人教版九年级数学上第二十一章《一元二次方程》课件

示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.
等量关系： AC：BC=BC：AB
A
即BC2=2AC
解：列方程得 x2=2(2-x )， 整理得 x2 + 2x - 4 = 0．①
(2 - x ) m
C
想一想，上述方程与以往我们学过 的方程有什么联系和区别？
xm
B
讲授新课
一 一元二次方程的概念
32-2x
32
20-x 20
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？Βιβλιοθήκη 3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2 √
3y2=(3y+1)(y-2) ×
x2=x3+x2-1
解：(1) x2=6，
(2)移项，得 x2=900.
直接开平方，得
②都只含一个未知数;
x2-x-56=0 ③
③未知数的最高次数都是2.
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一 元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
ax2 称为二次项， bx 称为一次项， c 称为常数项.
解：根据平方根的意义，得 x1=2，x2=-2. 解：根据平方根的意义，得 x1=x2=0.
(3) x2+1=0 解：移项，得x2=-1， 因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究归纳
一般的，对于可化为方程 x2 = p，
(I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根x1 p, x2 p;
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点）
导入新课
情景引入
古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。 某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地 形似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌 方营地长4里”。
情景引入
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉 献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多 处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？
导入新课
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以
上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部
AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得 3x2-8x-10=0.
其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项 是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别 与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0)
ax2+bx+c=0 (a≠0)
三 建立一元二次方程模型 问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三 条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的 宽应为多少？
32
x 20
x 20
思考：
1.若设小路的宽是xm，则横
向小路的面积是__3_2_x__m2，
200 150 3x2 200 150 3 4
整理，得 x2 2500 0
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x， 根据题意，得
75 1 x 2 108
九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各 项系数. 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型. （重、难点） 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
a 称为二次项系数. b 称为一次项系数.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、 c 可以为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四 角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起， 就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm，
则盒底的长为(100－2x)cm，
宽为(50－2x)cm，
思考：将军是怎么知 道敌方营地长的？
导入新课
复习引入
1.如果 x2=a，则x叫做a的 平方根 .
2.如果 x2=a(a ≥0)，则x= a . 3.如果 x2=64，则x= ±8 . 4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
一 直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全 部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0;
(3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
归纳 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程
的根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：根据题意，列方程：
1 x(x 1) 28. 2
化简，得： x2 x 56 0 ③
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三
个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共
同特点呢？
x2 + 2x - 4 = 0 ①
特点: ①都是整式方程;
x2-75x＋350=0 ②
解：设一个盒子的棱长为x dm，则一
个正方体的表面积为6x2dm2，可列出
方程
10×6x2=1500，
由此可得 x2=25 开平方得 x=±5，
即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4 (2) x2=0
x2 – x – 6 14 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个
根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0, 9+4a=0, 4a=-9,
a9 4
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程 的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方 程，求解即可得到字母的值.
整理，得 25x2 50x 11 0
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含一个未知数； ③ 未知数的最高次数是2.
一元二 次方程
一般形 式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件；
使方程左右两边相等的 根
未知数的值.
建立一元二 次方程模型
审→设→找→列
九年级数学上（RJ） 教学课件
变式：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得：a2 2a 2 0 即a2 2a 2.
2a2 4a 2018
2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022.
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意 观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数 式的一部分看作一个整体，代入求值．
(2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程 是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法： 根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的 方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a－4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 做一元二次方程的解（又叫做根）. 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
根据方盒的底面积为3600cm2，得
3600cm2 100cm
50cm
该方程中未 知数的个数 和最高次数 各是多少？
化简，得 x2 75x 350 0 ②
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都 要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安 排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛?
×
3x2=5x-1
√
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 = 3x
x2 3x 0
1
3y2 1 2 3y
3y2 2 3y 1 0
3
4x2 5
4x2 5 0
4
2 x 3x 4 3 3x2 2x 5 0
3
3
0
23
1
0
-5
-2
-5
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2(k－1)x＋2k＋ 2＝0，
纵向小路的面积是 2×20x m2,
两者重叠的面积是 2x2 m2.
32
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方 程吗？
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
整理以上方程可得 x2-36x＋35=0
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ C）
A.x2 1 0 不是整式方程 B. 3x2 5xy y2 0 x2
C. (x 1)(x 2) 0
D. 4x2 1 (2x 3)2
化简整理成 x2-3x+2=0
化简整理成 12x+10=0
解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；
（2）当a=2 且b ≠0时，是一元一次方程．
方法点拨：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系： 1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数； 2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次 方程未知数最高次数是2.
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形 式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数 项.
× x2 (6) = 6 3
× (7)ax2 bx c 0
注意：未限定a≠0
(8)( x)2 2 x 6 = 0
×
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2； (2) (a－1)x|a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0， 所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
4.（1）已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值 为_____32_7_____;
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程得m2-4=0，
解得m=±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2，
提示 判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方
程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中
是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36
× (2) x3+ x2=36
× × (3)x+3y=36
12 (4) x2 x 0
(5) x+1=0
二次项系数不 为零不容忽视
综上所述：m =2.
5.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm. 现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩 形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的 方程（其中π取3）；
150cm
解：设由于圆的半径为xcm， 则它的面积为3x2 cm2.
根据题意，得