高考数学二轮复习 专题八 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想提升训练 理

第1讲 函数与方程思想、数形结合思想
一、填空题
1．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
－2x －2＝0相切，则实数m ＝________．
解析 圆的方程(x －1)2
＋y 2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m |3＋1
＝3
⇒|3＋m |＝23⇒m ＝3或m ＝－3 3.
答案 －33或 3
2．(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是
________．
解析 因为a 8＝a 2q 6
，a 6＝a 2q 4
，a 4＝a 2q 2
，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6
＝a 2q 4
＋2a 2q 2
，消去
a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.
答案 4
3．若不等式|x －2a |≥1
2x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．
解析 作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤1
2
.
答案 ⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12
4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |
的最大值为________．
解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →⊥CB →
，
∴O ，A ，C ，B 四点共圆．
∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →
|＝ 2.
答案
2
5．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集
为________． 解析 f ′(x )＞2转化为f ′(x )－2＞0，构造函数F (x )＝f (x )－2x ， 得F (x )在R 上是增函数．
又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )＞2x ＋4， 即F (x )＞4＝F (－1)，所以x ＞－1.
答案 (－1，＋∞)
6．已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2
，
则方程f (x )＝lg x 解的个数为________．
解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0，10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数．
由图象可知共9个交点．
答案 9
7．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则
直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．
解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，
k PA ＜0，
又k PA ＝－2－（－1）1－0
＝－1，
k PB ＝
－1－1
0－2
＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π
4；
当－1≤k ＜0时，3π
4
≤α＜π.
故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.
答案 [－1，1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π
8．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________． 解析 可设BC ＝x ，则AC ＝2x ， 根据面积公式得S △ABC ＝x 1－cos 2
B ，
由余弦定理计算得cos B ＝4－x
24x ，
代入上式得S △ABC ＝x
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－x 2
4x 2
＝
128－（x 2
－12）
2
16
.
由⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，
得22－2＜x ＜22＋2. 故当x ＝23时，S △ABC 的最大值为2 2.
答案 2 2
二、解答题
9．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；
(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．
解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，
⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋
n （n －1）
2
d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.
所以n ＝2时，S n 取到最大值4.
10．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为
2
2
，直线l 与y
轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →
. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．
解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，设c ＞0，c 2＝a 2－b 2
，由题意，知2b
＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 21
2
＝1.即y 2＋2x 2
＝1.
(2)当直线l 的斜率不存在时，由题意求得m ＝±1
2
；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2
＝1，
得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2
＋2)＞0，(*)
x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2
－1k 2＋2
.
因为AP →＝3 PB →
，所以－x 1＝3x 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2
＝－3x 2
2. 所以3(x 1＋x 2)2
＋4x 1x 2＝0.
所以3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2km k 2＋22
＋4·m 2
－1k 2＋2＝0.
整理得4k 2m 2
＋2m 2
－k 2
－2＝0， 即k 2
(4m 2
－1)＋(2m 2
－2)＝0.
当m 2
＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2
＝2－2m 2
4m 2－1
，
由(*)式，得k 2＞2m 2
－2，又k ≠0， 所以k 2
＝2－2m
2
4m 2－1
＞0.
解得－1＜m ＜－12或1
2
＜m ＜1.
综上，所求m 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 11．设函数f (x )＝ax 3
－3ax ，g (x )＝bx 2
－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相
平行．
(1)求b 的值；
(2)若函数F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，且方程F (x )＝a 2
有且仅有四个解，求实数
a 的取值
范围． 解 函数g (x )＝bx 2
－ln x 的定义域为(0，＋∞)，
(1)f ′(x )＝3ax 2
－3a ⇒f ′(1)＝0，g ′(x )＝2bx －1x
⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1
＝0，所以b ＝12.
(2)x ∈(0，1)时，g ′(x )＝x －1
x
＜0，即g (x )在(0，1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，
g ′(x )＝x －1
x
＞0，
即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝1
2
；
当a ＝0时，方程F (x )＝a 2
不可能有四个解；
当a ＜0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减，
x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，
即f (x )在(－1，0)上单调递增，
所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2
不可能有四个解． 当a ＞0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，
即f (x )在(－∞，－1)上单调递增，
x ∈(－1，0)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－1，0)上单调递减，
所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .
又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所求，
从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12＜a 2
＜2a ，
所以，实数a 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，2.。