大物B课后题09-第九章振动学（1）

习题
9-5.在气垫导轨上质量为m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图所示，试证明物体m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。

设弹簧的劲度系数为k 1和k
2.
解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 12()F k k x =-+ 根据牛顿第二定律有
2122()d x
F k k x ma m dt
=-+==
化简得
212
20k k d x x dt m
++
= 令2
12k k m ω+=则22
20d x x dt
ω+=所以物体做简谐振动，其周期
22T π
ω
=
=9-6 如图所示在电场强度为E 的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距l ，且l 不变。

若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消失后，这对电荷会以垂直与电场并通过l 的中心点o 的直线为轴来回摆动。

试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。

设电荷的质量皆为m ，重力忽略不计。

解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图所示位置时，点偶极子所受力矩为 sin sin sin 22
l l
M qE qE qEl θθθ=--=- 点偶极子对中心O 点的转动惯量为
2
2
21
222
l l J m m ml ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由转动定律知
2221sin 2d M qEl J ml dt
θθβ=-==∙
化简得
222sin 0d qE
dt ml
θθ+=
当角度很小时有sin θθ≈，若令22qE
ml
ω=
，则上式变为
222sin 0d dt
θ
ωθ+= 所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。

而且其周期为
22T π
ω
=
=9-7 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。

汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 1.3v Hz = 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。

问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？
解 汽车正常载重时的质量为m ，振子总劲度系数为k ，则振动的周期为2T =，频率
为1v T =
= 正常载重时弹簧的压缩量为
22220.15()44mg T g x g m k v
ππ====
9-8 一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O 点，如图所示。

开始棒在平衡
位置OO ，处于平衡状态。

将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O 点在竖直平面内来回摆动。

此装置时最简单的物理摆。

若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。

试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。

解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为θ，并规定细棒在平衡位置向右时θ为正，在向左时为负，则力矩为
1
sin 2
M mg l θ=-
负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O 点转动惯量为2
13
J ml =
,根据转动定律有
222
11sin 23d M mgl J ml dt
θ
θβ=-== 化简得
22
3s i n 02d g
dt l
θθ+= 当θ很小时有sin θθ≈，若令232g
l
ω=
则上式变为
222sin 0d dt
θ
ωθ+= 所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为
22T π
ω
=
= 9-9 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅2210A m -=⨯，周期0.50T s =，当t=0时，求以下各种情况的振动方程。

（1）物体在正方向的端点； （2）物体在负方向的端点；
(3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向正方向运动; (5)物体在2
1.010x m -=⨯处向负方向运动 (6)物体在21.010x m -=-⨯处向正方向运动。

解 由题意知212
2.010,0.5,4A m T s s T
π
ωπ--=⨯==
= （1）由初始条件得初想为是10ϕ=,所以振动方程为
2210cos4()x m π-=⨯
（2）由初始条件得初想为是2ϕπ=，所以振动方程为
2210cos(4)()x t m ππ-=⨯+
（3）由初始条件得初想为是32
π
ϕ=，所以振动方程为
2210cos(4)()2
x t m π
π-=⨯+
（4）由初始条件得初想为是432
π
ϕ=，所以振动方程为
23210cos(4)()2
x t m π
π-=⨯+
（5）因为2052
110cos 0.5210x A ϕ--⨯===⨯，所以55,33ππϕ=，取5
3π
ϕ=（因为速度小于零），所以振动方程为
2210cos(4)()3
x t m π
π-=⨯+ （6）2062
110cos 0.5210x A ϕ---⨯===-⨯，所以624,33ππϕ=，取6
43π
ϕ=（因为速度大于零），所以振动方程为
24210cos(4)()3
x t m π
π-=⨯+
9-10一质点沿x 轴做简谐振动，振幅为0.12m ，周期为2s ，当t=0时，质点的位置在0.06m 处，且向x 轴正方向运动，求；
（1）质点振动的运动方程；
（2）t=0.5s 时，质点的位置、速度、加速度；
（3）质点x=-0.06m 处，且向x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。

解 （1）由题意可知：0020.12,,cos A m x A T πωπϕ====可求得03
π
ϕ=-（初速度为零），所以质点的运动方程为
0.12cos 3x t ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
（2）
0.50.12cos 0.50.1()3t x m ππ=⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭
任意时刻的速度为
0.12sin 3v t πππ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
所以
10.50.12cos 0.50.19()3t v m s πππ-=⎛
⎫=--=-∙ ⎪⎝
⎭
任意时刻的加速度为
20.12cos 3a t πππ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
所以
()220.50.12cos 0.5 1.03t a m s πππ-=⎛
⎫=--=-∙ ⎪⎝
⎭
（3）根据题意画旋转矢量图。

由图可知，质点在x=-0.06m 处，且向x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为
325236ϕπππ∆=-=
所以
()5
0.8336
t s ϕ
ω
∆∆=
=
≈ 9-11 一弹簧悬挂0.01kg 砝码时伸长8cm ，现在这根弹簧下悬挂0.025kg 的物体，使它作自由振动。

请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。

（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm 后松手；
（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上121cm s -∙的初速度，使其振动；
（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm 后，又给以向上121cm s -∙的初速度，同时开始计时。

解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，建立如图所示坐标系。

系统振动的圆频率为
()17s ω-=
=== 根据题意，初始条件为
01
40x cm
v cm s -=⎧⎨=∙⎩
振幅4A cm ==，初相位10ϕ=
振动方程为
4cos7()x t cm =
（2）根据题意，初始条件为
010021x cm v cm s
-=⎧⎨=-∙⎩
振幅3A cm ==，初相位22
πϕ=
振动方程为
3cos(7)()2
x t m π
=+
（3）根据题意，初始条件为
010
421x cm v cm s -=⎧⎨=-∙⎩
振幅5A cm =
=，0
30tan 0.75v x ϕω
=-
=，得30.64ϕ=
5cos(70.64)()x t m =+
9-12 质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010A m -=⨯做简谐振动，其最大加速度为24.0m s -∙，求：
（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。

解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为
2max a A ω=
()1
20s ω-=
==，所以周期为()220.31420T s ππω===。

（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度
max v A ω=
所以动能为 ()()222223max 111
0.1 1.010********
k E mv mA J ω--=
==⨯⨯⨯⨯=⨯（3）总能量为
()3210k E E J -==⨯总
9-13 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为0A 的简谐振动，如图所示，物体的质量为M ，弹簧的劲度系数为k ，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m 的小泥团以速度
v '从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：
（1）系统振动的圆频率；
（2）按图示坐标列出初始条件；
（3）写出振动方程；
解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m ，弹簧的劲度系数为k ，所以系统振动的圆频率为
ω=
（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有 ()0Mv mv M m v '--=+
0Mv mv v M m
'
+=-
+
按图所示坐标初始条件为000x Mv mv v M m =⎧⎪
'+⎨=-⎪+⎩
（3）根据初始条件，系统振动的初相位为2
π
ϕ=
；假设，系统的振动振幅为A ，根据能量
()222
0111()222Mv mv kA M m v M m '+=+=
+ 其中
22011
22
Mv kA = 故得
A =
振动方程为
()2x t m π⎫=
+⎪⎪⎭ 9-14 有一个弹簧振子，振幅2210A m -=⨯，周期T=1s ，初相位3
4
ϕπ=，（1）写出它的振动方程；（2）利用旋转矢量图，作x-t,………图。

解 （1）由题意可知，22T
π
ωπ=
=，所以弹簧振子的振动方程为
()23210cos 24x t m ππ-⎛⎫
=⨯+
⎪⎝
⎭
（2）利用旋转矢量图做x-t 图如图9.7所示
232102sin 24v t πππ-⎛
⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭
223210(2)sin 24a t πππ-⎛
⎫=-⨯+ ⎪⎝
⎭
9-15 一物体做简谐振动，（1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位
可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。

势能各占总能量的百分比是多少？
解 （1）根据题意做旋转矢量如图所示。

由图可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是
2,3
3
π
π±
±
（2）物体做简谐振动时的总能量为212W kA =
，在任意位置时的时能为21
2
p W kx =，所以当它的位置在振幅的一半时的势能为2
2111
228
p W k A kA ⎛⎫== ⎪⎝⎭，势能占总能量的百分比为
25%，动能占总能量的百分比为75%。

9-16 手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg 的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为，振幅是0.04m,问： （1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？ （2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？
(3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？
解 （1）由题意可知，124,0.04v s A m ωππ-===。

因为物体在作简谐振动，物体在最大位移时加速度大小222max 0.04160.64a A ωππ==⨯= 根据牛顿第二定律有
1max 2max
N mg ma mg N ma -=-=
解得18.06N N =（最低位置），2 1.74N N = (最高位置)
（2）当2max mg ma mA ω==，即时0.062A m = 会使砝码脱离平板。

（3）频率增大一倍，把12ωω=代入2max 11mg ma mA ω==得
()211
1.55104
A A m -=
=⨯ 9-17 有两个完全相同的弹簧振子A 和B ，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s 。

现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm ，然后先释放A 振子，经过0.5s 后，再释放B 振子，如图所示，若以B 振子释放的瞬间作为时间的起点， （1）分别写出两个物体的振动方程；
（2）它们的相位差为多少？分别画出它们的x-t 图。

解 （1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为2T
π
ωπ=
=，若以B 振子释放的瞬时作为时间的起点，则B 物体振动的初相位是0B ϕ=，振动方程应为
5cos ()B x t cm π=
由于A 物体先释放0.5s 时的时间，所以相位超前B 物体0.522
T π
ϕπ∆=∙=，所以A 物体振动的初相位是2
A π
ϕ=，振动方程应为
()5cos 2A x t cm ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
（2）它们的相位差为
2
π
ϕ∆=
作A,B 两物体的振动曲线如图9.10所示。

9-18 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为
126cos 268cos 23x t cm
x t cm
ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
试 用旋转矢量求出合振动方程。

解 作旋转矢量如图9.11所示。

由平面几何关系可知
12106tan 0.75
8
A cm
A A ϕ===== 合振动的初相位是
0.43παϕ⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭
所以合振动的振动方程为
()()10cos 20.4x t cm =-
9-19 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2，合振动的相位于第一个振动的相位之差为
6
π
，若第一个振动的振幅为0.173m ，求第二个振动的振幅，第一、第二两振动的相位差。

解 做旋转矢量如图9.12所示。

由平面几何关系可知
()20.1A m =
假设1A 和2A 的夹角为，则由平面几何可知
A =把已知数代入解得2
π
ϕ=，
9-20 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：
0.08cos ,0.06cos 363
3x t y t πππ
π⎛⎫⎛⎫=+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
式中x,y 以m 计，t 以s 计。

（1） 求运动轨迹方程；
（2） 质点在任一位置所受的力。

解 （1）由振动方程消去时间因子得轨迹方程为
22
22
10.080.06x y += （2） 质点在任意时刻的加速度为
22
220.08cos 0.06cos 33633
3d x d y a i j t i t j dt dt ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
质点在任一位置所受的力为
()22
332cos 24cos 10336333F ma t i t j N πππππ
π-⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
9-21 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动；
（1）证明质点的合振动时简谐振动； （2）求合振动的振幅和频率。

解 （1）根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为
()()
cos cos x y x A t y A t ωϕωϕ=+=+
合成的轨迹是直线x
y
A y x A =
，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为
()x t ωϕ'==+
所以质点的合振动是简谐振动。

（2
）合振动的振幅为A =
ω.。