三角形全等判定复习ppt课件

N 明方法与前题基本相同,只
须证明⊿ABN≌⊿BCM
A
C
B
变式4:如图,⊿ABD,⊿ACE都是正三角形, 求证CD=BE
D
A
E
B
C
分析:此题实质上是把题目中的条件B,A,C三点改为 不共线,证明方法与前题基本相同.
变式6:如图,分别以⊿ABC的边AB,AC为一边 画正方形AEDB和正方形ACFG,连结CE,BG.
求证BG=CE
E
分析:此题是把两个三
角形改成两个正方形而
D
A
G 以,证法类同
FBBiblioteka C小结:1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件 和结论，选择恰当的判定方法
2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相 等的重要方法之一，证明时
①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。
②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。
AB=CB
A
AD=CD
BD=BD
_
=
P
∴ △ABD≌△CBD(SSS)
B
D
∴∠ABD=∠CBD
_
=
在△ABP和△CBP中
C
AB=BC
∠ABP=∠CBP
BP=BP
∴ △ABP ≌ △CBP(SAS)
∴PA=PC
例4。已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=ED AF⊥CD 求证：点F是CD的中点
分析：要证CF=DF可以考虑CF 、 DF所在的两个三角形全等，为此可 添加辅助线构建三角形全等 ，如何 添加辅助线呢?
知识结构图
性质
全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等
全 全等 等三 形角
形
判定 一般三角形 应用
SSS
SAS
直
ASA
角
三
AAS
角
HL
形
解决问题
知识梳理: 三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等 的三角形中。
②有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共 角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也 是对应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
例3已知：如图,P是BD上的任意一点
AB=CB,AD=CD. 求证: PA=PC
A
P B
分C
=
=
_
_
综合题：
例4 (2007金华):如图, A,E,B,D在同一直线上,
AB=DE,AC=DF,AC ∥ DF,在ΔABC和ΔDEF,
(1)求证: ΔABC≌ΔDEF;
F
(2)你还可以得到的结论是
.
(写出一个,不再添加其他线段,不
A
E
BD
再表注或使用其他字母)
(1)证明:∵AC∥DF(已知) ∴∠A=∠D (两直线平 行,内错角相等) 在ΔABC和ΔDEF中
A．5
B．4
C．3
D．2
D
A
E
F
B
C
1、证明两个三角形全等
例1 ：如图,点B在AE 上,∠CAB=∠DAB,要使 ΔABC≌ΔABD,可补充的一 个条件是 ∠∠∠CACCBDB=A=E∠A==∠CD∠.DDBBAE
C
A
B E
D
分析：现在我们已知 A→∠CAB=∠DAB
S→ AB=AB(公共边) .
一、全等三角形性质应用
1：如图，△AOB≌△COD，AB=7,∠C=60°则
CD=
,∠A=
.
B
C
O
A
D
一、全等三角形性质应 用
2：已知△ABC≌△DEF， ∠ A=60°,∠C=50°则
∠E=
.
A
D
B
C
E
F
一、全等三角形性质应 用
3：如图，△ABC≌△DEF，DE=4，AE=1，则
BE的长是（ ）
已有AB=AE,∠B=∠E ， BC=ED 怎样构建三角形能得到两个三角 形全等呢？连结AC,AD
添加辅助线是几何证明 中很重要的一种思路
证明：连结ＡＣ和ＡＤ
∵在△ＡＢＣ和△ＡＥＤ中， ＡＢ＝ＡＥ， ∠B=∠E， ＢＣ＝ＥＤ
∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ） ∴ＡＣ＝ＡＤ（全等三角形的对应边相等） ∵ＡＦ⊥ＣＤ ∴ ∠AFC=∠AFD=90°， 在Ｒt△AFC和Ｒt△AFD中
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全
等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
A
D
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
B
CF E
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
知识梳理: 三角形全等判定方法4
思考:在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D ,
AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使
ΔABC≌ΔAED的条件有( )个.
A.4
B.3 C.2 D.1
2、证明两个角相等
例 2 已知：如图，AB=AC,AD=AE, ∠1=∠3,那么∠E=∠D 吗？为什么？
变1. 式题： 1.已知：如图，AB=AC,AD=AE, 请你再添一个条 件，使得∠E=∠D？为什么？
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
知识梳理: 三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理: 三角形全等判定方法3
①要证明PA=PC可将其 放在ΔAPB和ΔCPB 或ΔAPD和ΔCPD考虑
D ②已有两条边对应相等 （其中一条是公共边） ③还缺一组夹角对 应相等
析：
若能使∠ABP=∠CBP 或∠ADP=∠CDP 即可。
创造条件
例3已知：P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证PA=PC
证明：在△ABD和△CBD中
D
AD
B
CE
FB
E
C
F
平移
A E
D F
B
C
E B
A
E
C
D
B
D A
C
旋转
A
A
E B
C
B
C
D
D A
翻折
DA
B
DE
CB
C
找找复杂图形中的基本图形
E
GF
C
A
D
设计意图：知道了这几种基本图形，那么在解决全等 三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出基本图 形，解题就会变得简便。
典型题型
1、证明两个三角形全等 2、证明两个角相等 3、证明两条线段相等
③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，
公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对 应角
3.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).
例题一:
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ ΔDEF
AD
B E CF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件A＿B＿=D＿E＿＿； (2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件∠＿A＿C＿B=＿∠；DFE (3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿∠＿A＿= ∠＿D ＿(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿AB＿=＿DE AC=DF (5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL” 为依据，还缺条 件＿A＿C＿=D＿F＿
A
1
D
B
E
C
2.已知：如图，AB=AC, ∠1=∠3, 请你再添 一个条件，使得∠E=∠D？为什么？
3、证明两条线段相等
例3 :如图, AC∥ DB, AC=2DB,E是AC
的中点,求证:BC=DE
D
A E
证明:∵AC=2DB,AE=EC ( 已知) ∴DB=EC
B
C
DB=EC
∵BBEE==EEBB(公共边)
C
AB=DE(已知) ∠A=∠D(已证) AC=DF (已知) ∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)
（2）解:根据”全等三角形的对应边(角)相 等”可知:
①BC=EF, ②∠C=∠F, ③∠ABC=∠ DEF, ④ EF∥BC, ⑤AE=DB等
F
A
E
BD
C
综合题:
如图,A是CD上的一点,⊿ABC ,⊿ADE 都是正 三角形,求证CE=BD
ＡＣ＝ＡＤ（已证）
ＡＦ＝ＡＦ（公共边）
∴Ｒt△AFC≌Ｒt△AFD（ＨＬ） ∴ＣＦ＝ＦＤ（全等三角形的对应边相等） ∴点F是CD的中点
如果把例4来个变身，聪明的同学 们来再试身手吧！
已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=ED， 点F是CD的中点
(1)求证：AF⊥CD (2)连接BE后，还能得出什么结论？ （写出两个)
变式2:在原题条件下,再增加一个条件, 在CE,BD上分别取中点M,N,求证:⊿AMN 是正三角形
变式3:如图,点C为线段AB延长线上一 点,⊿AMC,⊿BNC为正三角形,且在线段AB 同侧,求证AN=MB
M
分析:此中考题与原题相比
较,只是两个三角形的位置
不同,此图的两个三角形重
叠在一起,增加了难度,其证
例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎
成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一
样的玻璃,那么最省事的办法是拿(
)去
配.
证明题的分析思路：
①要证什么 ②已有什么 ③还缺什么 ④创造条件
注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件 和结论，选择恰当的判定方法
2、全等三角形，是证明两条线段或两个角相 等的重要方法之一，证明时
又∵ AC∥ DB(已知) ∠DBE=∠CEB (两直线平 行,内错角相等)
∴ ΔDBE≌ΔCEB(SAS) ∴ BC=DE (全等三角形的对 应边相等)
练习： 已知：∠ACB=∠ADB=900，AC=AD，P是AB上任意 一点，求证：CP=DP
C
A
P
B
D
设计意图：让学生加深如何通过全等三角形 去求证相等线段。
①用SAS,需要补充条件 AD=AC, ②用ASA,需要补充条件 ∠CBA=∠DBA, ③用AAS,需要补充条件 ∠C=∠D, ④此外,补充条件 ∠CBE=∠DBE也可以(?)
练习1:如图,AE=AD,要使ΔABD≌ΔACE,请你增加一
个条件是
.
E A
D
B C
C
E 1 A 2
B
D
练习2：如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列件:①
分析:证
B
⊿ABD≌⊿ACE
E
GF
C
A
D
如图,A是CD上的一点,⊿ABC ,⊿ADE 都是正三角形,
求证CE=BD
变式1:在原题条件不变的前提下,可以 探求以下结论:(1)求证:AG=AF; B
(2)求证:⊿ABF≌⊿ACG;
C
(3)连结GF,求证⊿AGF是正三角形;
E
GF
A
D
(4)求证GF//CD
小结：
1、全等三角形的定义，性质， 判定方法。
2、证明题的方法 ①要证什么 ②已有什么 ③还缺什么 ④创造条件
3、添加辅助线
①如图，已知△ABC中，AE为角平分线，D 为AE上一点， 且∠BDE=∠CDE,求证：AB=AC
②若把①中的“AE为角平分线”改为“AE为高线”， 其它条件不变，结论还成立吗？如果结论成立，请予以 说明。
∠B=∠E和AC=DF时,能否得到 △ABC≌△DFE?
有两角和其中一个 角的对边对应相等的两
A
D
个三角形全等(可以
简写成“角角边”或 B
CF
E
“AAS”）。
知识梳理:
A
A
B
C
SSA不能
A
判定全等
B
C
D
B D
知识梳理: 直角三角形全等判定：HL
A
A′
B
C
B′
C′
二、几种常见全等三角形基本图形
A