力矩与平面力偶系

因此平面力偶系平衡的必要且充分条件为力偶 系中各力偶的力偶矩的代数和等于零，即：
∑ Ｍi=０
思考题：３－１：约束力ＦＡ，ＦＢ的大小与力 偶矩Ｍe作用的位置无关．
思考题：３－２：合力为零，但合力偶矩不为 零，物体有转动效应，物体不平衡。
思考题：３－３：两个力偶的力偶矩大小相同， 力偶的转向相同，但作用面不同，固此两个力 偶不等效。
力偶矩用符号M（F，F’）或M表示；即 M（F，F’）=±Fd
规定：逆时针转动时，力偶矩取正号； 顺时针转动时，力偶矩取负号。
力偶矩单位与力矩单位相同。
力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向和 力偶的作用面。
二. 同一平面内力偶的等效定理
作用在刚体上同一平面的两个力偶相互
等效的条件是两力偶的力偶矩的代数值
- 3 Fa 4
F1y与F2y组成一个力偶，力偶臂为
1 a ，力偶矩为 -
2
3 Fa 4
合力偶矩 M - 3 Fa
2
作业：习题3-1, 3-3, 3-3, 3-4, 3-5*,3-9*
FＲy ＝∑Fy
y Ｆ2
ＦR Ｆ1
xＡ
Ｆ3
q
y
Ｏ
x
d
Mo (FＲ)=x FＲy-yFＲx= x∑Fy-y∑Fx= ∑Mo(Fi)
Mo (FＲ)=∑Mo(Fi)
即平面汇交力系的合力对作用面内任一 点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代 数和——平面汇交力系的合力矩定理。
§3-2力偶的概念
一.力偶与力偶矩 1．力偶
号Ｍo (F)表示。即：
Ｍo (F)=±Ｆd
Ｏ点称为力矩中心，简称矩心；
Ｏ点到力Ｆ作用线的垂直距离h称为力臂。
力矩的正负号用于区别力Ｆ使物体绕Ｏ点转 动的两种转向。规定:力使物体绕矩心逆时 针转动时为正,反之为负。
力对点之矩只取决于力矩的大小和旋转方向 （力矩的正负），是一个代数量。
M(FR,FR’)=M(F,F’)+ M(F1,F1’) ∴ M(F,F’)= M(FR,FR’) M(FR,FR’) = M(FR1,FR1’) ∴M(F,F’)= M(FR1,FR1’)
推论1. 力偶可在其作用面内任意移动 和转动而不改变它对刚体的转动效应。
推论2. 在保持力偶矩的大小和转向不
一. 力对点之矩
用扳手拧一螺母，
扳手连同螺母绕一
定点Ｏ转动。由经
验可知，力越大， 螺母拧得越紧；力
F d
的作用线离螺母中
心愈远，拧紧螺母
O
愈省力。
经验表明：力Ｆ使物体绕定点Ｏ的转动效应，
不仅与力的大小有关，而且与Ｏ点到力的作用 线的垂直距离d有关。
用乘积Ｆd来度量力的转动效应。
将力的这种转动效应称为作用于物体上的力 F对空间任意一点O的矩。简称力矩，用符
力的作用线如通过矩心，则力矩为零； 反之，如一个大小不为零的力对一点之 矩为零，则此力的作用线必通过该点。
互成平衡的二力对同一点的力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点的 作用引出。实际上，作用于物体上的力 可以对任意点取矩，即矩心可是空间中 的任意点。
二．力对轴的矩
力对轴的矩用来度量力对 所作用的刚体绕某一固定轴转 动的效应。
实践中,常见到两个大小相等,方向相 反的平行力作用于物体的情形。
这样的两个力不满足二力平衡条件。
将这种大小相等、方向相反、作用线 平行的两个力叫做力偶。
记作：（F，F‘）
力偶中两力作用线之间的垂直距离d叫力 偶臂。
力偶所在平面叫力偶作用面。
２．力偶的性质
y
⑴力偶在任何坐标轴 上的投影等于零。
力矩的单位：N ·m（牛顿·米) 或 kN ·m（千牛顿·米)
力矩的三要素是：大小、方向和矩心。
对三角形△OAB，F的大
小为底边长，d为高，即三
Ｂ
角形的面积为：
Ｆ
S△OAB =Fd/2 Ｍo =Fd=2 S△OAB
Ａ
Ｏ
d
即力对Ｏ点的矩的大小
等于△OAB面积的２倍。
力对任一已知点的矩，不会因该力沿作 用线移动而改变。
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶的概念、力偶的 性质、平面力偶系的合成与平衡。本 章与第二章的理论是研究平面一般力 系的基础。
§3-1 力矩的概念和计算
一般情况下，力对物体作用时可以产 生移动和转动两种外效应。力的移动 效应取决于力的大小和方向。为了度 量力的转动效应，需要引入力矩的概 念。
F11’
d
F11
F22’
FR’ d FR
ＭR为合力ＦＲ，ＦＲ’组成的力偶（ＦＲ，ＦＲ’ ）(称 为合力偶)的力偶矩，称为合力偶矩；也是原来两个力 偶的力偶矩的和。
ＭR= Ｍ１-Ｍ2

同理，当平面力偶系由n个力偶组成时，其力偶矩
分别为M１,M２ , ….Mn
它们可合成为一个合力偶，其合力偶矩为：
设物体上作用有一 力偶臂为d的力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点的矩之大小恒等于力偶中 一力的大小和力偶臂的乘积，而与矩心的位置无关。
力偶对物体的转动效应可用力与力偶臂的乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
A
即合力FR=0
F1x

F
cos60

1 2
F,
F1y F sin 60
3F 2
C F3
F2 x

F
cos60

1 2
F,
F2y -F sin 60 -
3F 2
F1x和F３在同一作用线上，合力
F
F1x
- F3
-1F 2
F２x与
F 组成一个力偶，力偶臂为
3a 2
，力偶矩为
x Ａa
r
Ｆx
q
y
Ｏ
x
d
Mo (F1)=x F1y-yF1x Mo (F2)=x F1y-yF1x Mo (F3)=x F1y-yF1x
∑Mo(Fi)=x∑Fy-y∑Fx F1, F2, F3的合力为FＲ。
FＲ在x,y轴方向的分力为FＲx , FＲy
Mo (FＲ)=x FＲy-yFＲx
由于：FＲx ＝∑Fx
该固定轴称为矩轴，通常 标识为Z轴。
三．合力矩定理
Mo (F)= Fd = Fr sin (a-q) = Fr (sin a cos q –sin q cos a) Fx= F cos a, Fy=F sina; x=r cosq, y=r sinq。 即：
Mo (F)=x Fy-yFx
y
Ｆy
Ｆ
（力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向和力 偶的作用面。）
因此两个力偶等效，必须是该两个力偶的力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sina
M A(F ) -Fx b Fy 0 -Fbcosa
力偶臂为d1,d2 力偶矩为：
Ｍ１＝＋Ｆ１d1 Ｍ2＝-Ｆ2d2
取力偶(F11,F11’)和(F22,F22’)
且:＋Ｆ１1d＝Ｍ１ -Ｆ22d＝Ｍ2
ＦR＝F11-F22 ＦR’＝ F11’-F22’ ＭR=ＦRd=(F11-F22)d
=Ｆ１1d-Ｆ22d= Ｍ１-Ｍ2d2
F1’
F2’
F22
变的条件下，可以任意改变力偶中力
和力偶臂的大小,这不会改变力偶对刚
体的转动效应。
等效力偶
注:以上两个推论只对刚体适用！
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
作用在物体上同一平面内的若干力偶， 总称为平面力偶系。
一. 平面力偶系的合成
设同一平面内作用有两个力偶 （Ｆ１，Ｆ１’）和 （Ｆ２，Ｆ ２’）。
相等。
称为同一平面内力偶的等
效定理。
力偶（F，F’）的力偶矩为
M(F,F’)
加上一对平衡力（F1，F1’）后， 力系
（F，F’）=（F，F’， F1，F1’） =（ FR，FR’）=（ FR1，FR1’） ∵M(F1,F1’)=0 ∴ M(F,F’)= M(F,F’)+ M(F1,F1’) 又∵
ＭR= Ｍ１＋Ｍ2＋．．． ＋Ｍn=∑ Ｍi
即平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于 力偶系中各力偶矩的代数和。
二. 平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡，表明力偶系对物体的转动效应 为零。
因为平面力偶系合成的结果既然是一个合力偶， 所以，要使力偶系平衡，合力偶矩必须为零；当 合力偶矩为零，则表示力偶系中个力偶对物体的 转动效应相互抵消，物体处于平衡。
M B (F) -Fx b Fy a F (a sina - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos60 F2 cos60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
⑵力偶不能合成一个
力，即力偶没有合力，它
不能与一个力等效，因而
Ｏ
x
也不能被一个力平衡。
⑶力偶对物体不产生 移动效应，只产生转动效 应，即它可以改变而且只 能改变物体的转动状态。
２．力偶矩
力偶对物体产生转动的效应怎样度 量？
力对物体转动的效应用力矩来度量， 因此力偶对物体转动的效应可用力偶 中的两个力对其作用面内任一点之矩 的代数和来度量。