2019-2020学年内蒙古包头市高三第一次模拟考试数学(理)模拟试题有答案

普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（包头市第一次模拟考
试）
、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.设复数z满足（1i）z i 1 ,则z（）
A. 1
B. 2
C.3
D.
2.已知全集U {2，1，0，1,2} M {x|x2x,x U} 3 2
N {x|x 3x 2x 0}则M I N （）
A, {0,1, 2} {0，2} c1,1} D{0,1
}
3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹
子,
自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升, 卜面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为
6_
11升
13 21
.22 升D. 40 升
2y
4.若x,y R,且，则z x 2y的最小值为（）
A. 0B. 1 C. 2D.
5
5.已知（2x1）
5
a°x 4
a〔x
a。

1
A. 1
B. 243c. 32D. 211
6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为
（）
8
A.3
32
3
16
3
28
3
7.若双曲线C：
2
x
2
a
2
y
b2
1
的离心率为
e, 一条渐近线的倾斜角为ecos 的值
（）
A.大于1
C.小于1.不能确定，与e , 的具体值有关
8 .执行如图所示的程序框图，如果输入的
50 ,则输出的n （）
A. 5B . 6C . 7D . 8
9 .现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4）,每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。

现在规
定：当牌的一面为字母 R 时，它的另一面必须写数字 2 .你的任务是：为检验下面的 4张牌是否有违反规定 的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）
HHH0 ⑶ P ）
A.翻且只翻（1） （4） B .翻且只翻（2） （4） C.翻且只翻（1） （3）
D
.翻且只翻（2）
（3）
10 .如图，在正方形 ABCD 中，E, F 分别是AB, BC 的中点，G 是EF 的中点，沿DE , EF , FD 将 正方形折起，使
A, B, C 重合于点P ,构成四面体，则在四面体 P DEF 中，给出下列结论：①PD 平面PEF ；②PD EF ；③DG 平面
PEF ；④DF PE ；⑤平面PDE 平面PDF .其中正确结论 的序号是（）
A.①②③⑤ B .②③④⑤
C .①②④⑤
D .②④⑤
3
x x
2、
11.已知函数f(x) 2x 4x 2(e e )
，若
f(5a 2) f(3a
) 0
,则实数a
的取值范围是()
1 2 2 1 [1,2] [ 1, 2]
[2,1] [ 2,-]
A. 3
B.
3 C . 3 D. 3
uuur uur
11
/ / -A 11（口q+
♦ ： & a
k 一*I
/雉 （精N ）
12.已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC 10, AB 8 ,则HB HC的最小值为()
sin A
(1)求sinC
的值;
cosB -
(2)若
4 , b 2,求ABC 的面积S .
18.如图，四棱锥H ABCD 中，HA 底面ABCD , AD//BC
E 为线段AD 上一点，AE 2ED,
F 为HC 的中点.
(1)证明：EF //平面HAB ；
(2)求二面角E HF A 的正弦值.
生长指标值 分组 [165,175) [175,185) [185,195) [195,205) [205, 215) [215, 225) [225, 235)
频数
10 45 110 165 120 40 10
A. 4
25
16
二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分.
13 .某人随机播放甲、乙、丙、丁
4首歌曲中的 2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是.
14 .设函数 f(x) 2sin( x )
(0,
5 x ——
8为y
f(x)
图象的对称轴，x
11
—8"为
f (x)
的零点，且
f(x)
的最小正周期大于 2 ，则
15 .设数列｛a n ｝
的前n 项和为S n
,若S 2 6
a n 1 2S n 3 N * ,则 S 4
16 .在平面直角坐标系
xoy
中，双曲线
0,b 0)
的左支与焦点为 F 的抛物线
x
2
2py (
p 0)
交于 M , N 两点.若l MF
NF 4OF
,则该双曲线的离心率为.
、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第17〜21题为必做题，每个试题考生
都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答 (一)必考题：共 60分
cos A 2cos C
2c a
17 .在ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为a, b
c
,已知
cosB
AB AD AC 6 HA BC 8
19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种 .从试验田中抽取
500株小麦，测量这些小麦的生长指
(1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图;
(2)求这500株小麦生长指标值的样本平均数
表)；
(3)由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值 -2 2
6近似为样本方差s .
①利用该正态分布，求P(187
.8
Z 212
.2);
数，利用①的结果，求 EX . 附：150 12.2
_
_2
_
__
_
_____
若Z : N( ,6 ),贝u P( 6 Z 6) 0.6826
P( 26 Z 26) 0.9544
.
2
2
F F E 4,E C ~ Z2 1(a
b 0)
20 .已知F 1 , F 2
是椭圆C . a b
的左右两个焦点,
uur umu
别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足 AF 1 2BF 2 .
(1)求椭圆C 的方程; ⑵求四边形
ABF 2
F 1
的面积.
2
21 .已知函数 f (x) ax X lnx, (a R,ln x x 1)
3 a (1)若 8时，求函数f(x)的最小值；
(2)若1 a 0,证明：函数
f(x)
有且只有一个零点；
(3)若函数
f(x)
有两个零点，求实数a
的取值范围.
(二)选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答， 并用2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、
错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分 ^
22 .［选彳4-4 :坐标系与参数方程］
x a 2t
口 口” 0.032 D.030 0036 2噂 。

gn oxi 0.016 o.ei^ 0.910
口一时0B4 0.002
105 175 i 无加5 Z” H S3生长指桁他
②若从试验田中抽取
100
株小麦，记X 表示这100
株小麦中生长指标值位于区间
(187.8,212Z 的小麦株
2
X 和样本方差s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代
2
Z 服从正态分布N(，6)，其中 近似为样本平均数 X,
F 1F 2
4
,长轴长为6,又A, B 分
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为y 1t 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2.
(1)若a 2时，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为2 J5,求a . (t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
23.［选彳4-5 :不等式选讲］
已知函数f(x) x 1 x 2, g(x)x2 x a
(1)当a 5时，求不等式f(x) g(x)的解集;
(2)若不等式f(x) g(x)的解集包含［2,3］ ,求a的取值范围
（包头市第一次模拟考试） 数学（理科）参考答案
、12: DD
空
66 16. 2
——k sin B sin C
ksin B
cos A 2cos C
2sin C sin A
2c a
2k sin C ksin A 2sin C sin A
由题设条件，得 cosB
sin B
整理得 sin(A B) 2sin( B C)
一、选择题
1-5: ADCDB 6-10: CBBAC 11 二、填空题
5 _ 13. 6
14.
12
15.
三、解答题
a
17.解：（1）由正弦定理，设 sin A sin B
sin A 1
所以sinC 2sin A,即sin C 2 .
(2)由余弦定理，可知
2 2 2
c a c b 1
cos B ----------- 一
2ac 4,①
sin A a 1
由(1)可知sinC c 2,②
由b 2 ,再联立①②求得c 2 , a 1 ,
_______ \ 15
sin B 1~cos2B 4 (B (0,))
S 所以1 .「
-acsin B
2
.15
4
AE -AD 4
18.解：（1）由已知得3
取BH的中点G ,连接AG , GF , 由F为HC的中点知G山BC, GF
又 AD//BC, 故GF U AE
所以四边形AEFG 为平行四边形，于是 EF//AG, AG 平面HAB , EF 平面HAB , 所以EF
〃平面HAB . （2）取BC 的中点T ,连接AT . 由 AB AC 得 AT BC ,
从而 AT AD , 且 AT J
AB 2 BT 2 d6 42 2
娓. uur 以A 为坐标原点，AT 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
xyz
由题意知，H （0,0,8）, E （0,4,0）, c （2V 5,4,0）, F （V5,2,4
） uuur uuir uuur _ HE （0,4, 8） HF （V5,2, 4） AF （75,2,4） r
设n
(x, y,z)为平面HEF 的法向量，则
r uuur n HE r
uuir n HF
4y 8z 0 即显 2y 4z 0,可取 n （0,2,
1） ir
设m
（%）。

,4）为平面HAF 的法向量， ir uuir m HF 0 ir uuir 则 m AF 0 r ir 千日cos n,m
,5x 2y 4z 0 底2y 4z o,可取m
ir r
■ur^ jV5
2 m nl 可5
3
（2, 5,0
）
,r
工 5 sin n, m
— 3 A 的正弦值为 3
所以二面角E HF 19.解：(1)画图.
槌*『组即』
O.Q34 O.Q32
0,010 0.02S
0.026 0.024
0.U22 0.020
0.018 0.016
0.014 0.012
0.010 0.008
0.(106 0.004
D.D02
Ifi5 175 EK5 L9i 第5 "5 225 235 4位排林伍
2
(2)抽取小麦的生长指标值的样本平均数x和样本方差s分别为
x 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200,
2 _ 2 -
s ( 30) 0.02 (
2 2
20) 0.09 ( 10) 0.22 0 0.33 1020.24 202 0.08 302 0.02 150 (3)①由(1)知Z：N(200,150),从而
P(187.8 Z 212.2) P(200 12.2 Z 200 12.2)
0.682
6
②由①知, 一株小麦的生长指标值位于区间
(187.8,212.2)的概率
为
0.6826
,
依题意知
X : B(100,0.6826)
所以EX 100 0.6826 68.2
6
20.解: (1)由题意知2a 6 2c 所以
所以
b25,椭圆C的方程为
(2)
A(X I,
丫1)
B(x
2, y2)又F I
(
2,0
)
F2(2,0
)
所以
uuu
r
AF1
X I
,
%)
uuu
r
BF2
(
2
X2
,
V2)
uu
r
uuu
n
AF1 2BF2 得x1 2(X2 2) y1 2y2
延长AB交椭圆于
uuur
因为AF1
uuu
n
2BF2
AF1//BF2 AF I 2 BF2
所以线段
BF2为AF1H
的中位线，即
F2为线段F1H
的中
点,
所以H(6,0)
设直线AB的方程为x my 6
代入椭圆方程得，5(my6)2 9y2 2
45 即(5m
2
9)y 60 my
135 0
60m
y1 y2
所以5m 9
3 y2 y1
135
y2 1~2~""
5m 9
2
2 y2
消去y2,得
2 92
3 9,3 m ------- m ----------------
25 ,依题意取 5
&边形ABF2F1 S
AF1H BF2 H
F i H y i F2H y2
4y i 2y2 2y2
120m
15、、3
T 2 7
5m2 9 4
a 21.解：(1)当3
8时,
f
(x)
3x2 x inx
8
,
f'(x) 所以(3x 2)(x 2)
4x
(x 0)
令f'(x) 0,得x 2, 当x (0，2)时, f'(x) 0.
当x(2,)时, f'(x) 0 ,所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增,
所以当x2时,
f
f(2
)
f(x)有最小值
2 ln2 2 . f '(x)
⑵由f(x) ax X ln X,得2ax 1
c 2 )
2ax x
1(x 0)
x ,
c f '(x)
所以当a 0时，
2ax2 x 1
函数f(x)在(0，)上单调递减，所以当 a 0时, f(x)在(0，)上最多有一个零点.
因为当1 a 0时，f(1)a 1 0f(1)且
e
所以当1 a 0时，函数f(x)在(0，)上有零点.
综上，当1 a 0时，函数f(x)有且只有一个零点.
(3)由(2)知，当a 0 时，f(x)在(0，)上最多有一个零点. 因为f(x)有两个零点，所以a 0
由f (x) ax2 x
2
2ax
x 1 , —(x
0)
2
令g(x) 2ax
因为g(0) 12a 0,所以g(x)在(0，)上只有一个零点, 设这个零点为x0
当x (0，x0 )时g(x) 0 f'(x) 0.
当x (x o，)时, g(x) 0 f'(x) 0.
所以函数
f(x)在(0, x 0)上单调递减；在(x 0，)上单调递增.
2 2
22.解：(1)曲线的普通方程为 x y 4 ,要使函数
f(x)在(0,)上有两个零点，只需要函数 f(x) 2 的极小值 f (x o ) 0 ,即 a x 0 x 0 ln x 0 0
2 ,
因为 g(x o ) 2ax o x o 1
°,
所以 ax o 2 x o In x o 21n x 0 2ax 。

2 2x 0)
1 2
2[ 21n x 0(2a x 0
X o 1) x o 1]
2(1 X 。

21n X o )
可得21n x o x o 1
又因为h(x) 21n x 1 在(0, )上是增函数，且 0,
所以x o 1, 0 —
x o
由 2ax o 2 x o 1 0,得 2a 丁。

)2
x o 2)2
1 4, 所以0 2a 2,即0
以下验证当0 a 1时, 函数 f (x)
有两个零点
所以
因为 a 1时, 1 x o
f(-) e a ~2 e g(1) a 2a
~2 a e
""2
e g(1) 2(a 1) f(x 0) 0
o, 1
LL , , f ( 一，
X o ) 上有一个零点.
又因为 2 4a f(2) 4a a a 1n2 a (2 1)
a 1 0
(因 In x
1). 且 f (x 0) 0,所以 2
(x o , )
f(x)在 a 上有一个零点.
所以当0 a 1时, 1 2、
(,一)
函数 f(x)在 e a
综上，实数 a
的取值范围是(0，1)
当
a 2时，直线l 的普通方程为2y x 0 2y 0 4,5 5 2.5 x 2y 2 a (2)直线1的普通方程为 从而C 25 ，丁 0, 4.5 5 2.5 丁, 设C 的参数方程为
x 2cos y 2sin (
为参数)， 则C 上的点(2cos ，2si n )到l 的距离为 2cos 4sin 5 2x5sin( ) (2 a) J5 2
展2 a 2时，d 的最大值为 历 2.5 2 a -5一 由题设得 5 2.5 ，所以a 8
2.5 2 5 2 a 2时，d 的最大值为 J5 2<5 2 a 由题设得 '、• 5 2万12 综上, 2.5 12 2
3.解: (1)当a 5时, 不等式 f(x) 所以
(2)
1时，①式化为 2 0, 无解; x 2时，①式化为 2
2时，①式化为x f(x) 3x 4 0,得 2 8 0,得 1x2. 1 . 33 2 ■ g(x)的解集为 .1 .33、 1，
一 区司时，f (x) 3, 所以f(x) g(x)的解集包含[2,3],等价于x [2,3]时g(x) 3.
2
又g(x) x x a在［2,3］上的最大值为g⑶6a.
所以g(3) 3，即6 a 3，得 a 3 .所以a 的取值范围为［3, ) .。