初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

2
初三数学相似三角形
（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：
1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4.
能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题
本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1.
比例线段的有关概念：
在比例式 a
b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项，
d
b 、
c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、
d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。

把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：
①基本性质： a
c b d
②合比性质：
a
c
b d
ad bc
a b c d b
d
③等比性质：
a c
⋯
b d
m (b d ⋯ n
n ≠ 0) a c ⋯ m a
b d ⋯ n
b
3.
平行线分线段成比例定理：
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：
l 1∥ l 2∥ l 3 。

AB 则
BC
DE ， AB
EF AC DE ， BC
DF AC EF ，⋯
DF
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那
么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
③三边对应成比例，两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边
对应成比例，那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
5. 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
【典型例题】
例 1. （1）在比例尺是1：8000000 的《中国行政区》地图上，量得A、B 两城市的距离是7.5 厘米，那么A、B 两城市的实际距离是千米。

（ 2）小芳的身高是 1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18 米，则此建筑物的高是米。

解：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。

（ 1）应填600 （ 2）应填14.4 。

例 2. 如图，已知DE∥ BC，EF∥ AB，则下列比例式错误的是：
A. AD AE
AB AC
CE EA
B.
CF FB
C. DE AD
BC BD D.
EF CF
AB CB
分析：由DE∥ BC，EF∥ AB 可知， A、B、D都正确。

而不能得到DE
BC
AD
，
BD
故应选 C。

利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截
x 线， C 中 DE 很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比
BC
例这一性质来写结论，即 DE
BC AD AE
AB AC
例 3. 如图，在等边△ ABC 中， P 为 BC 上一点， D 为 AC 上一点，且∠ APD=60 ，
BP 1， CD
2
，求△ 3
ABC 的边长
解： ∵△ ABC是等边三角形 ∴∠ C=∠ B=60
又∵∠ PDC=∠ 1+∠ APD=∠1+60 ∠ APB=∠ 1+∠ C=∠ 1+60 ∴∠ PDC=∠ APB ∴△ PDC ∽△ APB
∴
PC CD AB PB
设 PC=x ， 则 AB=BC=1+x
2
∴ 1 x
3 ，∴ x 2， 1
∴ AB=1+x=3。

∴△ ABC 的边长为 3。

例 4. 如图：四边形 ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为
a 的正方形，
（ 1）求证：△ AEF∽△ CEA （ 2）求证：∠ AFB+∠ ACB=45
分析： 因为△ AEF、△ CEA有公共角∠ AEF
故要证明△ AEF∽△ CEA
只需证明两个三角形中，夹∠ AEF 、∠ CEA 的两边对应成比例即可。

证明：（ 1）∵四边形 ABEG 、GEFH 、HFCD 是正方形 ∴ AB=BE=EF=FC=，a ∠ ABE=90
∴AE 2a ， EC 2a
∴AE
EF 2a
2，
EC 2a
2 a AE 2a
∴
AE EC EF AE
又∵∠ CEA=∠ AEF
∴△ CEA∽△ AEF
（ 2）∵△ AEF∽△ CEA
∴∠ AFE=∠ EAC
∵四边形ABEG是正方形
∴ AD∥BC， AG=G，E AG⊥GE
∴∠ ACB=∠ CAD，∠ EAG=45
∴∠ AFB+∠ ACB=∠ EAC+∠CAD=∠ EAG
∴∠ AFB+∠ ACB=45
例 5. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥ B C，A C、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交 AB 于 E，交 CD 于 F
求证： OE=OF
证明：∵AD∥ EF∥BC
OE ∴
BC AE
，
OE EB AB AD AB
∴
OE
BC
∴
1 BC
同理：
∴
1 1
OE OF
1
∴ OE=OF
从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：
① AD ∥ EF ∥BC 1 1 1 AD BC OE
② AD ∥ EF ∥ BC OE OF 1 EF
2
③ AD ∥ EF ∥BC
1 1 1 1 2
即
1 1 2
AD BC OE 1
EF
OF
2
AD BC EF
OE AD AE
AB
EB
AB
AB
AB
1 1
AD 1 OE
1 1
BC AD OF
2
这是梯形中的一个性质，由此可知，在 AD 、B C 、EF 中，已知任何两条线段的长度，都
可以求出第三条线段的长度。

例 6. 已知：如图，△ ABC 中， AD⊥BC于 D ，DE⊥ AB 于 E ， DF⊥ AC 于 F
求证：
AE
AC AF AB
分析： 观察 AE 、AF 、A C 、 AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。

因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代
换，通过△ ABD ∽△ ADE ，可得： AB
AD AD
，于是得到 AE
AD 2 AE AB ，同理 可得到 AD 2
AF
AC ，故可得： AE AB AF AC ，即 AE
AC AF
AB
证明： 在△ ABD和△ ADE中， ∵∠ ADB=∠ AED=90 ∠ BAD=∠ DAE ∴△ ABD∽△ ADE
∴ AB AD AD
AE
2
∴
AD=AE AB 同理：△ ACD∽△ ADF 可得： AD=AF AC ∴
AE AB=AF AC ∴ AE AC AF AB
例 7. 如图，D 为△ ABC 中 BC 边上的一点， ∠ CAD=∠ B ，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC 的长。

分析： 本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角” 的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程， 使问题得以解决。

解： 在△ ADC和△ BAC中 ∵∠ CAD=∠ B ，∠ C=∠ C ∴△ ADC ∽△ BAC
2
2
∴ AD DC AC
AB AC BC
又∵ AD=6， AD=8， BD=7
∴ DC AC
AC
3 7 DC 4
DC
3
即 AC 4
AC 3
解得： DC=9
7 DC
4
例 8. 如图，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 的中点， BE⊥ AC 于 F ，过 F 作 FG∥ AB 交 AE 于 G ，
求证： AG=AF
FC
证明： 在矩形 ABCD 中， AD=BC ， ∠ ADC=∠ BCE=90
又∵ E 是 CD 的中点，∴ DE=CE ∴ Rt △ADE≌ Rt△ BCE ∴ AE=BE ∵ FG∥AB
∴ AE
AG BE
BF
∴ AG=BF
在 Rt△ ABC中， BF⊥ AC于 F ∴ Rt △BFC≌ Rt△ AFB
∴ AF
FB
BF FC
2
∴ BF =AF FC
∴ AG=AF
FC
例 9. 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，若∠ BCD 的平分线
CH ⊥ AB 于点 H ， BH=3AH ，且四
边形 AHCD 的面积为 21，求△ HBC 的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。

把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。

解：延长 BA、CD交于点 P
∵CH⊥AB， CD平分∠ BCD
∴CB=CP，且 BH=PH
∵BH=3AH
∴ PA：AB=1：2
∴ PA：PB=1：3
∵AD∥BC
∴△ PAD∽△ PBC
∴S
△ PAD ：S
△PBC
1：9
∵S △PCH
1
2
S
△PBC
∴S
△PAD S四边形
AHCD
2：7
∵S
四边形AHCD
21
∴S
△PAD
6
∴ S
△PBC
∴S
△ HBC 54
1
S
△
2 PBC
27
a 2
b 9
一、填空题
1. 已知2a b 5 ，则a：b
2. 若三角形三边之比为3： 5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是cm
3. 如图，△ ABC中， D、E 分别是AB、AC的中点， BC=6，则DE= ；△ ADE与△ABC的面积之比为：。

4. 已知线段a=4cm， b=9cm，则线段a、 b 的比例中项 c 为cm。

5. 在△ ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上，DE∥ BC，如果AD=8， DB=6， EC=9，那么AE=
6. 已知三个数1， 2， 3 ，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是
7. 如图，在梯形ABCD中， AD∥BC， EF∥BC，若AD=12cm， BC=18cm， AE： EB=2：3，则
EF=
8. 如图，在梯形 ABCD中，AD∥ BC，∠ A=90 ， BD⊥ CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：
二、选择题
1. 如果两个相似三角形对应边的比是3： 4，那么它们的对应高的比是
A. 9 ：16
B. 3 ： 2
C. 3 ： 4
D. 3 ： 7
2. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长 a 厘米，宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区
2
的实际面积是米
10 4 m
A.
ab
104 m2
B.
ab
abm
C.
104
abm 2
D.
104
3. 已知，如图，DE∥ BC，EF∥ AB，则下列结论：
①AE BE
EC FC
AD AB
②
BF BC ③
EF DE
AB BC
CE EA
④
CF BF
其中正确的比例式的个数是
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
4. 如图，在△ ABC中， AB=24， AC=18，D 是 AC上一点， AD=12，在AB上取一点E，使 A、
D、E 三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是
A. 16
B. 14
C. 16 或 14
D. 16 或 9
5. 如图，在Rt △ ABC中，∠ BAC=90 ， D是 BC的中点，AE⊥AD，交 CB的延长线于点E，则下列结论正确的是
A. △AED∽△ ACB
B. △ AEB∽△ ACD
C. △BAE∽△ ACE
D. △ AEC∽△ DAC
三、解答题： 1. 如图，AD∥E G∥ BC， AD=6， BC=9， AE： AB=2： 3，求 GF的长。

2.如图，△ ABC中， D是 AB上一点，且 AB=3AD，∠ B=75 ，∠ CDB=60 ，
求证：△ AB C∽△ CBD。

3.如图， BE为△ ABC的外接圆O的直径， CD为△ ABC的高，
求证： AC BC=BE CD
4. 如图， Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 ， AD 平分∠ CAB 交 BC 于点 D ，过点 C 作 CE⊥AD于
E ， CE 的延长线交 AB 于点
F ，过点 E 作 E
G ∥ BC 交 AB 于点 G ，AE AD=16， AB
4 5 ，
（1）求证： CE=EF （2）求 EG 的长
[ 参考答案 ]
一、填空题： 1. 19 ： 13
2. 24
3. 3 ；1： 4
4. 6
5. 12
6. 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：
22 、
2
等 。

2
7. 14.4 8. 16 6
二、选择题：
1. C
2. D
3. C
4. D
5. C
三、解答题： 1.
解： ∵ AD∥EG∥ BC
EG
AE ∴在△ ABC 中，有 BC
AB
EF
BE 在△ ABD 中，有 AD AB
∵AE： AB=2： 3 ∴BE： AB=1： 3
EG
2
∴
3
BC ， EF
1
AD 3
∵BC=9， AD=6 ∴EG=6， EF=2
∴GF=EG－ EF=4
2.解：过点 B 作 BE⊥ CD于点 E，
∵∠ CDB=60 ，∠CBD=75
∴∠ DBE=30，
∠CBE=∠ CBD－∠ DBE=75 － 30 =45
∴△ CBE是等腰直角三角形。

∵AB=3AD，设 AD=k，则 AB=3k， BD=2k
∴DE=k， BE 3k
∴BC 6k
∴BD 2k 2
，
BC 6k 3
BC 6k 2
AB 3k 3
∴BD BC BC AB
∴△ ABC∽△ CBD
3.连结 EC，
∵BC BC
∴∠ E=∠ A
又∵ BE 是⊙ O的直径
∴∠ BCE=90
又∵ CD⊥ AB
∴∠ ADC=90
∴△ ADC∽△ ECB
∴
AC CD EB BC
即AC BC=BE CD
4.（ 1）∵ AD平分∠ CAB
∴∠ CAE=∠FAE
又∵ AE⊥ CF
∴∠ CEA=∠FEA=90
又∵ AE=AE
∴△ ACE≌△ AFE（ ASA）
∴CE=EF
（2）∵∠ ACB=90 ，CE⊥ AD，∠ CAE=∠ DAC ∴△ CAE∽△ DAC
∴AC
AD
∴AC
AE
AC
AE AD 16 2
在 Rt △ ACB 中
BC 2AB 2AC 2(4 5 )
16 64
2
∴BC 8
又∵ CE=EF， EG∥ BC
∴FG=GB
∴EG是△ FBC的中位线∴EG 1
BC 4
2。