2020-2021学年江苏省南京市高考数学三模试卷及答案解析

江苏省南京市高考 数学三模试卷
一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）
1 .已知集合 M={0, 2, 4}, N={x|x=^, aC M},则集合 M PN= _________ .
2
2 .已知0vav2,复数z 的实部为a,虚部为1,则忆|的取值范围是 .
3 .若直线li ： x+2y-4=0与I2： mx+ （2-m ） y-3=0平行，则实数 m 的值为.
4 .某校有A, B 两个学生食堂，若 a, b, c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人 不在同一个食堂用餐的概率为
5 .如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是
开
始 a 4— a
结束
6 . 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人，并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000人中 再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查，则在［2500, 3000）（元）月收入段应抽出
10001500 20OT 2500 如网
J50O 4Mo
f 频率组距
月收入:
元）
7 .已知l 是直线，“、3是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 .(填所有真命题的 序号) ①若 l // a, l// 3,则 a// 3 ②若△ 3, l// a,则 口 3
③若 l // a, a// 3,则 l // 3 ④若吐 a, l // £ 则 a1 3
8 .如图，抛物线形拱桥的顶点距水面
4m 时，测得拱桥内水面宽为 16m ；当水面升高3m 后,
9 .已知正数a, b, c 满足3a-b+2c=0,则』占的最大值为 .
10 .在^ ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 a 的,b=3, sinC=2sinA,则△ ABC 的 面积为. 11 .已知S n 是等差数列｛4｝的前n 项和，若S 2>4, S 4< 16,则比的最大值是
12 .将函数f (x) =sin (2x+ 0)( - 不< 9<——)的图象向右平移 4 (0v <K 兀)个单位长度后 bi 得到函数g (x)的图象，若f (x), g (x)的图象都经过点 P (0,1])，则4的值为.
13 .如图，在半彳仝为1的扇形AOB 中，/AOB=60°, C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点 巳则加,而
的最小值是 o B
一 .一 , 一 ............... .. ........... Q ill . ........ 14 .用min{m, n}表布m, n 中的取小值.已知函数 f (x) =x+ax3~, g (x) = - lnx,设函数h (x) =min{f (x), g (x) } (x>0),若h (x)有3个零点，则实数 a 的取值范围是 .
二、解答题(共6小题，满分88分)
15 .在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (cos 0 , V2| sin 9), B (sin 0 , 0),其中 OCR.
2 兀一一 一 ..........
(i)当9=
,求向重AB 的坐标； (n )当° e [0,时，求麻|的最大值
.
拱桥内水面的宽度为 m . <—16 ----- >
16.如图，在四棱锥E- ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O, EC，底面ABCD, F 为BE的中点.
(1)求证：DE//平面ACF;
(2)若AB=J^CE,在线段EO上是否存在点G,使得CG，平面BDE?若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.
17.如图，某水域的两直线型岸边l i, 12成定角120。

，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点
A相距1公里的D处有一固定桩.现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC (B, C分别在11和12上)，围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里.设AB=x公里，AC=y* 里.
(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；
(2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？
18.已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线1" x=-2的距离为d1，到点F(- 1, 0)的距离
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，直线1与椭圆C交于不同的两点A, B (A, B都在x轴上方)，且
/OFA+/ OFB=180°.
(i)当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线1的方程；
(ii)是否存在一个定点，无论/ OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标;
若不存在，请说明理由.
19.已知函数g (x) =2alnx+x2 — 2x, aC R.
(1)若函数g (x)在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；
(2)设A, B是函数g (x)图象上的不同的两点，P (x°, y°)为线段AB的中点.
(i)当a=0时，g (x)在点Q (x0, g (x。

))处的切线与直线AB是否平行？说明理由；
(ii)当aw0时，是否存在这样的A, B,使得g (x)在点Q (x。

，g (x。

))处的切线与直线AB 平行？说明理由.
20.已知数列｛a n｝, ｛b n｝满足b n=a n+i- a n,其中n=1, 2, 3,….
(I )若a i=1, b n=n,求数列｛4｝的通项公式；
(II)若b n+i b n i=b n (n>2),且b i=1, b?=2.
(i )记C n=%n-1 (n>1),求证：数列｛C n｝为等差数列；
(ii)若数列｛2］中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求a i应满足的条件.
n
［选彳4-1 :几何证明选讲］
21.如图，△ ABC内接于圆O, D为弦BC上一点，过D作直线DP//AC,交AB于点E,交圆O 在A点处的切线于点P.求证：△ PA® ABDE.
［选彳4-2 :矩阵与变换］
、，- 一，，，，、一，|兀A，，、，、，一，一，，、，-，-- 、，一，一，，、，-，--
22.变换T i是逆时针旋转下角的旋转变换，对应的变换矩阵是M"变换T2对应的变换矩阵是
/ 1 1］
M2- .
Lo 1」
(1)点P (2, 1)经过变换Ti得到点P',求P'的坐标；
(2)求曲线y=x2先经过变换T i,再经过变换T2所得曲线的方程.
［选彳4-4 :坐标系与参数方程］
23.在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A, B
।口二口。

Q
分别在曲线Ci：J C (。

为参数)和曲线C2：k1上，求AB的最大值.
U=4f2sin0
［选彳4-5 :不等式选讲］
24.已知：a> 2, xCR.求证：|x―1+a|+|x— a|> 3.
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px (p>0)的准线l与x轴交于点M,过M的
直线与抛物线交于A, B两点.设A (x1，yj到准线l的距离为d,且d= Xp (入>0).
(1)若y1=d=1,求抛物线的标准方程；
⑵ 若氤+入彘=5,求证：直线AB的斜率为定值.
26.设f (n) = (a+b) n (nC N*, n>2),若f (n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系
数依次成等差数列，则称f (n)具有性质P.
(1)求证：f⑺具有性质P;
(2)若存在nW 2016,使f (n)具有性质P,求n的最大值.
参考答案与试题解析
一、填空题(共14小题，每小题3分，满分42分)
1.已知集合M={0, 2, 4}, N={x|x丹，aC M},则集合M PN= {0, 2}.
2 --------
【考点】交集及其运算.
【分析】把M中元素代入x=二确定出N,求出两集合的交集即可.
【解答】解：把a=0,代入得：x=0;把a=2代入得：x=1;把a=4代入得：x=2,
N={0, 1, 2},
,. M={0, 2, 4},
M PN={0, 2},
故答案为：{0,2}
2.已知0vav2,复数z的实部为a,虚部为1,则忆|的取值范围是(1,炳) .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】由复数z的实部为a,虚部为1,知忆尸再由0va<2,能求出|z|的取值范围.
【解答】解：二.复数z的实部为a,虚部为1,
•■•izi=m
••-0<a<2,
•■-1<|z|=Va^+l<V5.
故答案为：(1,伺.
...小一, 、...—， (2)
3.右直线I/ x+2y-4=0与12：mx+ (2-m) y-3=0平仃，则头数m的值为不~ .
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】直线1" x+2y- 4=0与12：mx+ (2-m) y-3=0平行，直线11的斜率存在，因此直线12 的斜率也存在.化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出.
【解答】解：二•直线11：x+2y - 4=0与12：mx+ (2-m) y-3=0平行，直线11的斜率存在,
，直线12的斜率也存在.
两条直线的方程可以化为：y=--x+2; y= 、x+「
士TTl 占上ID
-m , 3
2-ID-2,22F
“ m2
解得：m=—.
J
，9
故答案为：—.
4.某校有A, B两个学生食堂，若a, b, c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人
3
不在同一个食堂用餐的概率为—.
一Q!-
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出
【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，
根据乘法原理可知：共有23=8中选法；
其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有8-2=6;
他们不同在一个食堂用餐的概率为；=：. __ _
故答案为：彳
5.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是20 .
开始
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环Z构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=5, S=1
满足条件a> 4,执行循环体，S=5, a=4
满足条件a> 4,执行循环体，S=20, a=3
不满足条件a>4,退出循环，输出S的值为20.
故答案为：20.
6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中
再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500, 3000）（元）月收入段应抽出25人.
【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500, 3000）内的频率，再计算所需抽取
人数即可.
【解答】解：由直方图可得[2500, 3000)(元)月收入段共有10000 >0.0005>500=2500人
按分层抽样应抽出250。

x人
故答案为：25
7.已知l是直线，“、3是两个不同的平面，下列命题中的真命题是④.(填所有真命题的
序号)
①若l // % l// 3,则a// 3 ②若3, l // %则l1 3
③若l // a, a// 3,则l // 3 ④若吐a, l // £则a1 3
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】利用线面平行、面面平行线面垂直的判定定理和性质定理对四个命题逐一分析解答.
【解答】解：对于①若l// a, l// 3,则"与3可能相交；故①错误；
对于②若0a 3, l// /,则l与3可能平行；故②错误；
对于③若l//a, ///工则l可能在3内，故③错误；
对于④若l，a, l// 3,由线面垂直和线面平行的性质定理，以及面面垂直的判定定理，可得
3,故④正确；
故选：④
8.如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m后，拱桥内水面的宽度为8 m.
*--16 ----- •
【考点】椭圆的应用.
【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程, 求得点的坐标，也就得到水面的宽.
【解答】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系
设其方程为x2=2py (pw0), •「A ( 8, - 4)为抛物线上的点
，64=2px (—4)「. 2p=—16,抛物线的方程为x2= - 16y
设当水面上升3米时，点B的坐标为(a, - 1) (a> 0)
.•.a2= (T6) x (-1)
a=4
故水面宽为8米.
故答案为：8.
9.已知正数a, b, c满足3a-b+2c=0,则乜资的最大值为
【考点】基本不等式.
【分析】消去b,结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案.
【解答】解：根据题意，设t=^,
由3a- b+2c=0 可得3a+2c=b,
当且仅当a=c时="成立，
贝U tw返,即一12
b
故答案为：-j-y.
10.在^ ABC中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,且a=/5, b=3, sinC=2sinA,则△ ABC的
面积为3 .
【考点】正弦定理.
【分析】由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解：在^ ABC 中，= sinC=2sinA, a=/亏，b=3,
由正弦定理可得：c=2a=2\花,
，由余弦TE理可得：cosB= ---- ------ 三口7加丁^^L,可得:sinB=/l - 皿口 E 芍，] L 3
S AAB C=_acsinB=y X, X 2^5 ^y=3.
故答案为：3.
11 .已知S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 2>4, S 4< 16,则%的最大值是
9 .
【考点】等差数列的前 n 项和.
【分析】由 S2>4, S 4W I6,知 2a i +d>4, 4a i +6d< 16,所以 16>4&+6d=2 (2a [+d) +4dR8+4d, 得到d< 2,由此能求出a 5的最大值. 【解答】解：: S 2A4, S 4W 16,
a 1+a 2>4,即 2a 1+d>4
a 1+a 2+a 3+a 4W 16,即 4a 〔+6dw 16
所以 16>4a 1+6d=2 (2a [+d) +4d>8+4d, 得到d<2,
所以 4 (a 1+4d) =4a 〔+6d+10dw 16+20, 即 a §w 9
• .a 5的最大值为 9.
故答案为：9.
【考点】正弦函数的图象. P(0, 一不)，且一司V 0工 ，可得0=7
又由g (x)的
图象也经过点P (0, 胃)，可求出满足条件的。

的值
JI X 兀
【解答】解：将函数 f (x) =sin (2x+0) (--< )的图象向右平移 位长度后，
得到函数 g (x) =sin[2 (x- (()) + 0]=sin (2x-2())+。

)的图象,
12.将函数 f (x) =sin (2x+0)(一
得到函数g (x)的图象，若f (x),
7U
7
)的图象向右平移 4 (0V(f)v 兀)个单位长度后
g (x)的图象都经过点 P (0, ),则4的值为
【分析】由f (x)的图象经过点
())(0 v())< 兀)个单
若f (x), g (x)的图象都经过点 P (0,悸),
, IT __ ，一， 一一一一一一.
― 2 j=2k 兀.，kCZ,此时 (f)=kit, kC Z,不满足条件：0 V(f)< 兀;
J
" _ , 2
兀
--—2 *2k 兀+——
3
3
故答案为:
13.如图，在半彳至为1的扇形AOB 中，/AOB=60°, C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P,则
的最小值是―—言—
o B
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据题意，可以得到^ OAB 为等边三角形，则AB=1,设BP=x,则AP=1-x, (0<x< 1), 利用向量加法的三角形法则，将则
屈•而向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到
关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案. 【解答】解：= OA=OB=1, /AOB=60°,
・•.△OAB 为等边三角形，则 AB=1,
设 BP=x,贝UAP=1-x, (0WxW1),
OP-BP = (OA +A P) •丽
=—」+一, P
=I OA I?l BP |cos <OA 1 BP>+I AP I?BP |cos <AP, BP> 兀 =1 ^K*COS —-+ (1 — x) ?x?cos 兀 J
_ 2 _X T 2 *
sin 0=. V3 冗
0=-
3
兀 ~3
-2力)=容,
,k C Z,此时(f)= - k Tt- ,sin (—24+0)
,k€Z,故
ix-即2-需'
,.-0<x< 1 ,
，当x=/时，而।而取得最小值为一故答案为：一上-.
14.用min{m, n}表示m, n中的最小值.已知函数f (x) =x3+ax+j-, g (x) = - lnx,设函数h (x) 5 3 =min{f (x),g(x) } (x> 0),若h (x)有3个零点，则实数a的取值范围是(一丁，一丁) .
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】由已知可得a< 0,进而可得若h(x)有3个零点，则J 甫<1, f (1) >0, f(J J)
<0,解得答案.
【解答】解：= f (x) =x3+ax+^j-,
•・f' (x) =3x2+a,
若a>0,则f' (x) >0恒成立，函数f (x) =x3+ax号至多有一个零点，
此时h (x)不可能有3个零点，故av 0,
令f' (x) =0,则x=
- g (1) =0,
・•・若h (x)有3个零
点,
-3<a<0
5 3
解得：aC (-石，-卞),
……_5 3
故答案为：(石，
二、解答题（共6小题，满分88分）
15.在平面直角坐标系 xOy 中，点A （cos 。

，sin 。

），B （sin 。

，0）,其中
2K| ，、. ―，，.
（I ）当。

二中，求向重用的坐标；
（口）当9 c ［0 ,百］时，求凝|的最大值. 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
9 K ―p.
【分析】（i ）把。

=丁 代入,求出向量 四的坐标表示;
-'-^2 -^2sin(2 6 +今)
即1瓦1的最大值是
16 .如图，在四棱锥 E- ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O, EC ，底面 ABCD, F 为BE 的
中点.
(1)求证：DE//平面ACF;
€ R.
（n ）由向量密求出|研|的表达式，在 ［0,
］时，求出标|的最大值.
■…..
r
2兀
【解答】解：（I ）当
0=——
时，向量A S =（
2死
"T
，0- . ：si 一,%1 =(养」 =(："
2
(n ) =向量标=(sin 0 — cos 0, — -/Ssin 0),
1
白后.：二iri 」一二二U 「। 一 .「’Ji
=V ：|'
'-| ''' -|'7
i-
・•・当 [0,
7U
71
彳］时，2。

+五
7U [
],
兀
「.sin (2。

+-
7 V-2sin (2 0+
JC
7
sin(28+丁);
(2)若AB=^CE,在线段EO上是否存在点G,使得CG，平面BDE?若存在，请证明你的结论;
若不存在，请说明理由.
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.
【分析】(1)利用正方形的性质以及中线性质任意得到OF// DE,利用线面平行的判定定理可证；(2)取EO的中点G,连接CG,可证CG± E0,由EC± BD, AC± BD,可得平面ACEL平面BDE, 从而利用面面垂直的性质即可证明CGL平面BDE.
【解答】(本题满分为14分)
证明：(1)连接OF由四边形ABCD是正方形可知，点0为BD的中点，又F为BE的中点，
所以OF// DE,…
又OF?平面ACF, DE?平面ACF,
所以DE//平面ACF…
(2)在线段EO上存在点G,使CGL平面BDE,
证明如下：取EO的中点G,连接CG,在四棱锥E- ABCD中，AB=/2CE, CO=T1-AB=CE
所以CG± E0.…
又由EC底面ABCD, BD?底面ABCD,
所以EC± BD.…
由四边形ABCD是正方形可知，AC± BD,又ACAEC=C
所以BD,平面ACE,而BD?平面BDE,…
所以，平面ACEX平面BDE,且平面ACEH平面BDE=EQ
因为CG± EO, CG?平面ACE,
所以CGL平面BDE.
17 .如图，某水域的两直线型岸边 11, 12成定角120。

，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点 A 相距1公里的D 处有一固定桩.现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网
BC (B, C 分
别在11和12上)，围出三角形 ABC 养殖区，且 AB 和AC 都不超过5公里.设AB=x 公里，AC=v ，公 里.
(1)将y 表示成x 的函数，并求其定义域；
【分析】(1)由S AABD +S A AC D =S A ABC ,将y 表示成X 的函数，由0<y< 5, 0<x<5,求其定义域;
出结论.
TpsinSC 6 3仍dnl200 ,
L-j
a
所以x+y=xy,所以y= 又 0vyW5, 0vxW5,所以«WxW5, 所以定义域为 仅卜< xW5｝；
1 1 y
、后天2 5
(2)设△ ABC 的面积为 S,则结合(1)得：S=7xysinA=7・K ・ --------- r * sin120°=-^一厂 (― <
2|
2 x-1 4(x- 1)。

1 I _
« _
(2) S —xysinA=5 乂 工 _ ［飞所120
4Ci- 1) 5
(y<x<5),变形，利用基本不等式，即可得 【解答】解：(1)由 S A ABD +S A ACD =S A ABC,得
x< 5)
———=(X— 1) +--TT+2>4,当仅当X- 1=——T,x=2 时取等号.
X-1 X- 1 l]
故当x=y=2时，面积S取最小值仃平方公里.
答：该渔民总共至少可以围出追平方公里的养殖区.
18.已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线li： x=-2的距离为di,到点F(- 1, 0)的距离
为d2,且产=毕. 夫上
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A, B (A, B都在x轴上方)，且
/OFA+/ OFB=180°.
(i)当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；
(ii)是否存在一个定点，无论/ OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)设P (x, y),则d1=|x+2|, d2=J&+1 )y L由此利用Q■二三3，能求出椭圆C
的方程.
(2) (i)由(1)知A (0, 1),又F(- 1, 0),从而k A=1, k BF=- 1,直线BF 的方程为：y=- (x+1) =-x- 1,代入1厂+y2=1,得3x2+4x=0,由此能求出直线AB的方程.
化简，得二 =1.
.二椭圆C 的方程为——+y2=1 .
La
1-0
(2) (i)由(1)知 A (0, 1),又 F (― 1, 0), kA 耳my =1,
・. /OFA+/ QFB=180°, k BF = - 1,
・・・直线 BF 的方程为：y=- (x+1) =-x- 1,
2 d
代入方2=1,得 3x 2
+4x=0,
(ii) / OFA+Z QFB=180°,k AF +k BF =0,
设直线AB 的方程为y=kx+b,代入*+y2=1,
(ii) k AF +k BF =0,设直线AB 的方程为y=kx+b,代入
+ y 2=1, 由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能推导出直线 AB 总经过定点
x 2+ 2k b " -
1=。

,
M (—2, 0).
【解答】解：(1)设P (x, y),二•点P 是椭圆C 上的任一点, P 到直线li ： x=-2的距离为d i,到点F ( - 1, 0)的距离为d 2, --= d
l
••・d i =|x+2|, d
2=y(y+l ) + y ， 由一国一2，
… __ 4
解得玄=0,冗2一一 N ，
，直线AB 的方程为y —r+l.
依工廿b)(工(k x.2+b) (工
[+1)(工？+l) (kx i +b)(X 2+I) + (网+b) (x i +1)
=2kx i X 2+ (k+b)(X 1+X 2) +2b b 3
=2kx g ] - ( k+b) x & 1 +2b=0,
F k 4T
••.b- 2k=0,
・•・直线AB 的方程为y=k (X +2), ・・・直线AB 总经过定点M (-2, 0).
19.已知函数 g (x) =2alnx+x 2- 2x, aC R. (1)若函数g (x)在定义域上为单调增函数，求 a 的取值范围；
(2)设A, B 是函数g (x)图象上的不同的两点，
P (xo, yo)为线段AB 的中点.
(i)当a=0时，g (x)在点Q (xo, g (xo))处的切线与直线 AB 是否平行？说明理由；
(ii)当awo 时，是否存在这样的 A, B,使得g (x)在点Q (xo, g (xo))处的切线与直线 AB 平行？说明
理由.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)求出g (x)的导数，由题意可得 g' (x) > o 对x>o 恒成立，即为a> x- x 2
对x> o 恒成立，求出右边函数的最大值，即可得到 a 的范围；
(2) (i) a=o 时，求出g (x)的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，结合 中点坐标
公式，即可得到结论；
得(k ， 设 A (x i, y 1) , B(X 2, v2 ，则 叼 F —
-7-
k4
/J k+2
1•
k AF +k BF = V1 町+工叼+1
= 工1
+1 二0,
2kb
(ii)当aw0时，假设存在这样的
A, B,使得g (x)在点Q
(x^ g(X0))处的切线与直线 AB
平行.由两直线平行的条件：斜率相等，化简整理，结合中点坐标公式，化为l -二 ................. -
9 Z
1 + K
2
量 L
— L) 设t= (0vtv1),记函数h (t) =lnt ------------ ,求出导数，判断单调性，即可得到结论.
工 2 t+1
【解答】解：(1)函数g(X)的定义域为(0, +8),
g (x)的导数为 g ，(x)生+2X —2
/1'* _
,
£ x
若函数g (x)在定义域上为单调增函数，可得 g' (x) >0对x> 0恒成立， 即为a>x- x 2
对x>0恒成立，
(2) (i) a=0 时，g (x) =x 2- 2x, g'(x) =2x- 2, g' (x0) =2x0- 2,
设 A (xi, g (x“)，B (x2, g (旭))，(0vxi 〈x2),
可得x 0= '
2
(K 14-X 2-2)(K
：1
-K 2^
------------------------ =x 1 +x 2 — 2=2x 0 — 2,
则g (x)在点Q (x0, g (x 。

))处的切线与直线 AB 平行;
(ii)当aw0时，假设存在这样的 A, B,
使得g (x)在点Q (比，g (x0))处的切线与直线 AB 平行.
式工 I)- g( JS r)
可得 g' (x0)= --------------- , 町产s
2
2a
nx 1 + K 1 - 2 K ] -：.
2十工之 一 士工2)
灯一 X , K [ _ X?
nrt
1
则 a>
即..+2x0 — 2=
工0 X] _ 2
【解答】解：(I )当n>2时,
叼2(
即 ln -- =
K
2
记函数h 则 h' (t)
+x 1+x 2 — 2,
(t) =lnt -
1)
t+1
t tt+1 )
T ) 2 = -- t(t+l )2
>0,
可得h (t)在(0, 1)递增,
可得当 0v tv 1 时，h (t) v h (1) =0, 即万程lnt=———在区间(0, 1)上无解,
故不存在这样的A, B,使得g (x)在点Q(X0, g(X0))处的切线与直线 AB 平行.
20.已知数列{a n }, {b n }满足 b n =a n+i- a n,其中 n=1, 2, 3,….
a i =1,
b n =n,求数列｛4｝的通项公式;
(n
b n+i b n i =b n (n>2),且 >=1, b ?=2.
C n =%n-1 (n>1),求证：数列｛c n ｝为等差数列;
(ii
若数列 在］中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求
n
a 1应满足的条件.
【考点】数列递推式；等差关系的确定.
【分析】(I)根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列
｛a n ｝的通项公式;
(n ) ( i )先根据题中已知条件推导出
b n+6=b n,然后求出 C n+「C n 为定值，便可证明数列｛G ｝为
等差数列;
(ii)数列｛%n+i ｝均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当
7i
a .二— 6
心)是否满足题中条件，便可求出
国应满足的条件.
由一；
1
c 2Qln- +x 1+x 2 - 2= 12 K
1 -
时和当-j 时，数列
有 a n =a i + (a 2 - a" + ⑶-a 2) +…+ (a 「a^ 1)
=a 1+b 1+b 2+" +b n 1
Gi - 1) X 口 n 2 ” =H ------- --- ―丛+1 . L
2 2 2 1
又因为a 1=1也满足上式，
2
所以数列｛a n ｝的通项为 %号 -y+1. ka
fi-B
(II)由题设知：b n>
0,对任意的 nC N *有 b n+2b n = b n+1, b n+1b n+3=b n+2得 6+3%=1 ,
于是又 b n+3b n+6=1 ,故 6+6=%
「• b 6n-5 = 4=1 , b 6n-4=b 2=2, b 6n 3=b 3=2, b 6n-2=b 4=1,
］二 b 5 ，b
C-J
(i ) C
n+1 - c
n
=a 3n+5 - a 6n - 1=b 6n - 1
+b
6n +b 6n+1+b 6n+2+b 6n+3+b
6n+4
=l +2+■二 T ( n> 1
),
所以数列｛C n ｝为等差数列.
(ii )设 d n =a 6n+i (n>0),(其中 i 为常数且 iC ｛1, 2, 3,4, 5, 6｝),
所以d n+1 — d n =%n+6+i — a 6n+i =b 6n++b 6n+i+1 + b 6n+i+2+b 6n+i+3+b 6n+i+4+b 6n+i+5=7 ( n - 0) 所以数列｛%n+｝均为以7为公差的等差数列. 7 7；
设F —二产/
注至6
侬)+气-丁 安-、
“―6k+i _ i+6k — i+6k -6 i+6k
(其中 n=6k+i (k>0), i 为｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝中
的一
71 0 7
当久-6时，对任息的 n=6k+i 有 ------ =& ；
J q …c …L … -L 4 由久一6 , iC ｛1, 2, 3, 4, 5,
6｝知耳］一6 ・ 3，
此时看重复出现无数次. 7
；
-生
■工
当％#［时，
_千__^_6 M $ 十1 j-6(k+l)+i &k+i
=U
i 6 JL ［6(k+l) + i ］(6k+i))
一个常数）， 工」I ，X 2 3 6 2'
l-（a -空）（.」…’--L 一，16 八&（k+D+i 6kfi
①若露:一土，则对彳i意的kCN有fk+Vfk,所以数列1曳如J为单调减数列;
1 6 x6k+i J
②若加〈一土，则对任意的kCN有f k+i>f k,所以数列泮"］为单调增数列; 1 6 6k+i
净迎｝(i=l, 2, 3, 4, 5, 6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次, x6k+i」
即数列｛m｝中任意一项的值最多出现六次.
综上所述：当〜€匕，*，t Y，-与二日时，数列01｝中必有某数重复出现无数
，h J A h. 工一,」
次.
a
当ai? B时，数列｛3］中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.
n
［选彳4-1 :几何证明选讲］
21.如图，△ ABC内接于圆O, D为弦BC上一点，过D作直线DP//AC,交AB于点E,交圆O 在A点处的切线于点P.求证：△ PA® ABDE.
【考点】相似三角形的判定.
【分析】由题意，根据相似三角形的判定方法，找出两组对应角分别相等，即可证明^ PAE^A BDE.
【解答】证明：: PA是圆O在点A处的切线，
/ PAB=Z C.
・ , PD // AC,
/ EDB=Z C,
/ PAE=Z PAB=Z C=Z BDE.
又・. / PEA=Z BED,
. PA ® △ BDE
［选彳4-2 :矩阵与变换］
、，- 一，，，，、，। 兀 A ，，、，、，一 ，一，，、，-，-- 、，一
，一，，、，-，--
22.变换T i 是逆时针旋转二二角的旋转变换，对应的变换矩阵是
M"变换T 2对应的变换矩阵是
/ 1 1］
M 2- .
Lo iJ
(1)点P (2, 1)经过变换Ti 得到点P',求P'的坐标； (2)求曲线y=x 2
先经过变换T i,再经过变换T 2所得曲线的方程.
【考点】几种特殊的矩阵变换.
求得点P 在T i 作用下的点P'的坐标;
变换T 2所得曲线的方程.
M i
所以点P 在T i 作用下的点P'的坐标是(-i, 2);
，、 〜1 一
(2) M=M 2?M i =
1 0
设［T 是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是
y. co
【分析】(1)变换Ti 对应的变换矩阵
M i =
7T
7T
.71
-
sin ——
2 兀
，M i
(2) M=M 2?M i =
翼口
,代入y=x 2
, 即可求得经过
【解答】解：(i) T i 是逆时针旋转 7U
~2
角的旋转变换, M i =
7T
8s
T
7T
T
.71 - sin-^-
兀
8/
y.
富武V
所以所求的曲线方程为 y- x=y 2
.
［选彳4-4 :坐标系与参数方程］
23 .在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点
A, B
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】把曲线 Ci 的参数方程化为普通方程，把曲线 02的极坐标方程化为直角坐标方程，求出
圆心距离，即可得出最大值.
2=4, 曲线G 是以（3, 4）为圆心，1为半径的圆；
曲线C2：k1 ,化为直角坐标方程：x 2
+y 2
=1,是以（0, 0）为圆心，1为半径的圆, 可求得两圆圆心距|GC2|二' ，卢5
,
AB<5+2+1=8,，AB 的最大值为 8.
［选彳4-5 :不等式选讲］
24 .已知：a> 2, xCR.求证：|x- 1+a|+|x- a|> 3.
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】利用|m|+|n|刁m - n|,将所证不等式转化为：|xT+a|+|x- a|刁2aT|,再结合题意a>2 即可证得.
【解答】证明：: |m|+|n| > |m - n|,
|x- 1+a|+|x- a|> |x- 1+a- （ x — a ） |=|2a- 1|.
又 a>2,故|2a- 1|>3.
|x - 1+a|+|x- a|> 3 （证毕）.
也就是
而三
分别在曲线Ci ：
x=3+2cos 日 y=4+,2sin Q
（9为参数）和曲线 02：尸1上，求AB 的最大值.
【解答】解：曲线Ci ：
K =3+2COS ♦
y=4+2sin 8
（0为参数），消去参数0化为曲线Ci ： （x-3） 2
+ （y-4）
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px (p>0)的准线l与x轴交于点M,过M的
直线与抛物线交于A, B两点.设A (x i, y i)到准线l的距离为d,且d= Xp (入>0).
(1)若y i=d=l,求抛物线的标准方程；
(2)若氤+入藤=6 求证：直线AB的斜率为定值.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)由题意可知x i=1 ，，A点坐标为(1 f 的
值，写出抛物线的标准方程；
(2)直线AB过M 0),设直线AB的方程为y
卜2 2
y,整理得请/忤5？ - 2)"- j二Q,解出x i、x2 O +入
AL=。

，可知，K ［号三八 (工会一耳［),将xi、线AB的
斜率为定值.
【解答】解：(1)由条件知，x i=1号，则A点坐标为 .♦・
抛物线方程为y2=2x,
1),将A点坐标代入抛物线方程求得p
=k (x+^),代入抛物线方程y2=2px,消去
,将d=x1写，代入d= ^p,得冥］号二入P ,
x2代入，即可解得小工2近一2 ,可证直
(1 -y，1),代入抛物线方程得p=1,
工)，
将直线AB的方程代入y2=2px,消去y得：k
铲/日-p(k2- 2) - 2py/i- k2
解得：x1------------ ------------ , x2=
二k
d=入p,
12 2
~ p(k2一幻+25/1 - k2
2k?
氤+
而=6，K1玲八(工之一〜),
・•・直线AB 的斜率为定值.
26.设f (n) = (a+b) n
(nCN, n>2),若f (n)的展开式中，存在某连续
3项，其二项式系
数依次成等差数列，则称 f (n)具有性质P.
(1)求证：f ⑺具有性质P;
(2)若存在nW 2016,使f (n)具有性质P,求n 的最大值.
【考点】二项式定理的应用.
【分析】(1)利用二项式定理计算可知 f (7)的展开式中第二、 三、四项的二项式系数分别为 7、
21、35,通过验证即得结论；
⑵ 通过假设C1T +C 俨=2C±化简、变形可知(2k-n) 2=n+2,问题转化为求当n<2016 时n 取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论.
1
一,
3
【解答】(1)证明：f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为 C ：=7、C ；=21、C ；=35,
C 丁 + C ；=2C 『，即匚］、C,成等差数列， .•.f (7)具有性质P ；
(2)解：设f (n)具有性质P,则存在kCN*, 1Wkw n-1,使C1—l 、成等差数列，
所以 +% =2j,
整理得：4k2—4nk+ (n 2
—n —2) =0,即(2k- n) 2=n+2, 所以n+2为完全平方数，
又 nW2016,由于 442
V 2016+2V45：
所以n 的最大值为 442- 2=1934,此时k=989或
945.。