立体几何中的向量方法：平行与垂直讲解

3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系
【基础知识在线】
知识点一 空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角
利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系
知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系
知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★
考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系
【解密重点·难点·疑点】
问题一：空间的方向向量与平面的法向量
1. 空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向，这个向量a 叫做直线的方向向量.
2. 直线α⊥l ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量.
(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法
（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.
(2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法:
设法向量(),,,z y x u =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,00n b n a 得⎩⎨⎧=++=++,00
321
321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中
的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.
4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 :
设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=⇔⇔ 即：两直线平行或重合⇔两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a m l
即：两直线垂直⇔两直线的方向向量垂直． 线面平行：;0//=⋅⇔⊥⇔u a u a l α 即：直线与平面平行
直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外．
线面垂直：;,//R k u k a u a l ∈=⇔⇔⊥α
即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内
两条不共线直线的方向向量都垂直．
面面平行：;,////R k v k u v u ∈=⇔⇔βα 即：两平面平行⇔两平面的法向量共线． 面面垂直：.0=⋅⇔⊥⇔⊥v u v u βα
即：两平面垂直两平面的法向量垂直．
问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示
1. 设直线m l ,的方向向量分别为()()321321,,,,,b b b b a a a a ==，则 线线平行：().,,////212121R k kc c kb b ka a b k a b a m l ∈===⇔=⇔⇔
2. 设直线l 的方向向量分别为(),,,321a a a a =平面α的法向量分别为()321,,b b b u =， 线面平行：.00//212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔c c b b a a u a u a l α
3.平面βα,的法向量分别为()()321321,,,,,b b b v a a a u ==，
面面平行：().,,,////212121R k kc c kb b ka a v k u v u ∈===⇔=⇔⇔βα
问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示
1.设直线m l ,的方向向量分别为()()321321,,,,,b b b b a a a a ==，则 线线垂直：.00212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔⊥c c b b a a b a b a m l
2.设直线l 的方向向量分别为(),,,321a a a a =平面α的法向量分别为()321,,b b b u =， 线面垂直：().,,,//212121R k kc c kb b ka a u k a u a l ∈===⇔=⇔⇔⊥α
3.平面βα,的法向量分别为()()321321,,,,,b b b v a a a u ==， 面面垂直：.00212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔⊥c c b b a a v u v u βα
【点拨思维·方法技巧】 一．求平面的法向量
例1已知平面α经过三点()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1--C B A ，试求平面α的一个法向量． 【思维分析】先求出,,AC AB ，设出平面α的法向量为()z y x u ,,=，结合向量垂直时数量积为零的性质，联立方程组解题. [解析]()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1--C B A ，
()(),3,4,2,4,2,1-=--=∴AC AB ，
设平面α的法向量为()z y x u ,,=， 依题意，⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
0AC u AB
u
即⎩
⎨
⎧=--=--03420
42z y x z y x ，解得⎩⎨⎧==02z y x .
令2,1==x y 则.
∴平面α的一个法向量为()0,1,2=u ．
【评析】
用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解(非零向量)即可．
变式训练１．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是DC
BB ,1AE
F D A 11的法向量.
证明
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则
()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1,0,21,1,1,0,0,1AE E A ,
图3-2-1
()(),01,1,0,21,0,01,011=⎪⎭⎫
⎝⎛=A F D
()0,0,1,1,21,0111-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=D A F D ．
0,02
1
21111=⋅=-=
⋅D A AE F D AE ，111,D A AE F D AE ⊥⊥ , 又1111D D A F D = ，
⊥∴AE 平面F
D A 1
1
AE ∴是平面F D A 11的法向量.
． 二.
证明平行问题
例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：C B 1∥平面1ODC . 【思维分析】在平面内找与向量C B 1平行的向量D A 1，由向量的相等，得线线平行，从尔的线面平行.也可建立空间直角坐标系，求C B 1的方向向量和平面1ODC 的法向量，利用向量的垂直，可得线面平行.
证明 方法一
1B C =
1A D ，又D A B 11∉,
D A C B 11//∴,又⊂D A 1平面1ODC ， C B 1∴∥平面1ODC .
方法二
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得
()()()1,1,0,1,21,21,0,1,0,1,1,111C O C B ⎪⎭
⎫
⎝⎛，
图3-2-2
()⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--=0,21,21,1,21,21,1,0,111OC OD C B .
设平面1ODC 的法向量为()z y x n ,,=，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
01OC n OD n ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=---0212
102121y x z y x ，
令1=x ，得1,1-==z y ，()1,1,1-=n ．
()()01110111=-⨯-+⨯+⨯-=⋅∴n C B ， n C B ⊥∴1，C B 1∴∥平面1ODC .
【评析】 向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径，一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行．
变式训练2．已知正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别在C D DB 1,上，且
a F D DE 3
2
1=
=，其中a 为正方体棱长． 求证：EF ∥平面C C BB 11. 证明
如图所示，建立空间直角坐标系xyz D -，则
,32,3,0,0,3,3⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a F a a E 故⎪⎭⎫
⎝⎛--
=3,0,3
2a a EF ，
又()0,,0a AB =显然为平面C C BB 11的一个法向量， 而()03,0,3
20,,0=⎪⎭⎫ ⎝⎛--
⋅=⋅a a
a EF AB ，
图3-2-3
∴AE ⊥EF .
又∉E 平面C C BB 11，因此EF ∥平面C C BB 11. 三.证明垂直问题
例3.已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 上的动点．
（1）求证：BD E A ⊥1；（2）若平面⊥BD A 1平面EBD ，试确定点E 的位置．
【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于（1），110A E BD A E BD =⇒⊥；对于（2）
，利用已知条件平面⊥BD A 1平面EBD ，通过垂直条件下的向量数量积等于0，求得点E 的位置；取BD 的中点O ，易证OE A 1∠是二面角
E BD A --1的平面角，利用向量数量积证明1
0AO EO =即可．
[解析]以1,,DD DC DA 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设棱长为a ． （1）()()()()()a a C a a A a C a a B a A ,,0,,0,,0,,0,0,,,0,0,11， 设()m a E ,,0，则()()0,,,,,1a a BD a m a a E A --=--=，
22100A E BD a a =-+=，所以BD E A ⊥1，即BD E A ⊥1．
（2）法一：设BD 的中点为O ，连接OE ，1OA ,则⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2,2a a O ， 所以()0,,,,2,2a a BD m a a OE --=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=， 因为BCE ∆≌DCE ∆,所以EB ED =，所以BD OE ⊥,
图3-2-4
又⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a a a OA ,2,21，所以10OA BD =,所以BD OA ⊥1,所以OE A 1∠是二面角E BD A --1的平面角，因为平面⊥BD A 1平面EBD ，所以2
1π=
∠OE A ， 所以1
0OA OE =，即2
,04422a m am a a =∴=+--． 故当E 为1CC 的中点时，能使平面⊥BD A 1平面EBD ． 法二：E 为1CC 的中点，证明如下：由E 为1CC 的中点得⎪⎭
⎫ ⎝⎛
2,
,0a a E ， 设BD 的中点为O ，连接OE ，1OA ,则⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2,2a a O ， 所以()0,,,2,2,2a a BD a a a OE --=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=，则0O EB D =，BD OE ⊥，即BD OE ⊥．
又⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a a a OA ,2,21，所以10OA BD =,所以BD OA ⊥1,所以OE A 1∠是二面角
E BD A --1的平面角，
因为222
10442
a a a OA OE =-
-+=，所以OE OA ⊥1， 故OE OA ⊥1,即2
1π
=
∠OE A ，所以平面⊥BD A 1平面EBD ． 所以当E 为1CC 的中点时，能使平面⊥BD A 1平面EBD ．
【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过以下几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果还原成立体几何问题或结论．
变式训练3． 在正棱锥ABC P -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB ∆的重心，F E ,分别为PB BC ,上的点，且2:1::==FB PF EC BE . 求证：平面GEF ⊥平面PBC . 证明 (1)方法一
如图3-2-5所示，以三棱锥的顶点P 为原点，建立空间直角坐标系． 令3===PC PB PA ，则
()()()()1,2,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3E C B A , ()()()0,0,0,0,1,1,0,1,0P G F ．
()()0,0,1,0,0,3==∴FG PA ， FG PA FG PA //,3∴=∴ .
而PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ，
又⊂FG 平面GEF ，∴平面GEF ⊥平面PBC . 方法二 :同方法一，建立空间直角坐标系，则
()()()0,1,1,0,1,0,1,2,0G F E ,
()(),1,1,1,1,1,0--=--=EG EF
设平面GEF 的法向量为()z y x n ,,=，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0EG n EF n ， 得0,0,y z x y z +=⎧⎨--=⎩，
令1=y ，得0,1=-=x z ，()1,1,0-=n ． 而显然()0,0,3=PA 是平面PBC 的一个法向量. 又PA n PA n ⊥∴=⋅,0，
即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量互相垂直，
∴平面GEF ⊥平面PBC . 【课后习题答案】 练习（第104页）
1.(1)答案：平行.提示：()()a b 32,1,236,3,6=--=--=.
（2）答案：垂直.提示：()()()()02232212,3,22,2,1=⨯-+⨯+-⨯=-⋅-=⋅b a ,b a ⊥. （3）答案：平行.提示：()()a b 31,0,033,0,0-=-=-=.
图3-2-5
2.提示：（1）.,,0βα⊥∴⊥∴=⋅v u v u （2）.//,//βα∴v u （3）u 与v 不垂直，也不平行，α∴与β相交.
【自主探究提升】
夯实基础
1.已知()(),5,6,2,,3,8b n a m ==若m ∥n ，则b a +的值为( ) A.0 B.2
5 C.2
21 D.8
答案:C . 提示：m ∥n ,()(),5,6,2,3,8b k a =∴即k
a k bk 5,63,28===
21=
∴k 故8,25==b a ,2
21
825=+=+b a .
2. 已知()(),2,2,,2,5,1+=-=a a n m 若⊥m n ，则a 的值为( ) A.0
B.6
C.-6
D.±6
答案:B. 提示： ⊥m n ,()022251=+⨯-⨯+⨯∴m m ,6=∴m .
3．平面α的一个法向量为()0,2,1，平面β的一个法向量为()0,1,2-，则平面α与平面β的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交但不垂直
C ．垂直
D ．不能确定 答案: C.
提示： ()()00,1,20,2,1=-⋅ ， ∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．
4．已知()()y x b a ,,3,5,4,2==分别是直线21,l l 的方向向量，若1l ∥2l ，则( ) A ．15,6==y x B ．2
15,3==y x
C ．15,3==y x
D ．2
15,6==y x
答案:D
提示：1l ∥2l ，b a //∴， 则有
y
x 5432==，
解方程得2
15,6==y x .
5. 在正三棱柱111C B A ABC -中，B A C B 11⊥. 求证：B A AC 11⊥
.
证明: 建立空间直角坐标系xyz C -1， 设b CC a AB ==1,， 则()(),0,,0,,,0,0,2,23,,2,2311a B b a B a a A b a a A ⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛()()0,0,0,,0,01C b C ， ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴b a
a AC
b a C B b a a B A ,2,23,,,0,,2,23111. B A C B 11⊥ ，02
22
11=+-=⋅∴b a B A C B ,
而02
22
11=-=⋅b a B A AC , B A AC 11⊥∴,
即B A AC 11⊥.
拓展延伸
6．下列各组向量中不平行的是（ ）
A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a
B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c
C ．)0,0,0(),0,3,2(==f e
D ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g
答案：D. 提示：2//;3//;b a a b d c d c =-⇒=-⇒而零向量与任何向量都平行.
7．若直线l 的方向向量为()2,0,1=a ，平面α的法向量为()4,0,2--=u ，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α
C ．α⊂l
D ．l 与α斜交
图3-2-6
答案： B. 提示：()()a u 22,0,124,0,2-=-=--= ，
a u //∴，l ∴⊥α.
8．已知()()1,3,2,1,1,1B A -，则直线AB 的模为1的方向向量是________________． 答案:⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32,31,32,32,31 . 提示：()3
,2,2,1==AB AB , 直线AB 的模为1的方向向量是()2,2,13
1±=±AB AB
. 9．已知平面α经过点()0,0,0O ，且()1,1,1=u 是α的法向量，()z y x N ,,是平面α内任意一点，则z y x ,,满足的关系式是________________．
答案: 0=++z y x . 提示：由题意()()0,,1,1,1=⋅=⋅z y x ON u ，即0=++z y x .
10．若直线b a ,是两条异面直线，它们的方向向量分别是()1,1,1和()2,3,2--，则直线b a ,的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．
答案:()5,4,1- (答案不唯一).
提示： 设直线b a ,的公垂线的一个方向向量为()z y x u ,,=，b a ,的方向向量分别为b a ,，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0b u a u ,即⎩⎨⎧=--=++02320z y x z y x , 令1=x ，得5,4-==z y ，()5,4,1-=∴u .
11．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8
C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a = ，则=z y x ::________________.
答案:2:3:(4)-. 提示： 7
7(1,3,),(2,1,),0,0,44
AB AC AB AC αα=--=---== 2243,::::()2:3:(4)4333x y x y z y y y z y ⎧=⎪⎪=-=-⎨⎪=-⎪⎩
12.若非零向量()(),,,,,,222111z y x b z y x a ==则212121z z y y x x ==是a 与b 同向或反向的( )
A.充分不必要条件
B.
C.充要条件
D.不充分不必要条件
答案:A.2
12121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立.
13.如图3-2-7(a)所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，090=∠=∠CEF BCF ，2,3==EF AD .
求证：AE ∥平面DCF
.
证明: 如图3-2-7（b ）所示，以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz C -.
设c CF b BE a AB ===,,，
则()()()
0,0,3,,0,3,0,0,0B a A C ， ()
()0,,0,0,,3c F b E , ()()(),0,,0,0,0,3,,,0b BE CB a b AE ==-=∴
0,0=⋅=⋅∴BE CB AE CB ，
BE CB AE CB ⊥⊥∴,
.
⊥∴CB 平面ABE ，
又⊥CB 平面DCF ，
∴平面ABE ∥平面DCF ，故AE ∥平面DCF .
14. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱BC AB ,的中点，试在棱1BB 上找一
图3-2-7
（a ） (b)
点M ，使得M D 1⊥平面1EFB .
解析：
建立空间直角坐标系x y z D -，设正方体的棱长为2，则()()()()2,2,2,2,0,0,0,2,1,0,1,211B D F E ．
设()m M ,2,2，则()()()2,2,2,2,1,0,0,1,111-=---=-=m M D E B EF , ∵M D 1⊥平面1EFB
∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥E B
1
,0,0111=⋅=⋅∴E B M D EF M
D
于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,
⎧⎨⎩
()1,2,2,1M m ∴=∴,即M 为棱1BB 的中点.
图3-2-8。