向量法求距离

A B
|AB|=
AB AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2 2 2
2
d A, B
x2 x1 y2 y1 z2 z1
其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。
2. 点到平面的距离 已知AB为平面a的一条斜线段, n平面a的法向量. | AB ·n | 求证:A到平面a的距离 d= |n| , n = AB ·n ∵ 证明： cos AB | AB | | n | n 设C点为A在平面α内的射影。 ∠BAC= AB , n 或 ∠BAC = π－ AB , n
所以直线和它平行平面的距离转化点到面的距离
在a和平面β上分别任取一点A和B
A
a
n 是平面β的一个法向量
直线a和它平行平面β的距离为
n
d=
|AB ·n |
|n|
β
B
例1 如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是 A1B1 、CD的中点,求点B到截面AEC1F的距离。 z 解：以D为原点,如图所示建立直角坐标系。 D1 C1 1 1 则 A(1,0,0), F 0, ,0 , E 1, ,1 E 2 2 A1 B1
设面AEC1F的法向量为 n =(1,λ, μ )
AE ·n = 0
1 ∴ AE 0, ,1 2 1 AF 1, ,0 2
D F A x B C
y
∴
AF ·n = 0
1 2 0 即 1 1 0 2
A1 D1 C1
B1
A1B, BD平面A1BD
A1B∩ BD=B D1C, D1B1 平面CB1D1 平面A1BD∥平面CB1D1
A
B
D
C
(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。 解：如图所示建立直角坐标系。 ∴ D(0,0,0), A1 (a,0,a), B(a, a, 0), D1(0,0,a). A1
向量为 n 则
a n · =0 b n · =0
| AB ·n |
b
n b
B
∴ a、b之间的距离 d=
|n|
[例1] 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与 B1C的距离。 解：如图所示建立直角坐标系，则 A1(1,0,1), C1(0,1,1), B1(1,1,1), C(0,1,0).
| AB ·n | |n|
异面直线间的距离 a’∥a
a
A
a
n⊥β
a’ β
n ⊥ a n · =0 a
b
b
P B
n
a'
n⊥β
bβ
n ⊥ b n · =0 b
β
所以在求两条异面直线的距离时,只需在两条异面直线a 、 b上
分别任取一点A、B。 设与a 、 b的方向向量都垂直的
a
A
a
α
A
B
CBiblioteka Baidu
∴ cos∠BAC= |cos AB , n |
∴ A到平面a的距离 AC=AB · ∠BAC = | AB |· AB , n | cos |cos n| |AB · | AB ·n | = | AB |· | | | = | AB n | |
n
3. 直线和它平行平面的距离 已知直线a∥平面β,求a到平面β的距离 解：因a上的任意一点到平面β的距离都相等。
3.异面直线间的距离 已知异面直线a、b,求a、b之间的距离。 解：过b上任一点P, 作 a’∥a 不妨令 a’ 、b确定的平面为β ∴a ∥β ∴异面直线a、b之间的距离,
A a
b β
n
a'
P
B
转化直线a和它平行的平面β之间的距离
∴可在a上任一点A, b 上任一点B, n 是平面β的一个法向量
∴ a、b之间的距离 d=
有关距离的几个概念
平行线 间的距离 异面直线 间的距离 直线和 平面的距离 平行平 面间的距离
a
d
b
a d b a'
d a
a
d β
a
a∥b
a、b是异面直线, a∥a,d是 d是a与b的距离。 a与a的距离。
a∥β,d是 a与β的距离。
1.空间两点间距离 已知A(x1 , y1, z1), B(x2 , y2, z2)
D1
C1
B1
C
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (2) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
B
x
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴， DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E(0, ,1) 2 1 A1 E 1, , 0 , D1 B 1,1, 1 2 E D1 C1 设n ( x, y, z )是与 A1E , D1B都垂直的向量， A1 则 n A1E 0, x 1 y 0, B1 2 n D1B 0, x y z 0, D y 2 x, C 即 取x＝ ，得其中一个n (1, 2,3) 1 z 3 x, B 选A1E与BD1的两点向量为D1 A1 1,0,0 , A D1 A1 n 14 得A1E与BD1的距离 d 14 n
z
D1
C1
B1
DA1 = (a,0,a), BA1 = (0,－a, a),
令平面A1BD的法向量为 n =(1, y , z)
z=－1 y=－1
D
y C B
DA n · 1= a+az =0
BA n · 1=－a y+az =0
∴ n =(1, －1 , －1)
即
x
A
∵ D1A1=(a, 0 , 0)
z
D1 A1 B1 C1
d
| n A1 B1 | |n|
1 3 3 3
D
C y
x
4. 两个平行平面间的距离
d=
|AB ·n | |n| a
A
A、B分别是a、β上的任意点，
n 是平面a、 β的一个法向量
β
n
B
[例2] 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1BD∥平面CB1D1； (2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。 (1)证明： 矩形A1BCD1 A1B∥D1C 矩形DBB1D1 D1B1∥BD
d=
| D1A1 · | n
|n|
a 3 a 3 3
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (1) 求B1到面A1BE的距离；
z
D1
E
C1
A1
B1
D
C
A
y
B
x
1 2)A1 E =(-1, ,0),A1 B=(0,1,-1)设n ( x, y, z )为面A1 BE的法向量， 2 则 n A1E 0, x 1 y 0, z 2 n A1B 0, y z 0, E
1 2 0 即 1 1 0 2
∴ n =(1,2, －1 ) 又∵ AB =(0,1, 0 )
2 1
A1
z D1 E B1 y F A x B C
C1
所以B点到截面AEC1F的距离为：
D
d=
|AB ·n | |n|
2 6 6 3
z
y
x
取x＝ ，得平面A1BE的 1 A1 一个法向量n (1, 2, 2) 选点B1到面A1 BE的斜向量为A1 B1 0,1, 0 , D A1B1 n 2 得B1到面A1BE的距离为d 3 A n
y 2 x, 即 z 2 x,
A1
z
D1 B1 C1
A1C1 =(－1,1,0) B1C =(－1, 0 , －1)
设A1C1与 B1C 的公垂线的方向向量
n = (x, y , z)
n A1C1 0 x y 0 则 即 n B1C 0 x z 0
A x
D
B
C y
取x=1得 n = (1, 1, －1) 又A1B1 =(0,1,0) ∴A1C1与B1C的距离