第六章有限域

群同态基本定理
定理： 设f：G→H是群G到群H上的满同态映射，那
么kerf是群的一个正规子群，而且H同构于商群 G/kerf，即G/kerf≌ H。反之，如果N是G的正规子群， 则映射
: G G / N :(a) aN
是G到G/N的满同态，且kerφ=N. 证明思路： 紧扣正规子群和同态的定义
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为 整数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合， Z[x]关于多项式的加法与乘法构成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于A的一切x 的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与乘法构成 一个环。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
（1）(am)n=amn； （2）am·an=am＋n。
3．无零因子环
定义1.2.2：设R是一个环，a，bR，若a·b=0，且a≠0和 b≠0，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。
若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。 定义1.2.3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。
我们还将a的逆元a1的n次幂记为an，即
n
an a1a1 a1
群的逆元（a1） 1=a
元素的阶
元素的阶 设G为群，a∈G，如果存在整数t， 使得at=1，则这样的最小正整数t定义为a的阶， 记为o(a)。如果这样的t不存在，则a的阶定义 为∞。
定理： o(a)=m，an=1当且仅当m|n。 证明思路： 充分性显然。必要性围绕着m为
R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或 b=0。 环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去律成立，即： a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。
三．环的分类
1．整环
定义1.2.4：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。
所有数环都是交换环，同时也是整环。
命题：对任一无平方因子的整数d(d 1)，数集
Z[ d ] {a b d | a，b Z}是整环。
模6的同余类环Z6不是整环。 2. 除环
定义1.2.5：若含有单位元和零的环R中每个非零元都可 逆，则称R为除环。
3．域
定义1.2.6：若R是一个可交换的除环，则称R为域。 有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。
n称为h（相对于生成元g）的离散对数，记为
n=㏒g(h)
离散对数的例子
例1：（Z，+）
离散对数问题是平凡的
例2：Zn，模n剩余类组成的加法群，g为Zn的 一个生成元，离散对数问题为：给定h∈Zn， 求解x，使得 xg≡h mod n
用扩展的欧几里得算法很容易求解。 ㏒g(h)=x=hg-1
乘法对加法满足分配律
a·(b+c)=a·b+a·c
域的例子
Q，R，C
a b 2, a,b Q
群
什么是群？ 集合 定义一个二元运算 二元运算满足封闭性、结合律 有单位元 有逆元 若满足交换律，则称为交换群，此时群中运算
可认为是加法，也称为加群
域的定义简化
F是一个非空集合，定义了加法、乘法两个二 元运算，对这两个运算封闭
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
一、环的定义
定义1.2.1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运 算，一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数系统（R，＋，·）是一个环。
律 满足乘法交换律的环称为交换环
环的例子
全体有理数、全体实数、全体复数和全体整数 集合对于普通的加法和乘法构成交换环．
{Z,+, ×} n ×n可逆矩阵,乘法,加法? n ×n矩阵,乘法,加法
域
有单位元的交换环 非零元构成乘法交换群
群的阶、子群
定义 如果一个群G中元素的个数是无限多个， 则称G是无限群；如果G中的元素个数是有限 多个，则称G是有限群，G中元素的个数称为 群的阶，记为|G|．
2.证明:循环群的商群也是循环群.
3.设 G a 是一个 n 阶循环群, r 是任意整数,证明: ar 与 a(r, n) 具有 相同的阶且 ar a(r, n) .
离散对数
离散对数：设G是循环群，g为G的一个生成 元。群中的离散对数问题指得是给定群中的一 个元素h，找到正整数n，使得 h=gn
第六章 有限域
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
什么是域
F是一个非空集合，定义了加法、乘法两个二 元运算，对这两个运算封闭
加法满足：对于任意a,b,c∈F
a+b=b+a；交换律 (a+b)+c=a+(b+c)；结合律 存在0 ∈F，使得a+0=a；有零元 存在-a ∈F，使得a+(-a)=0；有负元
什么是域？（续）
乘法满足：对于任意a,b,c∈F
a·b=b·a；交换律 (a·b) ·c=a·(b·c)；结合律 存在e ∈F，使得a·e=a；有单位元 若a不是零元，存在a-1 ∈F，使得a·a-1 =e；有逆元
子群：群G的非空子集H称为G的子群，如果对 于G的运算，H本身成一个群。如果H为G的子群 且H≠G，则H称为G的一个真子群。
元素的幂
由于群里结合律是满足的，所以元素连乘
a1，a2 ，…，an有意义，它也是G中的一个元．我们把a
的n次连乘记为an， 称为a的n次幂（或称乘·)是有单位元的交换环，称为整数模n的同余类 （或剩余类）环。
(Zn，＋，·)的单位群是Zn*。
2．性质
利用负元的概念，定义环R的减法“－”为： 对任意的a，bR，令a－b=a＋(－b)。
倍数法则：对任意的m，nZ，a，bR， （1）ma＋na=(m＋n)a； （2）m(a＋b)=ma＋mb； （3）m(na)=(mn)a=n(ma)； （4）m(ab)=(ma)b=a(mb)。
二、环内特殊元素
1．环内一些特殊元素
环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。 环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a。 R的零元及每个元素的负元都是唯一的。 如果环R中存在元素e，使对任意的aR，有ae=ea=a，则 称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。 常把环R的单位元e记为1。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。
（拉格朗日定理）如果G为一个有限群，H为G的子群， 则|H|整除|G|，且|G|=|H|·[G:H]，因此，如果a∈G， 则a的阶整除|G| 。
证明思路：通过元素个数的运算证明。
欧拉定理的传统证明方法
因为
循环群的性质
定理1.15的证明
习题
1.设 G 是非空集合,“ ”是 G 上的一个代数运算且适合结合律. 证明: (G, ) 是一个群当且仅当对于任意的 a, b G ,方程 a x b 和 y a b 在 G 中都有解.
对于加法构成交换群 非零元对于乘法构成交换群 乘法对加法满足分配律
群的例子
{Z，+} 数域K中全体n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法构
成群称为n级一般线形群，记为GLn(K); GLn(K)中全体行列式为1的矩阵对于矩阵的乘
法也构成群，称为特殊线形群，记为SLn(K)。
环
集合 集合+加法+乘法 加法交换群 乘法满足结合律 加法和乘法满足分配律 环中乘法不一定有单位元也不一定要满足交换
0 0
|
a
R
，
定义1.2.8：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足： （1）对任意的r1，r2I，r1－r2I； （2）对任意的rI，sR，rs，srI； 则称I为环R的一个理想。
例9：整数环Z中，任取mZ，则I={mn|nZ}是Z的理想。
例10：在数环R上多项式环R[x]中，令I表示一切常数项为 零的多项式全体，即I={a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiR， nN}，则I是多项式环R[x]的一个理想。
最小正整数来证明。
循环群
循环群：群G称为是循环的，如果存在元素 g， 使得对任一h∈G都有一个整数 i，使得 h= gi ，这样的元素g称为G的一个生成元。可记 G=<g>.
等价关系
陪集、指数
陪集：设G为一个群，H是群G的一个子群。集 合{aH| a∈G}被称为群G中相对于子群H的a-左 陪集，表示为aH， a为左陪集代表元。自然， 也有右陪集Ha的概念。
定理1.2.1：有限整环是域。
证明思路：根据域的定义，只需要证明每一个 非零元都有逆元即可。
四、子环、理想和商环
定义1.2.7：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子 集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环称 为R的平凡子环。
（R，＋）是一个交换群，称为环R的加法群。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成 一个环（Z，＋，·）。
（Z，＋，·）是一个交换环。 （Z，＋，·）称为整数环。 有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。
把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
设环R是有单位元1的环，aR，如果存在bR，使 ab=ba=1，则称a是R的一个可逆元，并称b为a的逆元。
如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。 对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关于
环R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群， 记做U(R)。
例3：设Zn {0，1， ，n 1}是整数模n的同余类集合，在Zn中定义 加法和乘法分别为模n的加法和乘法：a b a b，a b ab.
指数：G可按其子群H的左陪集分排成一些两两 不交的等价类。若这些等价类的个数有限，则 称这个陪集的个数为H在G中的指数，记为 [G:H]。
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H
有 aha1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。
H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
注：域一定是整环，但整环却不一定是域。 整数环Z不是域。 具有有限个元素的整环是域。 具有有限个元素的域，称为有限域。
例（Zn，＋，·）是域的充要条件是n是素数。 证明：
必要性： Zn中若所有非零元构成交换群，则Zn为域； 所有与n互素的元素构成交换群； 1…n-1都与n互素，则n为素数。
充分性：对于任一素数p，Zp为域。
商群：如果群G的子群H是正规子群，则模H的陪集集 合在运算(aH) ·(bH)=(ab)H 下构成一个群，称为G关 于H的商群，记为G/H.
例子（从群的角度）
整数集Z：加群 nZ，子群，正规子群 陪集a+{nZ} 商群 Zn={[0],[1],….,[n-1]}
Lagrange定理、欧拉定理
设R是一个环，I是环R的一个理想，
设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子集；则S是 R的子环的充要条件是：
（1）对任意的a，bS，有a－bS； （2）对任意的a，bS，有abS。
例8：在实数域R上的2阶全矩阵环
M
2
(R)
a c
b d
|
a，b，c，d
R
中，
令S1
a 0
b 0
|
a，b R，S2
a 0
则S1，S2是M 2 (R)的子环。
群同态
同态：设f：G→H是群G到H的一个映射，如果 a,b G 有 f(a·b)=f(a)*f(b) ,则称f是G到H的同态。
同构： 若上述f是一一映射，则称f是G到H的同构。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定义 为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位元。