8.2-0单正态假设检验

解 这里方差σ2未知，因此检验统计量为
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
所以接受H0，即认为总体的均值μ=0．
147，150，149，154，152，153，148，151, 155
假设零件长度服从正态分布，问这批零件是否
合格（取 = 0.05）？
解 这里是在总体方差 2 未知的情况下，检验假设 H0： 0 150 ，H1： 150 ．
在H0成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
| t | | x 0 | 1.096 2.306 .
s/ n
所以接受H0，即认为这批零件合格．
三、正态总体方差的假设检验— 2 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) 平 ．
, (X1，X2，…，Xn)为X 的样本，给定显著性水
1．当 已知时，方差 2的假设检验
H0： 2
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：

2
2 (n)
或 2

2 1
2 (n)
2


2 0
2


2 0
2


2

(n

1)
2
检验
未知

2


2 0

2


2 0
2 (n 1)S 2

2 0
2

2 1
(n

1)

2


2 0

2


2 0
2


2
2 (n
1)
或 2

2 1
2 (n
1)
第二节 单个正态总体均值 与方差的假设检验
一、方差已知时，正态总体均值的假 设检验——u 检验
假设总体 X ~ N (, 2 ) ，(X1, X2, …, Xn)是来 自总体 X 的样本， 2 已知，这里要检验的假设是
H0： 0，H1： 0．
当H0成立时，检验统计量
u X 0 ~ N(0, 1)． / n
(1)H0 : 2 5000; H1 : 2 5000 (2) 0.02, n 26
(3) 2

(n 1)S 2பைடு நூலகம்

2 0

25S 2 5000
~
2 (n 1)

2 (25)
(4)
H
的拒绝域为
0
2

2
2

2 0.02
2 (25)

44.314
或
2

2 1
例2.1用热敏电阻测温仪间接测量地热, 勘探井底温度, 设测量值
X ~ N (, 2 ),今重复测量7次,测得温度(0 C)于下 :
112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6
而温度的真值0 112.6(用某种精确方法得到的),试问用热敏 电阻测温仪间接测量温度有无系统偏差(取 0.05) ?
2

2 10.02
2 (25)
11.524
(5)由观察值s2 9200,计算得
2

(n 1)S 2

2 0

25 9200 5000

46
44.314
所以拒绝H 0 , 认为这批电池寿命的波动性较以往
的有显著的变化。
例3 某厂生产的尼龙纤维的纤度在正常情况下 服从正态分布，其标准差 =0.048，某日抽取5根纤 维，测得它们的纤度为
解:本问题属方差 2未知条件下 0的假设检验,故由一览表
得知, 应用T 检验法 :
(1)H0 : 112.6; H1 : 112.6
(2) 0.05, n 7
(3)T X 112.6 ~ t(n 1) t(6) Sn
(4)
H
的拒绝域为
0
X 112.6 T S 7 t 2 (n 1) t0.05 2 (6) 2.4469


2 0
，H1：
2


2．
0
其中 02为已知常数．检T验统计102量in1 ( X i )2 ~ 2 (n) .
对于给定的显著性水平 ，拒绝域为
t 12 / 2 (n) 或 t 2 / 2 (n) ．
上述检验的统计量服从 2 分布，称此种检 验为 2 检验，类似地可以进行单边检验（见表 8-1）．
13.51

2 0.05
(4)
.
所以拒绝H0，即不能认为这一天尼龙纤度的标准差 =0.048．
设样本 X
1,
X
2
,,
X
来自正态总体
n
N
(,
2
),
其中
,
2
为未知参数， n为样本容量，给定显著 性水平，,则在不同
条件下与 2的显著性检验见下一览 表。
表2.1与 2的显著性水平为 的检验一览表
例2.2某工厂生产的固定燃料推进器的燃烧率服从正态分布
N (, 2 ), 40cm / s, 2cm / s,现在用新方法生产了一批
推进器,从中随机取n 25只,测得燃烧率的样本均值为x 41.25cm / s。设在新方法下总体均方差仍为2cm / s，试问这 批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显
t 12 / 2 (n 1) 或 t 2 / 2 (n 1) ．
这里
2 1
/
2
(n

1)


2 0.95
(4)

0.711
,
x =1.414，
2 / 2 (n
1)


2 0.05
(4)

9.488
,
s 2 =0.00778，
t

(5 1) 0.00778 0.0482
1.32，1.36，1.55，1.44，1.40 试问能否认为这一天尼龙纤维的纤度的标准差
=0.048（取 =0.1）？
解 这里要检验的假设是
H0： =0.048，H1： ≠0.048．
检验统计量
T

(n 1)S 2 0.048 2
~
2 (n 1)
.
对于给定的显著性水平 =0.1，拒绝域为
2．当 未知时， 2 的假设检验
检验统计量
H0：
2


2 0
，H1：
2


2 0
．
T

(n 1)S 2

2 0
~
2 (n 1)
.
对于给定的显著性水平 = 0.1 ，拒绝域为
t 12 / 2 (n 1) 或 t 2 / 2 (n 1) ．
例2.3某厂生产的某种型号的 电池, 其寿命长期以来服从方 差
对于给定的显著性水平 ，拒绝域为
W {u | u | u / 2 }． 上述检验所用统计量服从标准正态分布，称为 u 检验法．
二、方差未知时，正态总体均值的
假设检验—t 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) ， 2 未知，(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的样
本．这里要检验的是
S/ n
对于给定的显著性水平 =0.05，拒绝域为
| t | t / 2 (n 1) .
这里 n 9,
x

1 9
9 i1
xi
151
,
s2

1 9 1
9 i1
(xi

x)2

7.5
,
s 7.5 2.739 , t /2 (n 1) t0.025 (8) 2.306 .
2 5000(小时2 )的正态分布。现有一批这种电池，从它的
生产情况来看，寿命的波动性有所改变。现随机取26只电池， 测出其样本方差S 2 9200(小时2），试根据这一数据能否推 断这批电池的寿命的波 动性较以往的有显著的 变化 ?
（取 0.02）。
解: 本题属于均值未知条件下,方差 2 02的双边检验问题, 故由一览表查得,应用 2检验法 :
T t (n 1)
T t 2 (n 1)
检验法 条件 H0
H1
检验统计量
H0的拒绝域
2
检验
已知

2


2 0

2


2 0

2


2 0

2


2 0
n
(Xi )2
2 i1

2


2 0

2


2 0

2 0
2


2

(
n
)
2

2 1
(n)
2

H0： 0 ，
H1： 0 ．
我们用 S 2 代替 2 ，当H0为真时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1) .
S/ n
对于给定的显著性水平 ，拒绝域为
| t | t / 2 (n 1).
上述检验统计量服从 t 分布，称这种检验为 t 检验．
例2 对于一个未知分布的总体 X ，从中抽取 容量为150的样本观察值，算得 x 0.4，s = 4，在 显著性水平α=0.05下检验假设H0：μ= 0．
(4)
H
的拒绝域为
0
U

X 2
40 n
u
u0.05
1.645
(5)由题设x 41.25, 代入计算得 U 41.25 40 3.125 1.645 2n
故应拒绝H 0 , 这批推进器的燃烧率较以往生产 的有显著的提高。
著的提高？取显著性水平 0.05。
解 : 本题属于方差已知的条件下, 0 40的右边检验问题,
故由一览表知,应用U检验法 :
(1)H0 : 40; H1 : 40
(2) 0.05, n 25
(3)U X 40 ~ N (0,1), 2 n
检验法 条件 H0 H1
检验统计量
H0的拒绝域
U检 验
已 知
0 0 =0
>0 <0 0
U X 0 n
U u U u
U u 2
T检 验
未 知
0 0 =0
>0 <0 0
T X 0
Sn
T t (n 1)