自动控制原理第7章 离散控制系统
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需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。 采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出 的离散时间信号x*(t)可表示为
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7.2.3 信号的恢复
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波 器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的滤波 器是保持器(或保持电路)。 信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续 时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持 器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前 时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持 器在离散系统中的位臵应处在采样开关之后(图7.8)。
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因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进 行控制的偏差信号e*(t)仍是离散信号。图7.1是离 散系统的方框图。图中两个采样开关的动作一般是 同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。其中离 散反馈信号b*(t)是由连续型的时间函数b(t)通过采 样而获得的。采样开关经一定时间T后闭合，每次闭 合时间为τ(τ<<T)，如图7.3所示。
x(t )
x* (t )
x* (t )
T
x(t )
o
t
o
T
2T
3T
4T
t
(a)
ห้องสมุดไป่ตู้
(b) 图7.6 采样过程
(c)
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由图7.6(c)，可写出脉冲序列x*(t)表达式为
x* (t ) x(0) t ) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )] [1( x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
x(t )
T
图7.8 保持器方块图
x* (t )
保持器
xh (t )
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能够物理实现的保持器都必须按现在时刻或过 去时刻的采样值实行外推，而不能按将来时刻的采 样值外推。具有常值、线性、二次函数(如抛物线) 型外推规律的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶 保持器。 工程实践中普遍采用零阶保持器。零阶保持器 是一种按常值规律外推的保持器。它把前一个采样 时刻kT的采样值x(kT)不增不减地保持到下一个采 样时刻(k+1)T。当下一个采样时刻(k+1)T到来时应 换成新的采样值x[(k+1)T]继续外推。也就是说， kT时刻的采样值只能保存一个采样周期T，到下一 个采样时刻到来时应立即停止作用，下降为零。
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7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。 采样频率： s 1/ T 采样角频率： s 2 / T f 采样可分为：
等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又 称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期 动作 随机采样:采样开关动作是随机的 本章仅限于讨论等速同步采样过程。
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k 1
X ( j )
k 0
k 1
2s
s
s 2
o 2max
s
s 2
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2s
(b)
k 2
k 1
X ( j ) k 0
k 1
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2s
s
s
o
s
2s
2max
(c) 图7.7 连续信号及离散信号的频谱
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普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理
第7章 离散控制系统
机械工业出版社
第7章 离散控制系统
7.1概述 7.2采样过程与采样定理 7.3 Z变换理论 7.4 离散控制系统的数学描述 7.5 离散控制系统的分析与设计
离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分 析和研究方法的相似性。利用Z变换法研究离散系统，可以 将连续系统中的许多概念和方法，推广至离散系统中。本章 主要讨论离散时间线性系统的分析方法。首先建立信号采样 和保持的数学描述，然后介绍Z变换理论与性质，以及系统 的脉冲传递函数，最后研究系统稳定性分析和最少拍系统设 计方法。
模
G ( s)
c(t )
数
b(t ) 模
H (s)
图7.4 数字控制系统
图中连续控制信号r(t)和反馈信号b(t)经A/D 转换器被转换成离散数字信号r*(t)和b*(t)，相比 较后得到离散偏差信号e*(t)=r*(t)–b*(t)。通过计 算机运算，产生离散控制序列u*(t)。u*(t)再经D/A 转换器转换成模拟信号u(t)去控制被控对象，使系 统输出满足性能指标的要求。
r (t )
* r * (t ) e (t ) G (s) * b (t )
c(t )
r (t )
e(t ) e* (t )
G (s)
c(t )
b(t )
b(t )
H (s)
H (s)
图7.2 离散系统简化方框图
4
图7.1 离散系统方框图
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b* (t )
o
T T
t
图7.3 离散型时间函数
x* (t ) x(t ) (t kT )
k 0
(7-5)
因此，采样过程从物理意义上可以理解为脉冲 调制过程。在这里，采样开关起着理想单位脉冲发 生器的作用，通过它将连续信号x(t)调制成脉冲序 列x*(t)。
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7.2.2 采样定理
在设计离散控制系统中，采样周期的选择是一 个关键问题。如果采样周期T越短，即采样角频率越 高，则x*(t)中包含的x(t)信息越多。但采样周期不 可能无限短。假设连续信号x(t)的频率特性为 x( j ) x(t )e jt dt (7-6) 该信号的频谱|X(jω)|是一个单一的连续频谱，其 最高频率为ωmax，如图7.7(a)所示。从图中可见， x(t)不包含任何大于ωmax的频率分量。 根据式(7-5)，离散信号x*(t)的拉普拉斯变换为
1 X ( s) T
*
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k
X (s jk )
s
(7-7)
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X ( j )
max
2max
(a)
o
max
图7.7 连续信号及离散信号的频谱
式中ωs=2π/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变 换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=jω， 求得x*(t)的傅氏变换为
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7.1 概述
如果系统中的变量都是连续时间信号，称该系 统为连续时间系统。但在许多实际系统中，连续控 制是十分困难的，甚至是难以实现的。 离散控制系统（又称为采样控制系统），它与 连续控制系统的根本区别在于：离散系统有一处或 几处信号是时间的离散函数。 一般情况下，控制信号是离散型时间函数r*(t)， 因此取系统输出端的负反馈信号也需要采取离散型 时间函数b*(t)，于是比较后得到的偏差信号将是离 散型时间函数，即 * * * (7-1) e (t ) r (t ) b (t )
要从离散信号x*(t)中完全复现出采样前的连续 信号x(t)，必须使采样频率ωs足够高，以使相邻两 频谱不相互重叠。 定理7.1(Shannon定理)：如果对一个具有有限频谱 (-ωmax<ω<ωmax)的连续信号采样，当采样角频率 s 2max (7-10) f s 2 f max 或采样频率 时，则由采样得到的离散信号能够无失真地恢复到 原来的连续信号。 几点说明： (1) 采样定理给出的是由采样脉冲序列无失真地再 现原连续信号所必需的最大采样周期或最低采样频 率。在控制工程实践中，一般取ωs>2ωmax。
1 X ( jω) T
*
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k
X [ j (ω kωs )]
(7-8)
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式中X(jω)为连续信号x(t)的傅氏变换，|X(jω)| 即为x(t)的频谱，即
* ( j ) 1 X T
k
X [ j ( ks )]
(7-9)
式(7-9)中离散信号x*(t)的频谱|X*(jω)|是以 采样频率ωs为周期，由无限多x(t)的频谱|X(jω)| 叠加而成。当ωs≥2ωmax时，离散信号的频谱为无限 多个孤立频谱组成的离散频谱，其中与k=0对应的是 采样前原连续信号的频谱，幅值为原来的1/T，如图 7.7(b)所示。 若ωs<2ωmax，离散信号x*(t)的频谱不再由孤立 频谱构成，而是一种与原来连续信号x(t)的频谱毫不 相似的连续频谱，如图7.7(c)所示。
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7.2 采样过程与采样定理
离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号 是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离 散信号，需要使用A/D转换器(采样器)；另一方面， 为了控制连续的被控对象，又需使用D/A转换器(保 持器)将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量 地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程 进行描述。
k 0
(7-2)
式中1(t–kT)–1(t–kT–τ)表示一个发生在kT时刻， 高度为1，宽度为τ，即面积为τ的矩形脉冲。由 于τ<<T，故该矩形脉冲可近似用理想单位脉冲来 描述，即 (7-3) 1(t kT ) 1(t kT ) (t kT ) 式中δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单 位强度的理想脉冲。
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由于A/D和D/A转换器的转换精度一般都比较高， 转换所造成的误差通常可忽略不计，因此A/D和D/A 转换器可以用采样开关来表示。图7.5是图7.4所示 的数字控制系统简化后的等效框图，其中采样开关 的动作是同步的。
r (t )
e* (t )
T
m* (t )
D
T
G (s)
c(t )
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(2) 若式(7-10)成立，将离散信号x*(t)通过一 个理想低通滤波器，就可以把ωs>ωmax的高频分量 全部滤除掉，使X*(jω)中仅留下X(jω)/T部分， 再经过放大器对1/T进行补偿，便可无失真地将原 连续信号x(t)完整地提取出来。理想低通滤波器特 性如图7.7(b)中虚线所示。 (3) 采样周期T是离散控制系统中的一个关键参 数。如果采样周期选得越小，即采样频率越高，对 被控系统的信息了解得也就越多，控制效果也就越 好。但同时会增加计算机的运算量。反之，如果采 样周期选择越大，由于不能全面掌握被控系统的信 息，会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动 态性能，甚至有可能使整个控制系统变得很不稳定。
离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图 7.4是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算 机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。
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数字部分 计算机 r (t )
A/D
模拟部分
r * (t )
e* (t )
b (t )
*
D
u * (t )
数
A/D
D/A
u (t )
b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
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数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点：
能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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采样过程如图7.6所示。连续信号x(t)经过采 样开关转换成离散信号x*(t)。如果x*(t)的幅值经 整量化用数字(或数码)来表示，则x*(t)在幅值上 也是离散的。考虑到采样开关的闭合时间远小于采 样周期T和系统连续部分的最大时间常数，可认为 采样时间τ=0，x(t)在τ内变化很小，因此x*(t) 可用幅值为x(kT)，宽度为τ的脉冲序列近似表示。
x* (t ) x(kT ) (t kT )
k 0
(7-4)
式中δ(kT)表示发生在kT时刻脉冲的强度，其值与 被采样的连续信号x(t)在采样时刻kT时的值相等。
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式(7-4)表明，离散信号是由一系列脉冲组成， 在采样时刻t=kT，脉冲的面积就等于该时刻连续信 号x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可写作
需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。 采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出 的离散时间信号x*(t)可表示为
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7.2.3 信号的恢复
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波 器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的滤波 器是保持器(或保持电路)。 信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续 时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持 器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前 时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持 器在离散系统中的位臵应处在采样开关之后(图7.8)。
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因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进 行控制的偏差信号e*(t)仍是离散信号。图7.1是离 散系统的方框图。图中两个采样开关的动作一般是 同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。其中离 散反馈信号b*(t)是由连续型的时间函数b(t)通过采 样而获得的。采样开关经一定时间T后闭合，每次闭 合时间为τ(τ<<T)，如图7.3所示。
x(t )
x* (t )
x* (t )
T
x(t )
o
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ห้องสมุดไป่ตู้
(b) 图7.6 采样过程
(c)
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由图7.6(c)，可写出脉冲序列x*(t)表达式为
x* (t ) x(0) t ) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )] [1( x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
x(t )
T
图7.8 保持器方块图
x* (t )
保持器
xh (t )
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能够物理实现的保持器都必须按现在时刻或过 去时刻的采样值实行外推，而不能按将来时刻的采 样值外推。具有常值、线性、二次函数(如抛物线) 型外推规律的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶 保持器。 工程实践中普遍采用零阶保持器。零阶保持器 是一种按常值规律外推的保持器。它把前一个采样 时刻kT的采样值x(kT)不增不减地保持到下一个采 样时刻(k+1)T。当下一个采样时刻(k+1)T到来时应 换成新的采样值x[(k+1)T]继续外推。也就是说， kT时刻的采样值只能保存一个采样周期T，到下一 个采样时刻到来时应立即停止作用，下降为零。
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7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。 采样频率： s 1/ T 采样角频率： s 2 / T f 采样可分为：
等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又 称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期 动作 随机采样:采样开关动作是随机的 本章仅限于讨论等速同步采样过程。
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X ( j )
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(c) 图7.7 连续信号及离散信号的频谱
2013-7-16 18
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自动控制原理
第7章 离散控制系统
机械工业出版社
第7章 离散控制系统
7.1概述 7.2采样过程与采样定理 7.3 Z变换理论 7.4 离散控制系统的数学描述 7.5 离散控制系统的分析与设计
离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分 析和研究方法的相似性。利用Z变换法研究离散系统，可以 将连续系统中的许多概念和方法，推广至离散系统中。本章 主要讨论离散时间线性系统的分析方法。首先建立信号采样 和保持的数学描述，然后介绍Z变换理论与性质，以及系统 的脉冲传递函数，最后研究系统稳定性分析和最少拍系统设 计方法。
模
G ( s)
c(t )
数
b(t ) 模
H (s)
图7.4 数字控制系统
图中连续控制信号r(t)和反馈信号b(t)经A/D 转换器被转换成离散数字信号r*(t)和b*(t)，相比 较后得到离散偏差信号e*(t)=r*(t)–b*(t)。通过计 算机运算，产生离散控制序列u*(t)。u*(t)再经D/A 转换器转换成模拟信号u(t)去控制被控对象，使系 统输出满足性能指标的要求。
r (t )
* r * (t ) e (t ) G (s) * b (t )
c(t )
r (t )
e(t ) e* (t )
G (s)
c(t )
b(t )
b(t )
H (s)
H (s)
图7.2 离散系统简化方框图
4
图7.1 离散系统方框图
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b* (t )
o
T T
t
图7.3 离散型时间函数
x* (t ) x(t ) (t kT )
k 0
(7-5)
因此，采样过程从物理意义上可以理解为脉冲 调制过程。在这里，采样开关起着理想单位脉冲发 生器的作用，通过它将连续信号x(t)调制成脉冲序 列x*(t)。
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7.2.2 采样定理
在设计离散控制系统中，采样周期的选择是一 个关键问题。如果采样周期T越短，即采样角频率越 高，则x*(t)中包含的x(t)信息越多。但采样周期不 可能无限短。假设连续信号x(t)的频率特性为 x( j ) x(t )e jt dt (7-6) 该信号的频谱|X(jω)|是一个单一的连续频谱，其 最高频率为ωmax，如图7.7(a)所示。从图中可见， x(t)不包含任何大于ωmax的频率分量。 根据式(7-5)，离散信号x*(t)的拉普拉斯变换为
1 X ( s) T
*
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X (s jk )
s
(7-7)
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X ( j )
max
2max
(a)
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图7.7 连续信号及离散信号的频谱
式中ωs=2π/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变 换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=jω， 求得x*(t)的傅氏变换为
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7.1 概述
如果系统中的变量都是连续时间信号，称该系 统为连续时间系统。但在许多实际系统中，连续控 制是十分困难的，甚至是难以实现的。 离散控制系统（又称为采样控制系统），它与 连续控制系统的根本区别在于：离散系统有一处或 几处信号是时间的离散函数。 一般情况下，控制信号是离散型时间函数r*(t)， 因此取系统输出端的负反馈信号也需要采取离散型 时间函数b*(t)，于是比较后得到的偏差信号将是离 散型时间函数，即 * * * (7-1) e (t ) r (t ) b (t )
要从离散信号x*(t)中完全复现出采样前的连续 信号x(t)，必须使采样频率ωs足够高，以使相邻两 频谱不相互重叠。 定理7.1(Shannon定理)：如果对一个具有有限频谱 (-ωmax<ω<ωmax)的连续信号采样，当采样角频率 s 2max (7-10) f s 2 f max 或采样频率 时，则由采样得到的离散信号能够无失真地恢复到 原来的连续信号。 几点说明： (1) 采样定理给出的是由采样脉冲序列无失真地再 现原连续信号所必需的最大采样周期或最低采样频 率。在控制工程实践中，一般取ωs>2ωmax。
1 X ( jω) T
*
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k
X [ j (ω kωs )]
(7-8)
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式中X(jω)为连续信号x(t)的傅氏变换，|X(jω)| 即为x(t)的频谱，即
* ( j ) 1 X T
k
X [ j ( ks )]
(7-9)
式(7-9)中离散信号x*(t)的频谱|X*(jω)|是以 采样频率ωs为周期，由无限多x(t)的频谱|X(jω)| 叠加而成。当ωs≥2ωmax时，离散信号的频谱为无限 多个孤立频谱组成的离散频谱，其中与k=0对应的是 采样前原连续信号的频谱，幅值为原来的1/T，如图 7.7(b)所示。 若ωs<2ωmax，离散信号x*(t)的频谱不再由孤立 频谱构成，而是一种与原来连续信号x(t)的频谱毫不 相似的连续频谱，如图7.7(c)所示。
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7.2 采样过程与采样定理
离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号 是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离 散信号，需要使用A/D转换器(采样器)；另一方面， 为了控制连续的被控对象，又需使用D/A转换器(保 持器)将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量 地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程 进行描述。
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(7-2)
式中1(t–kT)–1(t–kT–τ)表示一个发生在kT时刻， 高度为1，宽度为τ，即面积为τ的矩形脉冲。由 于τ<<T，故该矩形脉冲可近似用理想单位脉冲来 描述，即 (7-3) 1(t kT ) 1(t kT ) (t kT ) 式中δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单 位强度的理想脉冲。
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由于A/D和D/A转换器的转换精度一般都比较高， 转换所造成的误差通常可忽略不计，因此A/D和D/A 转换器可以用采样开关来表示。图7.5是图7.4所示 的数字控制系统简化后的等效框图，其中采样开关 的动作是同步的。
r (t )
e* (t )
T
m* (t )
D
T
G (s)
c(t )
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(2) 若式(7-10)成立，将离散信号x*(t)通过一 个理想低通滤波器，就可以把ωs>ωmax的高频分量 全部滤除掉，使X*(jω)中仅留下X(jω)/T部分， 再经过放大器对1/T进行补偿，便可无失真地将原 连续信号x(t)完整地提取出来。理想低通滤波器特 性如图7.7(b)中虚线所示。 (3) 采样周期T是离散控制系统中的一个关键参 数。如果采样周期选得越小，即采样频率越高，对 被控系统的信息了解得也就越多，控制效果也就越 好。但同时会增加计算机的运算量。反之，如果采 样周期选择越大，由于不能全面掌握被控系统的信 息，会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动 态性能，甚至有可能使整个控制系统变得很不稳定。
离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图 7.4是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算 机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。
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数字部分 计算机 r (t )
A/D
模拟部分
r * (t )
e* (t )
b (t )
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u * (t )
数
A/D
D/A
u (t )
b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
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数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点：
能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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采样过程如图7.6所示。连续信号x(t)经过采 样开关转换成离散信号x*(t)。如果x*(t)的幅值经 整量化用数字(或数码)来表示，则x*(t)在幅值上 也是离散的。考虑到采样开关的闭合时间远小于采 样周期T和系统连续部分的最大时间常数，可认为 采样时间τ=0，x(t)在τ内变化很小，因此x*(t) 可用幅值为x(kT)，宽度为τ的脉冲序列近似表示。
x* (t ) x(kT ) (t kT )
k 0
(7-4)
式中δ(kT)表示发生在kT时刻脉冲的强度，其值与 被采样的连续信号x(t)在采样时刻kT时的值相等。
2013-7-16 13
式(7-4)表明，离散信号是由一系列脉冲组成， 在采样时刻t=kT，脉冲的面积就等于该时刻连续信 号x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可写作