2013届高三数学一轮复习限时训练4-4

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若将某正弦函数的图象向右平移π2以后，所得到的图象的函数式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4，
则原来的函数表达式为( )． A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋3π4
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π4
D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4－π
4
解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋3π4.
答案 A
2．(2011·新课标)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4，则( )．
A ．y ＝f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称
B ．y ＝f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称
C ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称
D ．y ＝f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称
解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π2
＝2cos 2x ，所以y ＝2cos 2x 在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2单调递减，对称轴为2x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2
(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π
2. 答案 D
3．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω＞0，|φ|＜π
2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．
A ．ω＝12，φ＝π
6 B ．ω＝12，φ＝π
3 C ．ω＝2，φ＝π
6
D ．ω＝2，φ＝π
3
解析 由T ＝2π
ω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π
3. 答案 D
4．(2012·龙岩模拟)将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π
4个单位后，再作关于x 轴
对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是( )． A ．sin x B ．cos x C ．2sin x D ．2cos x
解析 运用逆变换方法：作y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图象关于x 轴的对称图象得y ＝－cos 2x ＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4的图象，再向左平移π4个单位得y ＝f (x )·sin x ＝－sin
2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图象．∴f (x )＝2cos x . 答案 D
5．(2011·辽宁)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π24＝( )．
A ．2＋ 3 B. 3 C.3
3 D ．2－ 3 解析 由题中的图象可知：T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π
2，∴ω＝2，
∴2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|＜π2，∴φ＝π
4.
又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，得A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12＋π4＝tan π3＝ 3.
答案 B
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对
应的函数解析式是________．
解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3向右平移π6个单位得：
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再向上平移2个单位得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2. 答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6＋2
7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全
相同．若x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．
解析 由题意知ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，
当x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，
∴f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，3
8．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8＝－3，则
实数m 的值等于________．
解析 依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π
8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，解得m ＝－5或m ＝－1. 答案 －1或－5 三、解答题(共23分)
9．(11分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2)的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，试写出变换过程．
解 (1)由图象知A ＝2.
f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.
将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2代入f (x )的解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋φ＝1.
又|φ|＜π2，∴φ＝π6.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6.
10．(★)(12分)(2011·深圳一调)已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋π4－sin(x ＋π)．
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若将f (x )的图象向右平移π
6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3，
所以f (x )的最小正周期为2π.
(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝
2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.
当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.
【点评】 解决三角函数的单调性及最值(值域)问题主要步骤有：
第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin (ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋h 的形式.
第二步：根据sin x 、cos x 的单调性解决问题，将“ωx ＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.
第三步：根据已知x 的范围，确定“ωx ＋φ”的范围. 第四步：确定最大值或最小值. 第五步：明确规范表述结论.
B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2011·天津)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π
2时，f (x )取得最大值，则( )． A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数 B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数 C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数 D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数
解析 ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13，∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 3＋π3，由此函数
图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单调增函数． 答案 A
2．(2011·全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )． A.1
3 B ．3 C ．6 D ．9 解析 依题意得，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3个单位长度后得到的是f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π3＝cos ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ωx －ωπ3 的图象，故有cos ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3，而cos ωx ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2k π＋ωx －ωπ3(k ∈Z )，故ωx
－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ωx －ωπ3＝2k π(k ∈Z )， 即ω＝6k (k ∈Z )，∵ω＞0，因此ω的最小值是6. 答案 C
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2011·福州模拟)在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.
解析 首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－1
2，所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π9＋φ＝12，φ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )
＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x ＋π6.
答案 12sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x ＋π6
4．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫
ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π
12对称，则在下面四个结论中：
①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，0上是增函数． 以上正确结论的编号为________． 解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)最小正周期为π， ∴ω＝2ππ＝2，又其图象关于直线x ＝π
12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π
3，k ∈Z . 由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3.
令2x ＋π
3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )． ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．故②正确． 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，得 k π－5π12≤x ≤k π＋π
12(k ∈Z )．
∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．∴④正确． 答案 ②④
三、解答题(共22分)
5．(10分)(2011·潍坊质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图
象如图所示．
(1)求f (x )的解析式；
(2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．
解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝3
2. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π4＋φ＝0，
∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫φ－π4＝0，∵0＜φ＜π2，∴－π4＜φ－π4＜π4，
∴φ－π4＝0，即φ＝π4，
∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32x ＋π4.
(2)由(1)可得f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝
⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32x ＋π8，
∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x ＋π42
＝2－2cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x ＋π4，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，
∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π
4时，g (x )max ＝4.
6．(12分)(2012·华东师大附中模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是
常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝1
3时，f (x )max ＝2. (1)求f (x )的解析式；
(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如
果不存在，请说明理由．
解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2π
ω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π
6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．
故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫πx ＋π6.
(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得59
12≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
214，234上存在f (x )的对称轴，其
方程为x ＝16
3.。