2.7 平面向量应用举例1

60o
已知力F与水平方向的夹角为 斜向上),大小为 例3.已知力 与水平方向的夹角为 o(斜向上 大小为 已知力 与水平方向的夹角为30 斜向上 大小为50N,一个质 一个质 量为8kg的木块受力 的作用在动摩擦因数 的木块受力F的作用在动摩擦因数 量为 的木块受力 的作用在动摩擦因数µ=0.02的水平平面上 的水平平面上 运动了20m.问力 和摩擦力 所做的功分别为多少？(g=10m/s2) 问力F和摩擦力 运动了 问力 和摩擦力f 所做的功分别为多少？ 如图，设木块的位移为s, 如图，设木块的位移为 解： 则
D E A M F N C
结论:AM=MN=NC 结论:AM=MN=NC
B
如图， ABC的三条高分别为AD，BE， 的三条高分别为AD 例2 如图，△ABC的三条高分别为AD，BE， CF， DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G CF，作DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、 试推断EF GH是否平行 EF与 是否平行. H，试推断EF与GH是否平行.
F F1
f = µ (G − F1 ) = (8 × 10 − 25) × 0.02 = 1.1(N). 因此 f ⋅ s = f s cos180o = 1.1 × 20 × ( −1) = -22(J). 答：F和f 所做的功分别是 500 3J和 − 22J. 和
二、练习： 练习： 练习1.P102/3. 练习 练习2.某人骑摩托车以 的速度向西行驶， 练习 某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶，感到风从正南 某人骑摩托车以 的速度向西行驶 方向吹来，而当其速度变为40km/h时，他又感到风从西南方向 方向吹来，而当其速度变为 时 吹来，求实际的风向和速度. 吹来，求实际的风向和速度 A -v1 B v -v1 C
2.7
平面向量应用举例
1、 点到直线的距离
2、点到直线的距离 若点M 到直线Ax+By+C=0 若点M（x0,y0)到直线Ax+By+C=0 的距离为
求点P 1,2） 例1、 求点P（1,2）到直线 l:2x+y+1=0的距离 l:2x+y+1=0的距离 例2、已知两条直线 :mx-(2m-3)yl1:mx-(2m-3)y-1=0 l2:(2m+5)x+(m+6)y-7=0 l2:(2m+5)x+(m+6)y:(2m+5)x+(m+6)y 如果l 如果l1∥l2，求m的值
探究（ 探究（一）：推断线段长度关系
思考1 如图，在平行四边形ABCD ABCD中 思考1：如图，在平行四边形ABCD中， 已知AB=2 AD=1，BD=2， AB=2， 已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角 AC的长是否确定 的长是否确定？ 线AC的长是否确定？
D A B C
思考3 AB=2，AD=1，BD=2， 思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量 语言怎样表述？ 语言怎样表述？ D C b |=2， |=1 |=1， |a|=2，|b|=1，|a|=2 A a B b|=2. |=2.
A
D
E
B
C
A
a
D
b
E
aHale Waihona Puke Baidu×b cos A = | a || b |
C
B
A
a
D
b
E
B
C
思考4 思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可 CD⊥BE转化为向量运算可 得什么结论？ 得什么结论？ a·b
2 = （a2＋b2） 5
思考5 因为△ABC是等腰三角形， 思考5：因为△ABC是等腰三角形， 是等腰三角形 |=|b| 结合上述结论: 则|a|=| |，结合上述结论: |=| a·b
过点B作东西基线的垂线， 过点 作东西基线的垂线，交AC于D， 作东西基线的垂线 于 ， E 为正三角形. 则△ABD为正三角形 为正三角形 西 A 东 所以BD=CD=1 000km， 所以 ， 60o 1 ∠BDA = 30o . ∠CBD=∠BCD= ∠ D 2 所以∠ 所以∠ABC=90o， C 3 南 o BC = ACsin60 = 2 000 × = 1 000 3 (km), 2 BC = 1 000 3km. 飞机从B地到 方向是南偏西30 答:飞机从 地到 地的位移大小是 1000 3km,方向是南偏西 o. 飞机从 地到C地的位移大小是
思考6 根据上述思路， 思考6：根据上述思路，你能推断平 行四边形两条对角线的长度与两条邻 边的长度之间具有什么关系吗？ 边的长度之间具有什么关系吗？ 平行四边形两条对角线长的平方和 等于两条邻边长的平方和的两倍. 等于两条邻边长的平方和的两倍 思考7 如果不用向量方法， 思考7：如果不用向量方法，你能证 明上述结论吗？ 明上述结论吗？
2.平行、垂直、夹角、距离、 2.平行、垂直、夹角、距离、全 平行 相似等， 等、相似等，是平面几何中常见 的问题， 的问题，而这些问题都可以由向 量的线性运算及数量积表示出来. 量的线性运算及数量积表示出来. 因此， 因此，平面几何中的某些问题可 以用向量方法来解决， 以用向量方法来解决，但解决问 题的数学思想、方法和技能， 题的数学思想、方法和技能，需 要我们在实践中去探究、 要我们在实践中去探究、领会和 总结. 总结.
思考5 思考5：如何利用这两个 结论: a·(c－b)＝0， 结论: － ) b·(a－c)＝0 － ＝ 推出 c·(a－b)＝0？ ( － ) 思考6 思考6：你能用其它方法证明三角 A 形的三条高线交于一点吗？ 形的三条高线交于一点吗？
E F P D C
B
探究（ 探究（三）：计算夹角的大小
思考1 如图，在等腰△ABC中 思考1：如图，在等腰△ABC中，D、E分 别是两条腰AB AC的中点 AB、 的中点， CD⊥BE， 别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE， 你认为∠ 的大小是否为定值？ 你认为∠A的大小是否为定值？
cos
的值由大逐渐变小， 由小逐渐变大， 的值由大逐渐变小， 因此 F1由小逐渐变大， 2 G 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力. 即F1, F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力
θ
一架飞机从A地向北偏西 到达B地 例2.一架飞机从 地向北偏西 o的方向飞行 000km到达 地， 一架飞机从 地向北偏西60 的方向飞行1 到达 然后向C地飞行 地飞行.设 地恰好在 地的南偏西60 并且A,C两地相 地恰好在A地的南偏西 然后向 地飞行 设C地恰好在 地的南偏西 o，并且 两地相 求飞机从B地到 地的位移. 距2 000km,求飞机从 地到 地的位移 求飞机从 地到C地的位移 如图， 在东西基线和南北基线的交点处. 在东西基线和南北基线的交点处 解：如图，设A在东西基线和南北基线的交点处 由已知得∠ 由已知得∠BAC=60o， B 北
2、 平面几何中的向量方法
问题提出
1.用有向线段表示向量， 1.用有向线段表示向量，使得向量 用有向线段表示向量 可以进行线性运算和数量积运算， 可以进行线性运算和数量积运算， 并具有鲜明的几何背景， 并具有鲜明的几何背景，从而沟通 了平面向量与平面几何的内在联系， 了平面向量与平面几何的内在联系， 在某种条件下， 在某种条件下，平面向量与平面几 何可以相互转化. 何可以相互转化.
E F
证明PC⊥AB. 证明PC⊥AB.
B D
P C
A F
a
P
E
c·(a－b)＝0. ( － )
B
b
D
c
C
思考4 对于PA⊥BC，PB⊥AC， 思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观 PA⊥BC 点可分别转化为什么结论？ 点可分别转化为什么结论？ a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0. － ) ( － )
探究（ 探究（二）：推断直线位置关系
思考1 思考1：三角形的三条高线具有什么 位置关系？ 位置关系？ 交于一点 思考2 如图， 思考2：如图，设△ABC的两条高AD ABC的两条高AD 的两条高 BE相交于点 相交于点P 要说明AB AB边上的高 与BE相交于点P，要说明AB边上的高 A CF经过点 经过点P 你有哪些办法？ CF经过点P，你有哪些办法？
v-v1 v-2v 1 D
2 = 5
,cosA等于多少 等于多少？ (a2＋b2 ),cosA等于多少？
A
a ×b 4 cos A = = | a || b | 5
B
a
D
b
E
C
理论迁移
如图，在平行四边形ABCD ABCD中 例1 如图，在平行四边形ABCD中， 分别是AD DC的中点 BE、 AD、 的中点， 点E、F分别是AD、DC的中点，BE、 BF分别与AC相交于点 分别与AC相交于点M BF分别与AC相交于点M、N，试推断 AM、MN、NC的长度具有什么关系 的长度具有什么关系， AM、MN、NC的长度具有什么关系， 并证明你的结论. 并证明你的结论.
F ⋅ s = F s cos30
o
将力F分解， 将力 分解，它在铅垂线方向 分解 G 上的分力F 上的分力 1大小为 1 o 所以， 所以 摩擦力f F1 = F sin 30 = 50 × = 25(N), ，摩擦力 的大小为 2
3 = 50 × 20 × = 500 3 (J). 2
f
30o F2
A E
结论:EF∥GH 结论:EF∥GH
B
F G D PH
C
3、向量在物理中的运用
一、例题分析： 例题分析： 在日常生活中， 例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个 在日常生活中 你是否有这样的经验： 旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动， 旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂 的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗 你能从数学的角度解释这种现象吗？ 的夹角越小越省力 你能从数学的角度解释这种现象吗？ 解： 不妨设 F1 = F2 , F 由向量的平行四边形法则、 由向量的平行四边形法则、力的平 衡以及直角三角形的知识， 衡以及直角三角形的知识， 可以知道 1 F1 θ F2 G G θ 2 . ⇒ F1 = cos = θ 2 F1 2 cos 2 θ o到180o逐渐变大时， 由0o到90o逐渐变大， 逐渐变大时，2 逐渐变大， 当 θ 由0