线性代数试题及详细答案

线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案
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线性代数（试卷一）
一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若
122
21
12
11=a a a a ，则=1
6
030
322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CA
B =-1。

4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是
_________
5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为
__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵，
=-1230120011
A
，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是
8.已知五阶行列式1
23453
2011
11111
2
1403
54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T
-的模（范数）______________。

10.若()T
k 11=α与()T
121-=β正交，则=k
二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤
Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <
2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A
(A)
Ａ．8 Ｂ．8-
Ｃ．
3
4 Ｄ．3
4-
3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )
Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <
Ｃ．)()(A R B R =
Ｄ．)()(A R B R ≥
4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则
()
*
kA 等于_____。

c
)(A *
kA )(B *
A k n
)(C *-A k
n 1
)(D *A
5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T
T
T
B A AB =)( )(D 2
2
))((B A B A B A -=-+
三、计算题（本题总计60分。

1-3每小题8分,4-7每小题9分）
1. 计算n 阶行列式22221
M =D 22222M 22322M ΛΛO ΛΛΛ 2
12
2
2
-n M
n 2
222M 。

2．设A 为三阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，且2
1=A ，求*A A 2)3(1--.
3．求矩阵的逆
111211120A ?? ?=- ?
4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2
123123123
1x x x x x x x x x λλλλλ?++=?
++=??++=?
① 有唯一解；②有无穷多解；③无解。

5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

=++=+++=+++5
221322431
43214321x x x x x x x x x x x 6.已知向量组()T 32011=α、()T 53112=α、()T
13113
-=α、
()T 94214=α、()T
52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该
最大无关组线性表示．
7. 求矩阵
--=201034011A 的特征值和特征向量．
四、证明题（本题总计10分）
设η为b AX =()0≠b 的一个解，12,n r ξξξ-L L 为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，证明12,,n r ξξξη-L L 线性无关。

（答案一）
、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）
15；2、3；3、CA ；4、()n b A R A R ==),(；5、2；6、
123012001；7、()n A R <；8、0；9、3；10、1。

.二、选择题本题总计 10 分，每小题 2分 1、D ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B
、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）
、解：D ),,4,3(2n i r r i Λ=-00021
M 00022M 00122M ΛΛO ΛΛΛ 03022
-n M 2
00
22-n M ------3分
122r r - 00001M 00022M - 0
0122
M - ΛΛO ΛΛΛ 030
22--n M 20022--n M -------6分
)!2(2)2()3(21)2(1--=-?--?=n n n Λ ----------8分
此题的方法不唯一，可以酌情给分。

）
：（1）
---????? ??-????? ??--=-1111111112412131121111111111 2A AB ------1分
---????? ??=222222222
602222464?
=420004242------5分
（2）????? ??--????? ??--=-1711116102395113111311
2
2B A ?
-------=16128711
3084--------8分设A 为三阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，
且21=A ，求*A A 2)3(1--. 因*
A A ＝E E 2
1=A ，故411==-n A *A 3
A A A
211==
-A 5分 27164
1
34342322)33
1-=??? ??-=-=-=--****A A A A A 8分
、解： ??
---=10011101001100100
1),(E A 1
31
2r r r r ++
---10111001101000100
1---3分 23r r +????? ??---112100011010001001)1()1()1(321-÷-÷-÷r r r ?
------112100011010001001---6分
故?
------=-11201100
11
A -------8分（利用*-=A A A 11公式求得结果也正确。

） 5、解；
=21111111),(λλλλλb A 13
1
231r
r r r r r λ--
------322
2111011011λλλλλλλλλ23r r +
-+-+---)1()1()1)(2(00110112
2
2
λλλλλλλλλλ---------3分
（1）唯一解：3),()(==b A R A R 21-≠≠λλ且 ------5分
（2）无穷多解：3),()(<=b A R A R 1=λ --------7分
（3）无解：),()(b A R A R ≠
2-=λ --------9分（利用其他方法求得结果也正确。

）、解：
=522011113221111),(b A ?→?
r
---000003111052201--------3分 =--=++0022432
431x x x x x x 基础解系为 ??????? ??-=01121ξ，
-=10122ξ-----6分-=--=++3522432431x x x x x x 令043==x x ，得一特解：??
-=0035η---7分故原方程组的通解为：
-+??????? ??-+??????? ??-=++101201120035212211k k k k ξξ，其中R k k ∈21,---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。

）、解：特征方程2110430(2)(1)1
2A E λλλλλλ
---=
--=--- 从而1232,1λλλ=== (4分)
12λ=时，由(2)0A E X -=得基础解系1(0,0,1)T ζ=，即对应于12λ=的全部特征向量为11k ζ1(0)k ≠ (7分)
231λλ==时，由()0A E X -=得基础解系2(1,2,1)T ζ=--，即对应于231λλ==的全部特征向量为22k ζ2(0)k ≠
、证明题（本题总计10 分）
：由12,n r ξξξ-L L 为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，则12,n r ξξξ-L L 线性无关。

(3分)
反证法：设12,,n r ξξξη-L L 线性相关，则η可由12,n r ξξξ-L L 线性表示，即：r r ξλξλη++=Λ11 (6分)
齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故η必是0=AX 的解。

这与已知条件η为b AX =()0≠b 的一个
相矛盾。

(9分). 有上可知，12,,n r ξξξη-L L 线性无关。

(10分)
(试卷二)
一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分） 1. 排列6573412的逆序数是．
2.函数()f x = 211
1
2
x
x
x x x
---中3x 的系数是． 3．设三阶方阵A 的行列式3A =,则*1
()A -= A/3 ． 4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是．
5．设向量(1,2,1)T
α=--，β=
-22λ正交，则λ= ．
6．三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，则A ＝．
7. 设1121021003A --?? ?=- ?
，则_________A *
=.
8. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．
9．设A 为n 阶方阵，且A ＝2 则1
*1()3
A A --
+= ． 10．已知20022311A x -?? ?= ? 相似于12B y -??
=
，则=x ，=y ．
二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）
1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于． (A) (5)n
D - (B)-5D (C) 5D (D)1
(5)n D --
2. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .
(A) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (B) 矩阵A 有n 个特征值
(C) 矩阵A 的行列式0A ≠ (D) 矩阵A 的特征方程没有重根
3．A 为m n ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是．
(A)(,)R A b m < (B)()R A m < (C)()(,)R A R A b n == (D)()(,)R A R A b n =< 4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )
(A)．)()(A R B R ≤
(B)．)()(A R B R <
(C)．)()(A R B R = (D)．)()(A R B R ≥ 5. 向量组12,,,s αααL 线性相关且秩为r ，则．
(A)r s = (B) r s < (C) r s > (D) s r ≤
三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）
1. 计算n 阶行列式: 22221
M =D 22222M 22322M ΛΛO ΛΛΛ 2
12
2
2
-n M
n 2
222M .
2．已知矩阵方程AX A X =+，求矩阵X ,其中220213010A ?? ?
= ? ???
.
3. 设n 阶方阵A 满足0422
=--E A A ,证明3A E -可逆，并求1
(3)
A E --.
4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:
12341234
123423423
23883295234
x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-++=??
-+--=-??--=-?
5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．
123421234,1,3,5.2012αααα???????? ? ? ? ?
==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
6．已知二次型：3231212
32221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=，
用正交变换化),,(321x x x f 为标准形，并求出其正交变换矩阵Q ．
四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）
设11b a =, 212b a a =+ , L , 12r r b a a a =+++L , 且向量组r a a a ,,,21Λ线性无关，证明向量组r b b b ,,,21Λ线性无关.
(答案二)
、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）
17 2. -2 3．13A 4．()R A n <5．2λ=-6．-27．116
A -或12110216003-??
-
8． 29、
21n
）（－10、2,0-==y x 、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B
、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）
、解：D ),,4,3(2n i r r i Λ=-00021
M 00022M 00122M ΛΛO ΛΛΛ 03022-n M 2
00
22-n M ------4分
122r r - 00001M 00022M - 0
0122
M - ΛΛO ΛΛΛ 030
22--n M 20022--n M -------7分
)!2(2)2()3(21)2(1--=-?--?=n n n Λ ---------10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。

）
．求解AX A X =+，其中
220213010A ??
= ? ???
解：由AX A X =+得
()
1
X A E A -=- (3分)
()120220,203213011010A E A ?? ?-= ? ?-?? (6分) 1002260102 03001213r
-??
- ? ?--??
: (8分) 以 2262
03213X -?? ?
=- ? ?--??
(10分) ．解：利用由0422
=--E A A 可得：0))(3(=-+-E E A E A --------5分
即 E E A E A =+-))(3( ------7分故E A 3-可逆且)()
3(1
E A E A +=----------10分
．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系．
12341234123412323
2388
32295
234
x x x x x x x x x x x x x x x +++=-++=-+--=---=-
解：111
2321388()3219501234A b ?? ?-
= ?---- ?---??1112301234001120
0000r ??
--- ?
: (2分)
100210
10100011200000r ??
-
: (4分)则有 142434
2102x x x x x x +=??
-=??+=? (6分) 4x 为自由未知量，令4x c =，则通解为：123421101210x x c x x -?????? ? ? ? ? ? ?=+ ? ? ?- ? ? ? ?
c R ∈ (8分)
应齐次线性方程组的基础解系为：21
11-?? ? ? ?- ???
(10分)
．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．
23421234,1,3,5.2012ααα???????? ? ? ? ?
==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
解：)1234αααα=2123212321234135011101112012011100 00
--- ? ? ? ? ? ?---??
:: 1101201110000??
: (2分) 2,α为一个极大无关组. (4分) 设31122x x ααα=+，41122y y ααα=+
解得 12
121x x ?
=
=?， 1211y y =??
=?. (8分) 则有31212ααα=+，412ααα=+ 解 3
231212
32221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=
f 的矩阵 ??
----=542452222
A (2分)A 的特征多项式 )10()1()(2---=λλλ? (4分)
121==λλ的两个正交的特征向量 =1101p , -=1142p 103=λ的特征向量 ??
-=2213p
正交矩阵
--=32
23121322312
1312340
Q 8分) 正交变换y Q x =：标准形2
32221
10y y y f ++= 、证明题（本题总计 10分）若设,2121211,,,r r a a a b a a b a b +++=+==ΛΛ且向量组r a a a ,,,21Λ线性无关，证明向组r b b b ,,,21Λ线性无关. 证明：设存在12λ,λ,,λr R ∈L ，使得1122r r b +b ++b =0λλλL 也即
121212()()0r r a a a a a a λλ+++++=L L 化简得 12122()()0r r r r a a a λλλλλλ++++++++=L L L
又因为12,,,r
a a a L 线性无关，则122000r r r λλλλλλ+++=??++=
=?
L L O (8分)解得
120r λλλ====L 所以，12r b , b ,, b L 线性无
关.
（试卷三）
一、填空题（本题总计20分，每小题2分）
1、按自然数从小到大为标准次序，则排列(2)(22)2n n -L 的逆序数为
2、设4阶行列式4a
b c d d
a c d
D b d c a a
d
c
b
=
，则11213141A A A A +++= 3、已知1103027002A ?? ?= ?
，则()1*A -=
4、已知n 阶矩阵A 、B 满足A B BA +=，则()1
E B --=
5、若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组A =x 0只有零解的充分必要条件是
6、若A 为n m ?矩阵，且()3min{,}R A n m =<，则齐次线性方程组A =x 0的基础解系中包
含解向量的个数为
7、若向量()123T α=-与向量()11T
βλ=正交，则λ= 8、若三阶方阵A 的特征多项式为2(1)(1)A E λλλ-=-+-，则A =
9、设三阶方阵1223A αγγ?? ?= ? 、12B βγγ??
= ? ???
，已知6A =，1B =，则A B -=
10、设向量组123,,ααα线性无关，则当常数l 满足时，向量组
213213,,l αααααα---线性无关.
二、选择题（本题总计10分，每小题2分）
1、以下等式正确的是( )
Ａ．
=???? ??d c b a k d kc b ka
Ｂ．
d
c b a k
kd
kc kb ka =
Ｃ．
=
++d c b a d c
d b c a Ｄ．
a
b c d
d c b a = 2、 4阶行列式det()ij a 中的项11334422a a a a 和24311342a a a a 的符号分别为（）
Ａ．正、正Ｂ．正、负Ｃ．负、负
Ｄ．负、正
3、设A 是m n ?矩阵，C 是n 阶可逆阵，满足B ＝AC. 若A 和
B 的秩分别为A r 和B r ，则有( )
Ａ．A B r r >
Ｂ．A B r r < Ｃ．A B r r =
Ｄ．以上都不正确
4、设A 是m n ?矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组
A =x b ( )
Ａ．有无穷多解
Ｂ．有唯一解
Ｃ．无解
Ｄ．无法判断解的情况
5、已知向量组1234,,,αααα线性无关，则以下线性无关的向量组是（）
Ａ．12233441,,,αααααααα++++ Ｂ．12233441,,,αααααααα---- Ｃ．12233441,,,αααααααα+++- Ｄ．12233441,,,αααααααα++--
三、计算题（本题总计60分，每小题10分）
1．求矩阵1124-??
=
A 的特征值和特征向量． 2．计算1n +阶行列式
0111111
00100100
1
n n n a a D a a +-=L
L
M M
M M L
3．已知矩阵010100001A ?? ?= ? ，100001010B ?? ?= ? ，143201120C -?? ?
=- ? ?-??
，且满足AXB C =，求
矩阵X.
4．求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解
1234512345
23451234513233226054335
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??
+++=??+++-=? 5．已知矩阵1211
211214642246
3979A ---?? ?
-- ?
= ?
--- ?
--??
，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把其
余向量用该最大无关组线性表示．
6．已知A 为三阶矩阵，且2A =-，求()1
*1312A A -??
+
四、证明题（本题总计10分）
设向量组12,,,n αααL 中前1n -个向量线性相关，后1n -个向量线性无关，试证：（1）1α可由向量组231,,,n ααα-L 线性表示；（2）n α不能由向量组121,,,n ααα-L 线性表示.
（试卷四）
一、填空题（本题总计16分，每小题2分）
1、按自然数从小到大为标准次序，则排列13(21)24(2)n n -L
L 的逆序数为
2、4阶行列式412
4
8
1111
64
1525125
D =
= 3、已知1110029002A -??
= ? ???
，*A 为A 的伴随矩阵，则()1*A -=
4、已知n 阶方阵A 和B 满足BA A B =+，则()1
E B --=
5、已知A 为m n ?矩阵，且()min{,}R A r m n =<，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组
A =x 0的基础解系中包含解向量的个数为
6、已知四维列向量()T
31521=α、()T
1051102=α、()T
11143-=α，且
()()()x x x +=++-321523ααα，则=x
7、把向量()1022T
α=-单位化得
8、若三阶方阵A 的特征多项式为2()(1)(1)f λλλ=-+-，则2A E -=
二、选择题（本题总计14分，每小题2分）
1、已知,,,,a b c d k R ∈，则以下等式正确的是( )
Ａ．?
=
d c b a k d kc b ka Ｂ．
d
kd
kc kb ka =
Ｃ．
=
++d c b a d c d b c a Ｄ．
a
b c d
d c b a = 2、设A 和B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（）
Ａ．若AB AC =，则B C = Ｂ．若0AB =，则0A =或0B =
Ｃ．若0AB =，则0A =或0B = Ｄ．若0A E -=，则A E = 3、设A 是m n ?矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组A =x b ( ) Ａ．有唯一解Ｂ．有无穷多解Ｃ．无解Ｄ．无法判断解的情况 4、向量组的秩就是向量组的（）
Ａ．极大无关组中的向量Ｂ．线性无关组中的向量Ｃ．极大无关组中的向量的个数Ｄ．线性无关组中的向量的个数 5、已知n 阶方阵
A 、
B 和
C 满足ABC=E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则1
B -=( )
Ａ．1
1
A C -- Ｂ．AC Ｃ．CA
Ｄ．1
1
C A --
6、设A 为三阶方阵，*
A 为A 的伴随矩阵，且4
1=
A ，则=--*
A A 3)4(1（）Ａ．
27
16
Ｂ．2716-
Ｃ．21 Ｄ．2
1-
7、已知n 元齐次线性方程组A =x 0的系数矩阵的秩等于n-3，且123,,ααα是A =x 0的三个
线性无关的解向量，则 A =x 0的基础解系可为（）Ａ．122331,,αααααα+++ Ｂ．312123,,αααααα+++ Ｃ．122331,,αααααα---
Ｄ．122331,,αααααα++-
三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7每小题9分）
1．计算n 阶行列式
n x a a a a x a a D a a
x a a a a x
=L L L M M M M L
2．已知三阶方阵100110111A -?? ?=- ? ?-??，求21
(2)(4)A E A E ---
3．已知矩阵121210110A ?? ?=- ? ，010210021B ?? ?
= ? ???
，求AB BA -.
4．求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解
1212341
2345
22153223
x x x x x x x x x x +=??
+++=??+++=? 5．判定向量组123(2,1,1,1),(0,3,2,0),(2,4,3,1)T T T
ααα=--=-=--的线性相关性。

6．已知矩阵11222201121102421123A ??
- ?
=
--
，求矩阵A 的秩及列向量组的一个最大无关组. 7．已知211020413A -?? ?= ? ?-??
，求可逆阵P ，使得1
P AP -为对角阵.
四、证明题（本题总计10分）
设η为非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,r ξξξL 为对应齐次线性方程组的基础解系.试
证：向量组12,,,,r ηξξξL 线性无关。