3|b |2
＝61. 又∵|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－64×3＝－12
， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π
3
.
(2)|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝|a |2
＋2a ·b ＋|b |2
＝42
＋2×(－6)＋32
＝13， ∴|a ＋b |＝13.
19.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若32=a ，
6=b ，
45=A ,解三角形.
解 33,105,30+===c C B
20. (本小题满分12分)已知向量⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=→
21,cos x a ，(
)
x x b 2cos ,sin 3=
→，R x ∈,设函数
()→
→⋅=b a x f .
（1）求()x f 的最小正周期；
（2）求()x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值和最小值.
解(1)f (x )＝sin(2x －
6
π
).
所以f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
(2)函数f (x )最大值为1，最小值为－1
2.
21.(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，AQ →＝QC →，AR →＝13AB →
，BQ 与CR 相交于点I ，AI
的延长线与边BC 交于点P .
(1)用AB →和AC →分别表示BQ →和CR →；
(2)如果AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →
，求实数λ和μ的值； 解(1)由AQ →＝12
AC →
，
可得BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋12AC →.
∵AR →＝13
AB →，
∴CR →＝CA →＋AR →＝－AC →＋13
AB →.
(2)将BQ →＝－AB →＋12AC →，CR →＝－AC →＋13AB →
代入AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →
，
则有AB →＋λ(－AB →＋12AC →)＝AC →＋μ(－AC →＋13AB →)，
即(1－λ)AB →＋12λAC →＝13μAB →＋(1－μ)AC →
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－λ＝1
3μ，12λ＝1－μ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝45，μ＝3
5.
22.(本小题满分12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．
(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；
(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π
3
，求△ABC 的面积．
(1)证明∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，
即a ·a 2R ＝b ·b
2R
，
其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .
由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2
－3ab ，
即(ab )2
－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π
3
＝ 3.。