概率总结_精品文档

{}{}属不可能事件。

很小时，分位表告诉我们，而1),(1),(1
),(,1ˆ,ˆmin ˆ,ˆmax 212
1122
21212
2212
221<<∴<=≥=--k k F F k k F k k F F F αααασσ
σσ
），由此得拒绝域
或即分母分子n n F F A F F P F F F F P (),min()
,max(:,)()(2
2
2212
2212
2
2
1ααααασσσσα>==>=><-
)/()()()
()
()/()2(A B P A P AB P A P AB P A B P =⇒=
条件概率方法： )
/()/()/()()()3(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P 限个事件的情形
乘法公式容易推广到有
全概都用了责任推断贝叶斯，乘法步骤要全了，全概两步要走好，第一变成条件了。

串并系统要可靠，拆桥独立莫忘了。

积概率等概率积，对立
区间次数求和了。

次对立算，至少次了，项次独立实验好，二项通1k n
()()()件且两两互斥
包含了第一步的全部事一般情况下，全概率公式：
n n n B B B B A P B P B A P B P B A P B P A P ++++++= 212211/)(/)(/)()()4(
)
()()(1)()()()()(,,,)5(2121212121n n n n n A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A A A -==独立，则
独立事件公式：若事件
α
αα
σσσσαααα
=><-=≤≤-=≤=≤=--
)(1)(11)1(1.12
2
12
2
122
2
12221F F F F P F F F
P F F P 或；得拒绝域：的置信区间后，求的统计量选取方差比为置信上限置信下限，即假设假设
次的概率为：恰发生次试验中事件，则在为发生的概率次试验事件次独立试验序列中，每在伯努利概型
m A n p p A n )10()6(<<p q q
p C m P m
n m
m
n
n -==-1)(其中∑=-=∴=+n
m m
n m m n q p C q p 0
1,1
二、随机变量及其概率分布
述几点：
同时，还需重点掌握下质，分布与密度的定义和性性质，连续型随机变量义、散变量的概率函数的定首先需要理解并记住离∑∑∈∈===
≤≤b
a b
a I i i
I i i
p x X P b x a P ,,)()(1：）离散变量的区间概率（
了
，
泊松近似伯努里，正数了；比率变二项近似超几何，次品通项记牢了；几何二项泊松好，级数，非负求和规范了；
概括：离散概率函数好np p λ
密度与区间概率：）连续变量的分布函数（3
相减概率了。

概率累加得函数，反向各点左闭区间了；，若求离散分布函了；右左外随机变量有区间，间，非负规范单调了；
概括：连续分布函数好10密度变零了。

随机变量有区间，间外，非负积分规范了，
概括：密度单位区间概
积分伽马了。

系数要正指数负，幂指正好两半了；指数分布正参数，区间分母密度了；均匀分布度量好，放到关系搞清了。

概率分布和密度，三者概括：
.)()()(})({}{)()()()(4)(dy
y dF y f dx x f y X g P y Y P y F y F Y x F x f X Y Y y
x g X Y Y X X =
=≤=≤=⎰≤再求，
，
分布函数的求出或分布函数的概率密度即先通过法，基本的方法是分布函数求变量的函数分布的最）（
未知转成已知了。

连续区间要选好，离散对应和算了；
变量函数求分布，概括一下：
aa X g Y x f X X 的密度的一般方法求的密度已知)()(=
都在全无穷区间上）
与的开区间（注意区间确定区间，由定区间：即求Y X Y X Y )1(
的分布。

的分布求出再利用已知的的区间概率或密度积分视为定点转化成区间将的分布。

通过区间概率的分布转化成变分布：将Y X X y X Y )2( 对应的区间。

或配断点：将断点分配到的密度；
的分布导数得求对求导数10)4(:)3(y Y y
)
(),(6y Y x X P y Y x X P ≤≤=≤≤ ）联合分布实际意义：（
∑⎰∞
+=∞+∞-=+∞==∂+∞∂=1)
,()(),,()(,
),()
,()()7(j j i i X X X y x P x P x F x F dy y x f x x F x f 合密度。

例如：
下（或无穷条件）的联件）是另一变量在完备条边缘密度（概率、分布
二维事件积来算, 这个边缘那必然；
分布函数四等式, 单调非负还规范； 二阶偏导密度函, 概率区域积分办； 样本里面区域圈, 一个定来一个变； 另一变量积边缘, 跟着样本上下限。

联合等于边缘积, 独立计算更方便。

dz
z dF z f dxdy y x f z Y X g P z Z P z F y x f Z Z z
y x g Z )
()(),(}),({)()(),(8),(=
=
≤=≤=⎰⎰
≤且，先求分布再导数
分布的求法，也是通过）两个随机变量函数的（量上下限。

定样本定区间，积分变另一变；代联密无穷积和函，一个密度二维变量函数的分布与z z 三、常用分布: 1.几何分布的意义与形式需要记住
,
)(.2x n x x n q p C x p -=二项分布：
λλ
λλλe k e k k X P k k
k
===
=∑
+∞
=-0
!
,2,1,0,!
}{.3。

且：泊松分布
()求？
二维情况下，密度如何其它均匀分布：⎪⎩⎪
⎨⎧<<-=.
,
0;
,1.4b x a a
b x f ⎩⎨
⎧≤>-=⎩⎨⎧≤>=--0,
00
,1)(;0,00,)()(.5x x e x F x x e x f e x x λλλλ：指数分布 6.尤其是: 正态分布要关注和其它分布的不同点, 除分布函数与密度函数的形式不同以外,
它区别于其它分布的几个重点如下:
值。

；独立可加减，方差均二维不相关，等效独立；标准积分时，关注偶奇；均分，标准求正态P μ
四、数字特征及其计算:
∑∑==+∞
=x
i i i x xP x P x X E )
()()(.11
：均值计算公式，定义法⎰∑∑∞
+∞
-+∞
=+∞==∆==dx x xf x x f x x P x X E X i i i i i i i )()()()(1
1
连续，若
⎰∑+∞
∞
-====dx x f x g x P x g X g E Y E X g Y x
)()()()()]([)()(时，一般方法：
[]⎰
⎰
∑∑∞+∞-∞
+∞
-===dxdy
y x f y x g y x P y x g Y X g E Y X g Z i
j
j i j i ),(),()
,(),(),(),(时，几何级数导概率。

二泊松，必然求和是均值；
概括：离散变量乘概率,
np
λ，指数系数分之一。

加均匀一半，求和变成样本积；概括：连续概率换密度b a 可减独立积。

常数不变系数提，可加出现伽马积。

函数期望代变量，幂指
[])()()]([)(:.212
∑∞
=-==i i i x p X E x X g E X D X 方差：离散
[]⎰
+∞
∞
--==dx x f X E x X g E X D X )()()]([)(:2
连续变量 。

提方，独立加减都加上线性运算：常数为零系 ()⎰+∞
∞-=dx x f x X k k k k )(.3ν阶中心距：阶原点矩与
等价要牢记。

系数为零不相关，三个相关正负一；标准以后相关系，线性积期望减期望积；离差积，协方差底同一补齐；原点矩算中心距，阶降E
2
122ννμ-= 31123323ννννμ+-=
4
12121344364ννννννμ-+-=
中间组合数
系数末了阶凑；阶正负降，不够,11-r r
且：间的关系：注意原点矩与中心距之)(),(21X D X E v ==μ
2122ννμ-= 31123323ννννμ+-=
4.协方差(相关矩):
),(cov Y X [][]{} )( )( Y E Y X E X E --= )
,cov(2)()()()()()(),cov(Y X Y D X D Y X D Y E X E XY E Y X ±+=±-=
.0),cov(=Y X Y X 独立，则、若
5.相关系数:
))
()
(,)()(cov(
),cov(),(**Y Y E Y X X E X Y X Y X R σσ--==
（1）相关系数的计算:
)
()(),cov(),(Y D X D Y X Y X R =
.1),()2(≤Y X R 性质定理：
(3)强相关定理1),(=Y X R ,bX a Y +=
.10;10-=<=>R b R b 时时且
(4)不相关概念
不相关。

与则称随机变量即若Y X Y E X E XY E Y X R ),()()(,0),(==
由定义容易得到不相关的几个等价结论
;0),()1(=Y X R
式得到）（由相关系数的计算公;0),cov()2(=Y X
到）由协方差的均值定理得)(()()()3(Y E X E XY E =
公式推出。

提示：该式方差的加法)
()()()4(Y D X D Y X D +=±),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=± 五、大数定律与中心极限定理
这部分内容包括: 一个不等式: 切比雪夫不等式；两个定理: 列维林德伯格中心极限定理和隶莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

三个定律: 切比雪夫大数定律, 伯努利大数定律和辛钦大数定律。

2
)
(})({ε
εX D X E X P ≤
≥-于估计概率切比雪夫不等式主要用
即概率。

率依概率收敛于发生的频次独立试验中，个是收敛于它的期望，另一依概率个独立变量和的平均值三个大数定律一个是)(A P A n n 的随机变量适用。

定的服从二项分布而后一个定理只对于特适合，
项部分和的标准变量都变量序列前期望同方差存在的随机同何相互独立的，同分布林德伯格定理对对于任是不同的；列维，但是应用范围及极限分布是正态分布两个中心极限定理都涉),(-p n B n
分布具体时。

独立样本同总体，三同出个独立和，标准正态解欲求极限标正趋；一独三同和标准，中心收敛概率值；切比雪夫不等式，频率;
P n
六: 数理统计部分:
值相同。

布；分布明确，方差均样本独立，与总体同分样本与总体的关系：
.1
样本统计量.2 ；均值：平样本∑==n
i i X n X 1
1)(
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==212212
11)(11X n X n X X n S n i i n i i 样本方差：
，阶原点矩：样本∑==n i k i k X n V k 11 ()
，阶中心矩：样本∑=-=n
i k i k X X n U k 1
1
3.数理统计中的4个常用分布
分布三倒性。

两个单位卡方比，对称；
比它根内单位卡方值，标正具有可加性；
标准正态方求和，卡方正态亦可用；
变量开始分位点，标准F t )(~),1,0(~,/),(~2
k Y N X k
Y X t k t t F t χ=则若分布的关系：
分布和注意
)1,(~1
),1(~/1/),1(~222
2
2
k F t
k F k Y X t X ，即：则：=χ
4.常用正态统计量
，均降一级。

横批：正态总体换参数样本，方差之比；卡方分布，总体均值换右：样本标准平方和，；
变标准以后换方差，分布方差除左：样本均值仍正态，可用一副对联总结：
t n ,
5.点估计
均无偏
看期望：样本均值方差数，导数为零。

似然法：样本概率积对矩，一阶常用；
矩估计：样本总体原点 6.概括区间估计:
分位双一半。

利用统计估参数，单侧度须降级算，总体未知样本换，自由分位左一减。

卡方置信估方差，右限；区间，对称上下限两边估标正μt
7.假设检验概括:
算。

，标正估，方差比均值差单侧等两边。

假设有等有不等，不等以后才检验。

置信以外拒绝域，代值水平无一减；假设参数置信间，显著F 10。