理论力学复习第十二章
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解: EK=E轮+E轮履转动+E水平履带
1 3W 2 3W 2 E轮 2 v 2 v 22 g 4 g
R
2v v
1 P 2 1 P 2 2 1 P 2 E带 v R 4v 2 2g 2 2g 2 4g
P 2 v g
1 3W 2 P 2 EK v 2 g
12
理论力学· 动力学
B Ff
Ff
A
A B
st
F
f t
B
f 0
S
W F S F S
8
理论力学· 动力学
§12-2 动能
1. 质点的动能
1 mv 2 2
v m
瞬时量，与速度方向无关，永为正值。 单位：焦耳 (J) = (kg m2/s2)
2. 质点系的动能
EK 1 m i v i2 2
m1 v2
2 2
C
Fn
drC
Fi dri
F2
C1
1
力系向质心简化:
主矢FR 在刚体随C平移中做功， 主矩在刚体绕C 转动中做功。
5
理论力学· 动力学
例1-1 如图所示，均质链条重为P ，长为l，初始静止，且垂 下的部分长为a，试求链条全部离开桌面时重力所作的功。 解：在桌面建立向下的坐标轴z ， l－a 如图所示则链条全部离开桌面时 o 其重心的高度差为:
2
EK 2 EK 1 W e
dEK W e
微分形式 积分形式
W i 0
刚体两瞬时的动能变化等于刚体的所有外力在相应路程中 所作的全功的代数和。 若作用力按主动力和约束力分类
dEK WF WN
系统在理想约束的条件下
dEK WF 微分形式
EK 2 EK 1 WF 积分形式
3. 合力的功
FR Fi
W
S
Xdx Ydy Zdz
M1 M 2
FR dr F1dr ....... Wi
S
合力的功等于 各分力的功的 代数和。
2
理论力学· 动力学
4. 几种常见力的功
①重力的功 对质点 :
zi 2 zi 1
[考点]
理论力学· 动力学
第十二章 动能定理
§12–1 §12–2 §12–3 §12–4 §12–5 §12–6 力的功 动能 动能定理 功率 · 功率方程 势力场 · 势能 · 机械能守恒定理 动力学普遍定理的综合应用
重点· 难点
1
理论力学· 动力学
§12-1 力的功
1. 常力在直线运动中的功
W F S Fs cos
7
理论力学· 动力学
例1-3 图示绕线轮沿斜面下滑S距离，计算所受外力的功。 解:
WG GS sin
WFN 0, WFT 0, WFS 2 FS S
C
FT
S
C
G
FS
例1-4 已知 F、Ff 、 、 t , S S 求: W 、W 、W。
A Ff B Ff
FN
解:
WFAf Ff S St W Ff S
v0 v0 vCO
பைடு நூலகம்
r
C
l
m
3 1 l 2 1 1 2 E k mv0 m(v0 ) ml 2 2 4 2 2 2 12
14
理论力学· 动力学
§12-3
1. 质点动能定理
dv m F dt
动能定理 [重点· 考点]
dv ds F ds dt
m
mvdv F ds
3
理论力学· 动力学
③转动刚体上作用力的功 W F ds F rd Mz (F )d 2 W M z ( F )d 作用于转动刚体上力
z
F r F
1 Mz (F ) 常量 W Mz (F ) (2 1 )
W M ( 2 1 )
2 C
2 v 2 vC vri vri
v2 C m2
1 2 E K mi vi 2 1 1 2 2 m i vC m i v ri m i vC v ri 2 2
1 1 2 2 mv C m i v ri vC m i v ri 2 2
15
理论力学· 动力学
2. 质点系动能定理
若作用力按内力和外力分类
1 质点： d ( m i v i 2 ) W e W i 2 质点系： d ( 1mi v i 2 ) W e W i 2
F i’
Fi ds1
ds2
W i 0
dEK W e W i EK 2 EK 1 W e W i
A
B
δ1 0 δ2 （2R 2 R）
k W ( 2 2 )2 R 2 0.171kR2 2
从B到C弹力的功:
O
450 22.50
C
1 2 R 2 R） 2 r2 2 R ) （ （ r2 2 R cos 22.5 1.84776R
k 2 2 W ( 1 2 ) 0.077 kR 2 2
③平面运动刚体
EK
v
1 J O 2 2 2 1 E K ( J C M OC ) 2 2
O为速度瞬心， C为质心。 C
O
o
C
vc
11
1 1 2 mvC J C 2 2 2
理论力学· 动力学
例2-1 坦克履带轮，已知：履带重P，各轮重W,半径R,写出 整个系统的动能。
R NB dsB dsB
O R C
ds R’
TB
5）刚体在粗糙面上的纯滚动
vc
纯滚动 FS
WN (FN FS ) drC 0
FN
18
理论力学· 动力学
例3-1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C 处光滑铰接， 置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止， C点高度为h，求铰C 到达地面时的速度。 解：研究整体，受力分析：
l a a a P0 P l l 2 h z2 z1 l 2 P
l a2 2 2l
则重力所的功为:
图12-8
a
z
l a2 P (l 2 a 2 ) W12 P h P ( ) 2 2l 2l
6
理论力学· 动力学
例1-2 固定圆环半经为R，小球套在环上，被长度为l 2 R 的弹簧约束在A点。求：小球从A到B及从B到C弹力的功。 解: 从A到B弹力的功:
W
N
0
在理想约束的条件下，刚体两瞬时的动能变化，等于刚体 的所有主动力在相应路程中所作全功的代数和。
17
理论力学· 动力学
理想约束：质点系的约束反力在其位移下所作的元 功之和等于零
W N
ds dsA NA dsA TA N
i
dri 0
1) 光滑固定面 2) 无重 刚杆 3) 光滑绞链 4) 不可伸长的绳索
13
理论力学· 动力学
例2-3 均质轮与均质杆铰接，已知m ,l ,r ,v0 , ,求系统动能 。
解: EK=E轮+E杆
m
O
13 13 2 2 2 E轮 mr 0 mv0 22 22 1 vC v0 vCO v0 l 2 1 l 2 1 1 E杆 m(v0 ) ml 2 2 2 2 2 12
v1
m2
某瞬时质点系的动能等于该瞬时质点系内各质点的动 能的算术和。它是反映系统运动强度的又一物理量。
9
理论力学· 动力学
对于第i个质点相对质心的速度: vi vC vri
vi2 vi vi (vC vri ) (vC vri )
z
M1
zi1 M h M2 zi2 Pi y
W Pi dz
x
W Pi dz Pi ( z i 1 z i 2 ) Pi h
对质点系 : W P ( zC 1 zC 2 ) 重力的功与路径无关。
l0 o
x
1
F x
②弹性力的功 弹簧原长l0 , 小变形
微分形式 积分形式
质点系两瞬时的动能变化等于质点系的所有外力和内力 在相应路程中所作的全功的代数和。
16
理论力学· 动力学
3. 刚体动能定理
ds1 cos1 ds2 cos 2
ds2 Fi 1 F i’ ds1
W i Fi ds1 cos1 Fids2 cos 2 0
弹簧变形，原点取在未变形位置 x = 弹簧力为 F = - kx ，k 为弹簧的刚性系数
2
2
2
1 2 1 k ( 2 2 ) W kxdx kx 1 2 2 2 1
1
1 l1 l 0 , 2 l 2 l0
弹性力的功与路径无关。
FA drAB
rA
B
可见: 变形体中内力功不为零， 刚体中内力功为零。 ⑦平面运动刚体上力系的功 dri drC dri W Fi dri
rB
Mi
Fi dri Fi cos CMi d MC ( Fi ) dt 可得: δW FR drc M c ωd t C W12 FR drC M C d
的功等于力矩的功。
力偶的功 ④摩檫力的功
静摩檫力 滚阻力偶 动摩檫力
drP v P dt 0 W FS drP FS v P dt 0 s W M f m R
C Mf P FN F’ M1 N M2 M FS
W
F ds
例2-2 长为l ，重P 的均质杆OA绕通过球形铰链的竖直轴Oz以 等角速度 转动。如杆与铅直线的夹角为，求杆的动能。
z 解：在杆上距O为r处取一微段 dr，如图。 则该微段的动能为: O r 1 P 1 dr( r sin )2 dEK dmv2 dr C 2 gl 2 2 P sin 2 2 P A r dr 2 gl 所以整个杆的动能为 Ek P 2 2 2 P 2 si n2 l 2 E K dEk 0 r dr 6 g l sin 0 2 gl
s M1
0</2
W>0 W<0
正功 负功
F
M2 S
/2<
元功
2. 变力在曲线运动中的功
W F dr Fds cos
全功
W
F dr
M1M 2
dr M M1 r
M2 F
F ds
Xdx Ydy Zdz
F ds
M1 M 2
10
理论力学· 动力学
3. 刚体的动能
①平动刚体
1 1 2 1 2 2 E K mi v i vC mi mvC 2 2 2
C
vi
vC
z r
②定轴转动刚体
1 1 2 2 E K mi v i mi ri 2 2 2 1 1 2 2 m i ri J z 2 2 2
M1 M 2
f Nds
M1 M 2
v
4
动摩檫力与相对滑动的方向相反，作负功。
理论力学· 动力学
⑤万有引力功
1 1 万有引力所作的功只与质点的 W Gmm0 ( ) 始末位置有关，与路径无关。 r2 r1 A ⑥质点系内力功 FA FB d W FA drA FB drB FA drA drB
F M2
1 2 d ( mv ) W 2
微分形式
质点动能的微分等于作用在质点上的力 作的元功 v2 1 d ( mv 2 ) F ds W12 2 v1 M1 M 2 1 1 2 2 mv2 mv1 F ds W12 2 2 M1 M 2
v
m M1
积分形式
质点在运动过程中两瞬时的动能变化，等于作用在质点 上的力在相应路程上作的全功。
m1 vC
v1 vi
mi v vri C
1 1 2 2 E K mvC mi v ri ? vC mi vri vC mvrC 0 2 2 d( mi rri ) d( mrrC ) mi v ri 0 dt dt
柯尼希定理： 质点系的动能等于随同其质心平动的 动能与相对其质心运动的动能之和。
1 3W 2 3W 2 E轮 2 v 2 v 22 g 4 g
R
2v v
1 P 2 1 P 2 2 1 P 2 E带 v R 4v 2 2g 2 2g 2 4g
P 2 v g
1 3W 2 P 2 EK v 2 g
12
理论力学· 动力学
B Ff
Ff
A
A B
st
F
f t
B
f 0
S
W F S F S
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理论力学· 动力学
§12-2 动能
1. 质点的动能
1 mv 2 2
v m
瞬时量，与速度方向无关，永为正值。 单位：焦耳 (J) = (kg m2/s2)
2. 质点系的动能
EK 1 m i v i2 2
m1 v2
2 2
C
Fn
drC
Fi dri
F2
C1
1
力系向质心简化:
主矢FR 在刚体随C平移中做功， 主矩在刚体绕C 转动中做功。
5
理论力学· 动力学
例1-1 如图所示，均质链条重为P ，长为l，初始静止，且垂 下的部分长为a，试求链条全部离开桌面时重力所作的功。 解：在桌面建立向下的坐标轴z ， l－a 如图所示则链条全部离开桌面时 o 其重心的高度差为:
2
EK 2 EK 1 W e
dEK W e
微分形式 积分形式
W i 0
刚体两瞬时的动能变化等于刚体的所有外力在相应路程中 所作的全功的代数和。 若作用力按主动力和约束力分类
dEK WF WN
系统在理想约束的条件下
dEK WF 微分形式
EK 2 EK 1 WF 积分形式
3. 合力的功
FR Fi
W
S
Xdx Ydy Zdz
M1 M 2
FR dr F1dr ....... Wi
S
合力的功等于 各分力的功的 代数和。
2
理论力学· 动力学
4. 几种常见力的功
①重力的功 对质点 :
zi 2 zi 1
[考点]
理论力学· 动力学
第十二章 动能定理
§12–1 §12–2 §12–3 §12–4 §12–5 §12–6 力的功 动能 动能定理 功率 · 功率方程 势力场 · 势能 · 机械能守恒定理 动力学普遍定理的综合应用
重点· 难点
1
理论力学· 动力学
§12-1 力的功
1. 常力在直线运动中的功
W F S Fs cos
7
理论力学· 动力学
例1-3 图示绕线轮沿斜面下滑S距离，计算所受外力的功。 解:
WG GS sin
WFN 0, WFT 0, WFS 2 FS S
C
FT
S
C
G
FS
例1-4 已知 F、Ff 、 、 t , S S 求: W 、W 、W。
A Ff B Ff
FN
解:
WFAf Ff S St W Ff S
v0 v0 vCO
பைடு நூலகம்
r
C
l
m
3 1 l 2 1 1 2 E k mv0 m(v0 ) ml 2 2 4 2 2 2 12
14
理论力学· 动力学
§12-3
1. 质点动能定理
dv m F dt
动能定理 [重点· 考点]
dv ds F ds dt
m
mvdv F ds
3
理论力学· 动力学
③转动刚体上作用力的功 W F ds F rd Mz (F )d 2 W M z ( F )d 作用于转动刚体上力
z
F r F
1 Mz (F ) 常量 W Mz (F ) (2 1 )
W M ( 2 1 )
2 C
2 v 2 vC vri vri
v2 C m2
1 2 E K mi vi 2 1 1 2 2 m i vC m i v ri m i vC v ri 2 2
1 1 2 2 mv C m i v ri vC m i v ri 2 2
15
理论力学· 动力学
2. 质点系动能定理
若作用力按内力和外力分类
1 质点： d ( m i v i 2 ) W e W i 2 质点系： d ( 1mi v i 2 ) W e W i 2
F i’
Fi ds1
ds2
W i 0
dEK W e W i EK 2 EK 1 W e W i
A
B
δ1 0 δ2 （2R 2 R）
k W ( 2 2 )2 R 2 0.171kR2 2
从B到C弹力的功:
O
450 22.50
C
1 2 R 2 R） 2 r2 2 R ) （ （ r2 2 R cos 22.5 1.84776R
k 2 2 W ( 1 2 ) 0.077 kR 2 2
③平面运动刚体
EK
v
1 J O 2 2 2 1 E K ( J C M OC ) 2 2
O为速度瞬心， C为质心。 C
O
o
C
vc
11
1 1 2 mvC J C 2 2 2
理论力学· 动力学
例2-1 坦克履带轮，已知：履带重P，各轮重W,半径R,写出 整个系统的动能。
R NB dsB dsB
O R C
ds R’
TB
5）刚体在粗糙面上的纯滚动
vc
纯滚动 FS
WN (FN FS ) drC 0
FN
18
理论力学· 动力学
例3-1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C 处光滑铰接， 置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止， C点高度为h，求铰C 到达地面时的速度。 解：研究整体，受力分析：
l a a a P0 P l l 2 h z2 z1 l 2 P
l a2 2 2l
则重力所的功为:
图12-8
a
z
l a2 P (l 2 a 2 ) W12 P h P ( ) 2 2l 2l
6
理论力学· 动力学
例1-2 固定圆环半经为R，小球套在环上，被长度为l 2 R 的弹簧约束在A点。求：小球从A到B及从B到C弹力的功。 解: 从A到B弹力的功:
W
N
0
在理想约束的条件下，刚体两瞬时的动能变化，等于刚体 的所有主动力在相应路程中所作全功的代数和。
17
理论力学· 动力学
理想约束：质点系的约束反力在其位移下所作的元 功之和等于零
W N
ds dsA NA dsA TA N
i
dri 0
1) 光滑固定面 2) 无重 刚杆 3) 光滑绞链 4) 不可伸长的绳索
13
理论力学· 动力学
例2-3 均质轮与均质杆铰接，已知m ,l ,r ,v0 , ,求系统动能 。
解: EK=E轮+E杆
m
O
13 13 2 2 2 E轮 mr 0 mv0 22 22 1 vC v0 vCO v0 l 2 1 l 2 1 1 E杆 m(v0 ) ml 2 2 2 2 2 12
v1
m2
某瞬时质点系的动能等于该瞬时质点系内各质点的动 能的算术和。它是反映系统运动强度的又一物理量。
9
理论力学· 动力学
对于第i个质点相对质心的速度: vi vC vri
vi2 vi vi (vC vri ) (vC vri )
z
M1
zi1 M h M2 zi2 Pi y
W Pi dz
x
W Pi dz Pi ( z i 1 z i 2 ) Pi h
对质点系 : W P ( zC 1 zC 2 ) 重力的功与路径无关。
l0 o
x
1
F x
②弹性力的功 弹簧原长l0 , 小变形
微分形式 积分形式
质点系两瞬时的动能变化等于质点系的所有外力和内力 在相应路程中所作的全功的代数和。
16
理论力学· 动力学
3. 刚体动能定理
ds1 cos1 ds2 cos 2
ds2 Fi 1 F i’ ds1
W i Fi ds1 cos1 Fids2 cos 2 0
弹簧变形，原点取在未变形位置 x = 弹簧力为 F = - kx ，k 为弹簧的刚性系数
2
2
2
1 2 1 k ( 2 2 ) W kxdx kx 1 2 2 2 1
1
1 l1 l 0 , 2 l 2 l0
弹性力的功与路径无关。
FA drAB
rA
B
可见: 变形体中内力功不为零， 刚体中内力功为零。 ⑦平面运动刚体上力系的功 dri drC dri W Fi dri
rB
Mi
Fi dri Fi cos CMi d MC ( Fi ) dt 可得: δW FR drc M c ωd t C W12 FR drC M C d
的功等于力矩的功。
力偶的功 ④摩檫力的功
静摩檫力 滚阻力偶 动摩檫力
drP v P dt 0 W FS drP FS v P dt 0 s W M f m R
C Mf P FN F’ M1 N M2 M FS
W
F ds
例2-2 长为l ，重P 的均质杆OA绕通过球形铰链的竖直轴Oz以 等角速度 转动。如杆与铅直线的夹角为，求杆的动能。
z 解：在杆上距O为r处取一微段 dr，如图。 则该微段的动能为: O r 1 P 1 dr( r sin )2 dEK dmv2 dr C 2 gl 2 2 P sin 2 2 P A r dr 2 gl 所以整个杆的动能为 Ek P 2 2 2 P 2 si n2 l 2 E K dEk 0 r dr 6 g l sin 0 2 gl
s M1
0</2
W>0 W<0
正功 负功
F
M2 S
/2<
元功
2. 变力在曲线运动中的功
W F dr Fds cos
全功
W
F dr
M1M 2
dr M M1 r
M2 F
F ds
Xdx Ydy Zdz
F ds
M1 M 2
10
理论力学· 动力学
3. 刚体的动能
①平动刚体
1 1 2 1 2 2 E K mi v i vC mi mvC 2 2 2
C
vi
vC
z r
②定轴转动刚体
1 1 2 2 E K mi v i mi ri 2 2 2 1 1 2 2 m i ri J z 2 2 2
M1 M 2
f Nds
M1 M 2
v
4
动摩檫力与相对滑动的方向相反，作负功。
理论力学· 动力学
⑤万有引力功
1 1 万有引力所作的功只与质点的 W Gmm0 ( ) 始末位置有关，与路径无关。 r2 r1 A ⑥质点系内力功 FA FB d W FA drA FB drB FA drA drB
F M2
1 2 d ( mv ) W 2
微分形式
质点动能的微分等于作用在质点上的力 作的元功 v2 1 d ( mv 2 ) F ds W12 2 v1 M1 M 2 1 1 2 2 mv2 mv1 F ds W12 2 2 M1 M 2
v
m M1
积分形式
质点在运动过程中两瞬时的动能变化，等于作用在质点 上的力在相应路程上作的全功。
m1 vC
v1 vi
mi v vri C
1 1 2 2 E K mvC mi v ri ? vC mi vri vC mvrC 0 2 2 d( mi rri ) d( mrrC ) mi v ri 0 dt dt
柯尼希定理： 质点系的动能等于随同其质心平动的 动能与相对其质心运动的动能之和。