宁夏高三高中数学高考模拟带答案解析

宁夏高三高中数学高考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，则等于（）
A．B．C．D．
2.已知复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
3.已知则（）
A．B．C．D．
4.函数的图像是（）
5.如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆千克，则共需油漆的总量为（）
A．千克B．千克
C．千克D．千克
6.已知，是由直线，和曲线围成的曲边三角形区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则的值是（）
A．B．C．D．
7.已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线
的离心率为（）
A．2或B．或C．2或D．或
8.下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果表示（）
A．的值B．的值
C．的值D．以上都不对
9.三名同学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组，去那个兴趣小组可以自由选择，但甲小组至少有一人参加，则不同的选择方案共有（）
A．16种B．18种C．37种D．48种
10.一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．2B．3C．D．
11.设定义在上的单调函数对任意的都有，则不等式的
解集为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
1.已知点是抛物线的焦点，为过点的直线且与抛物线交于两点，，则线段的中点
的横坐标为________．
2.若实数满足条件，则的最大值为________．
3.已知点为内一点，且则________．
4.已知数列满足，则的最小值为_________．
三、解答题
1.已知在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，求的值．
2.某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的人群称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．现对容量为的样本数据进行整理，
得到如下各年龄段人数的频率分布直方图和统计表：
（1）补全频率分布直方图并求的值；
（2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取9人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望．
3.已知三棱锥中，平面，，为上一点，，
分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的大小．
4.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直
线与轴交于点，与椭圆交于相异两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．
5.已知函数．
（1）当时，求曲线在（为自然对数的底）处的切线方程；
（2）当时，是否存在实数，使得的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
6.已知为半圆的直径，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交半圆于点，．
（1）证明：平分；
（2）求的长．
7.在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于点，求．
8.函数．
（1）若，求函数的定义域；
（2）设，当实数时，证明：．
宁夏高三高中数学高考模拟答案及解析
一、选择题
1.已知集合，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，所以有，故本题正确选项为A.
【考点】集合的运算及集合的关系.
2.已知复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，，可
见只有选项B正确，故本题的正确选项为B.
【考点】复数的运算，共轭复数的概念.
3.已知则（）
A．B．C．D．
【解析】由已知条件可得，由二倍角公式得，故本题的正确
选项为A.
【考点】同角的三角函数关系，三角恒等变换.
4.函数的图像是（）
【答案】D
【解析】当恒成立，排除选项B，C；当
恒成立，排除选项A，C，当
恒成立，综上所述，本题的正确选项为D.
【考点】三角函数的图象.
【方法点睛】已知函数的解析式，求函数的大致图象，主要通过函数的单调性，奇偶性（对称性），在区间上函数值的符号（即正负），以及一些特殊点来进行描绘，对于定义域不包含某点的情形，可优先用来排除选项；本题主
要利用了函数在与时函数值的符号来进行排除错误选项.
5.如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆千克，则共需油漆的总量为（）
A．千克B．千克
C．千克D．千克
【答案】B
【解析】由三视图可知可间房由底部长宽高分别为的长方体与底面半径.母线长分别为圆锥体组合而成，所以其可刷漆的表面积为，则需要漆的总量为千克，故正确选项为B.
【考点】空间几何体的表面积.
6.已知，是由直线，和曲线围成的曲边三角形区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则的值是（）
A．B．C．D．
【解析】根据题意，为边长为的正方形，其面积为，的面积可由定积分来求得，可知的面
积为，则向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，所以有，
故本题的正确选项为D.
【考点】几何概型的概率.
7.已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线
的离心率为（）
A．2或B．或C．2或D．或
【答案】A
【解析】双曲线一条的渐近线为，双曲线一条的渐近线为，由于这两条渐
近线将第一象限三等分，即这两直线与横轴正半轴的夹角分别为，也即，所以，或，即，当时可求得，当时可求得，故本
题的正确选项为A.
【考点】双曲线的渐近线，离心率.
8.下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果表示（）
A．的值B．的值
C．的值D．以上都不对
【答案】C
【解析】首先执行第一次判断，，所以有，；执行第二次判断，，
所以有，；执行第三次判断，，所以有
，；执行第四次判断，，输出
；所以本题的正确选项为C.
【考点】程序框图.
9.三名同学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组，去那个兴趣小组可以自由选择，但甲小组至少有一人参加，则不同的选择方案共有（）
A．16种B．18种C．37种D．48种
【解析】三名同学去参加四个不同的兴趣小组，总共有种选择方法，又甲小组必须得有人参加，可先
求出没有人参加甲小组的选法，即三人选三个兴趣小组，有种选法；则至少有一人参加甲小组的选法
有种，故本题的正确选项为C.
【考点】组合与组合的运用.
10.一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】正方体在正面体内可任意旋转，可知此正方体最大时为正四面体内接球的内接正方体，所以首先要求得内接球，根据结合正三角形的性质可求得，假设内接球的半径为，则正四面体的面
积也可写为，可求得，而球的内接正方体的体对角线为球的直径，假设正方体棱长，则有
，可求得，故本题的正确选项为D.
【考点】正四面体的体积，内接球与内接正方体.
【思路点睛】正方体绕某一点任意转动，所需要的最小空间为以到正方体顶点的最大距离为半径的球体，当
空间已知时，可求得半径最大的内切球体（此圆不一定与所有的面都相切），而在固定球体中，当可任意旋转的正方体的体心与球心重合时，且内接于球体有最大的棱长.所以本题关键是求得四面体的内切球体.
11.设定义在上的单调函数对任意的都有，则不等式的
解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据可假设，则有对任意的，恒成立，再将代入前式，可得，可求得，则，，可见为单调增函数，所以的解集应该为不等式的解，为，故本题的正确选项为A.
【考点】函数的解析式，单调性.
【思路点睛】函数解析式未知，首先要根据已知条件来求出函数的具体解析式（或者求函数的
单调性），其次因为函数是单调的，在确定了函数的单调性后，要确定函数值为时所对应的自变量，然后将有关
函数的不等式转化为的一元二次不等式，这样便可求得的范围.
二、填空题
1.已知点是抛物线的焦点，为过点的直线且与抛物线交于两点，，则线段的中点
的横坐标为________．
【答案】
【解析】由抛物线方程可知，假设横坐标为，由抛物线的准线的性质可知
，的中点的横坐标为.
【考点】抛物线准线的运用.
2.若实数满足条件，则的最大值为________．
【答案】
【解析】本题主要考察线性约束条件下的最值问题，的最大值就是直线纵截距的最小值，
必在可行域的端点（即围成可行域的几条直线的交点）处取得，由不等式组可知端点为，直
线过时所对应的纵截距依次为，
所以的最大值为.
【考点】线性约束条件.
3.已知点为内一点，且则________．
【答案】
【解析】如图，即，又，所以有，则.
【考点】向量的运算.
【思路点睛】因为有相同的底边，所以只要分别求得顶点的距离或者其比值便可求得面积之比，显然求比值较容易，由三角形相似的性质可知顶点的距离之比等于
的比值，所以要结合利用向量的运算求得的比值.
4.已知数列满足，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】，由累加法可求得，即，则，令，可知，当且仅当时取等号，因为是自然数，
所以可取与相邻的两个自然数，分别求得，，显然最小值应该为，此时.
【考点】等差数列，数列的最值.
【思路点睛】解答本题首先要根据递推公式，结合迭代法来求得数列的通项公式，进而可求得的表达式，即，因为数列是特殊的函数，所以可先将数列转化为函数，通过函数求得最小值，并求得此时的自变量，因为数列中自变量为自然数，所以取与最接近的两个自然数，然后的值，取最小的即可.
三、解答题
1.已知在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）中，，结合已知条件可求得，从而求得；（2）由面积公式可求得的值，再利用余弦定理，便可求得，进而
可求得.
试题解析：（1）由，
得，即，
解得或（舍去）
又，所以．
（2）由，
得，又，
所以．
【考点】余弦定理的运用.
2.某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的
调查，若生活习惯符合低碳观念的人群称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．现对容量为的样本数据进行整理，得到如下各年龄段人数的频率分布直方图和统计表：
（1）补全频率分布直方图并求的值；
（2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取9人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，
记选取的3名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】首先根据频率分布直方图求出第二组的频率，再由频率求得其高，这样便能补全频率分布直方图，再由第一组数据求得第一组的总人数，进而求得六组的总人数，再利用直方图求第四组的人数，进而求得该组低碳人数；可先求得所抽取人中，在岁年龄段与年龄段各有多少人，然后利用组合法求对应事件的概率，进
一步求得数学期望．
试题解析：（1）第二组的频率为，
所以高为．频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为，所以．
第二组的频率为，所以第二组的人数为，所以．
第三组的频率为，第四组的人数为．
所以．
（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以分层抽样法抽取
9人，岁中有6人，岁中有3人，随机变量服从超几何分布．
，，，，
所以随机变量的分布列为
∴数学期望
【考点】频率分布直方图的运用，分层抽样，组合，数学期望.
3.已知三棱锥中，平面，，为上一点，，
分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由平面，可知，又，可知互相垂直，可建立空间坐标系，利用向量法来证明；(2）与平面所成角，首先求得平面的法向量，再求法向量与的夹角.
试题解析：设，以为原点，射线分别为轴正向建立空间直角坐标系．
则．
（1），
因为，
所以．
（2），
设为平面的一个法向量，取，
因为，
所以与平面所成角为．
【考点】线面垂直的性质，线面角，空间向量的建立与运用.
4.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直
线与轴交于点，与椭圆交于相异两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）假设椭圆的方程为，由离心率可得，由椭圆上的点到焦点的最短距离为可列等式，结合可求得，从而得到椭圆的标准方程；（2）因为直线
的斜率未知，所以需要分类讨论，当斜率不存在时，可求得的取值；当斜率存在时，可假设直线为，与椭圆方程联立可求得的坐标，结合以及来求的取值范围.
试题解析：（1）设，设，由条件知，
解得，故的方程为：．
（2）当直线斜率不存在时：，
当直线斜率存在时：设与椭圆交点为，
∴，得
∴，（*）
∵，∴，∴，
消去，得，∴，
整理得，
时，上式不成立：时，，
∴时，∴或，
把代入（*）得或，
∴或．
综上的取值范围为或．
【考点】椭圆的焦点，离心率，两点间距离.
5.已知函数．
（1）当时，求曲线在（为自然对数的底）处的切线方程；
（2）当时，是否存在实数，使得的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1），可求其导函数，可求得，利用点斜式求切线；（2），对进行分类讨论，由导函数求德原函数在上的单调区间，再求最小值，令最小值等于，便可求得的值.
试题解析：（1）当时，
所以，
所以切线方程为，
即．
（2）假设存在实数，使得的最小值为3，
①当时，因为，所以所以在上单调递减，
得（舍去）
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，得
满足．
①当，即时，因为，所以，所以在上单调递减，
，得（舍去）
综上，存在实数满足题意．
【考点】函数的最值与导数的运用.
【方法点睛】求函数在某一点的切线，可以先求得函数的导函数，因为函数在该点处的导数就是切线的斜率，再求得该点坐标，即可利用点斜式求得切线方程；对于含参函数的最值问题，首先要确定函数的单调区间，即利用导函数的性质来求得函数的单调区间，进一步求得最小值的代数式，从而列方程求解.
6.已知为半圆的直径，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交半圆于点，．
（1）证明：平分；
（2）求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由切线的性质可知，结合可证得，从而有，在等腰中，，进一步可证明平分；（2）由平分可知，则有
，所以有，再由三角形相似的性质便可求得的长.
试题解析：（1）连接，因为，所以，
∵为半圆的切线，
∴，∴，∴，∴，
∴平分．
（2）连接，由知，
所以四点共圆，，
∴，∴．
【考点】切线的性质，相似三角形的性质.
7.在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于点，求．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）将代入直线的标准参数方程，便可求得参数方程，利用二倍角公式对进行化简，并利用求得直角坐标方程；（2）由直线参数方程代
入直角坐标方程得关于的一元二次方程，利用求出.
试题解析：（1）因为直线过点，且倾斜角为，
所以直线的参数方程为（为参数），
由得，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，，
，
可设上述方程得两个实根，则有，
又直线过点，所以．
【考点】直角坐标与极坐标的转换，点到直线的距离.
【思路点睛】直角坐标系与极坐标系转化时满足关系式，即，代入直角坐标方程，进行
化简可求极坐标方程；对于三角形的最大面积，因为底边已知，所以只要求得底边上的高线的最大值，即可求得最大面积，在求圆上点到直线的距离时，可以用公式法求，即圆心到直线的距离再加上半径，也可以用参数法，距离关于的函数的最值.
8.函数．
（1）若，求函数的定义域；
（2）设，当实数时，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据，分类讨论，可求得；（2）根据集合的运算先求得,要征得，首先要证得，两边平方并化简得
，即，显然成立.
试题解析：（1）由，得；
（2）∵，
∵
∴
∴
∴
【考点】（求解）证明含有绝对值的不等式.。