导数09高考汇编,DOC

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2009年导数高考题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 【答案】D
2解:又
0'|x x y ==
3.[
x =
4.)在点
(1,（[解析]：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--， 即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为
12(1)y x -=-，即210x y --=选A
5.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是
【解析】可得2,()()0x a x b y x a x b ===--=为的两个零解.
当x a <时,则()0x b f x <∴<
当a x b <<时,则()0,f x <当x b >时,则()0.f x >选C 。

【答案】C
6．（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．7
4
-或7
答案：A
即y =当0x =当0x =7.（200921x +，则曲线y A ．4 答案：A
8.（2009立的是
A 【答案】 析问题和解决问题的能力。

9.(2009湖北卷理)设球的半径为时间t 的函数()R t 。

若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A.成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C 【答案】D
【解析】由题意可知球的体积为34
()()3
V t R t π=，则'2'()4()()c V t R t R t π==，由此可得
'
4()()()
c
R t R t R t π=，而球的表面积为2()4()S t R t π=， 所以'2'()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表＝， 即'''
'228()()24()()()()()()
c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ⨯表＝＝＝＝，故选D
x
解解12.（2009陕西卷文）设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则
12n x x x ⋅⋅
⋅的值为
(A)
1n (B) 11n + (C) 1n
n + (D) 1 答案:B
解析: 对1*'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率1k n =+,在点
（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设0y =,
1
n n n x +=则
1212311
(23411)
n n n x x x n n n -⋅⋅
⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=
++, 故选 B. 13.（2009天津卷理）设函数1
()ln (0),3
f x x x x =->则()y f x =
A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

B 在区间1
(,1),(1,)e e 内均无零点。

C 在区间1
(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1
解析：0=得3=x 3ln 1<-14.（ ）
A ．3x -，
即令2）上
4v ≥。

二、15.（2009辽宁卷文）若函数2()1x a
f x x +=+在1x =处取极值，则a =
【解析】f ’(x)＝22
2(1)()
(1)x x x a x +-++
f ’(1)＝34
a
-＝0 ? a ＝3 【答案】3
16.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 . 解析 解析：由题意该函数的定义域0x >，由()1
2f x a x x
'=+。

因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()1
2f x ax x
'=+存在零点。

解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1
h x x
=
存在交点。

当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞ 或是{|a
解法2 21
2a x
=-
17.（【解析】()f x '=由(x -18.（已知曲线【解析】23y x '=-19.（ x
所以2311
20(0)(,0)2ax a x a x x
+=⇒=->⇒∈-∞。

20.(2009陕西卷理)设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令
lg n n a x =，则1299a a a ++
+的值为 .
答案：-2
21.（2009宁夏海南卷文）曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 。

【答案】31y x =+
【解析】2'++=x x xe e y ，斜率k ＝200++e ＝3，所以，y －1＝3x ，即31y x =+
解答题
29.(2009山东卷理)（本小题满分12分）
两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧
上选择一点C 建造垃圾处理
B y,4；对城的
（1）将（11）中函数的单调性，并判断弧
A
和城B 解法一:其中当x 所以y （2）y =22
),所以2x =,当
x C 点
到城A 解法二: （1）同上.
（2）设22,400m x n x ==-, 则400m n +=,49
y m n
=
+,所以 494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +=
+=+=++≥+=当且仅当49n m m n =即240160
n m =⎧⎨=⎩时取”=”.
下面证明函数49
400y m m
=
+
-在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0<m 1<m 2<160,则121122
4949()400400y y m m m m -=
+-+-- 21121249
()[
(400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)
m m m m m m m m m m ---=---, 因为0<m 1<m 2<160,所以412(400)(400)m m -->4×240×240 9 m 1
.
1y -数.
.
30.(2009山东卷文)（本小题满分12分）
已知函数321
()33
f x ax bx x =+++,其中0a ≠
（1） 当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?
（2） 已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围. 解: (1)由已知得2'()21f x ax bx =++,令0)('=x f ,得2210ax bx ++=,
)(x f 要取得极值,方程2210ax bx ++=必须有解,
所以△2440b a =->,即2b a >, 此时方程2210ax bx ++=的根为
122b b x a a ---==
,222b b x a a
--+==,
所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时,
令'()0g x =得x =
x =舍去),
当1>a 时,101a <
<,当x ∈时'()0g x >,1
()22ax g x x =--单调增函数; 当x ∈时'()0g x <,1
()22ax g x x =--单调减函数,
所以当x =
时,()g x 取得最大,最大值为g =
所以b ≥当01a <≤时
1≥,此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立,所以1
()22ax g x x =--在区间(0,1]上单调递增,
当1x =时()g x 最大,最大值为1(1)2a g +=-
,所以1
2
a b +≥- 综上,当1>a 时
, b ≥ 当01a <≤时, 1
2
a b +≥-
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间
.运用31.设函数f (Ⅰ)讨论(Ⅱ)若当解：
由假设知
即⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>>-+->.
024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得 1<a<6
故a 的取值范围是（1，6）
32.（2009广东卷理）（本小题满分14分）
已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值
1(0)m m -≠．设()
()g x f x x
=
． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q
，求m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．
解：（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=； 又 g ∴设2
当m 当m （2当1k =当1k ≠若m 若0m <，1
1k m
<-
， 函数()y f x kx =-有两个零点)
1(2)
1(442k k m x ---±-=
，即1)1(11---±=k k m x ；
当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=, 11k m
=-
, 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=
1
1
综上，当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2
m x =-
； 当11k m >-
(0m >)，或1
1k m
<-（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1
)
1(11---±=k k m x ；
当11k m =-
时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=1
1. 33.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）
2
()f x 在
单调递增
此时()f x 在上单调递增, 在是上单调递减, 在
)+∞上单调递增.
34.（2009安徽卷文）（本小题满分14分）
已知函数，a ＞0，
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求
在区间{1，
}上值域。

期中e=2.71828…是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。

第二问就
根据第一问中所涉及到的单调性来求函数()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上的值域。

【解析】(1)由于22()1a
f x x x
=+
- 令21
21(0)t y t at t x
==-+≠得
①当∆=()f x ∴②当∆=
由2
2t -0x ∴<<又由2
2t ②当a <, 在(-∞(2)当a =在2
2,e ⎡⎤⎣⎦上是增函数.
又(1)0,(2)2320f f ln ==-<222
2
()50f e e e =-
-> ∴函数()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上的值域为22223n 2,5l e e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦
35.（2009江西卷文）（本小题满分12分） 设函数329
()62
f x x x x a =-+-．
（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,
因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,
所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为3
4
-
'''
36.（（1） （2） 若解： (1) 因为所以(2)
得：(1)(1)0x kx --<.
故：当 01k <<时, 解集是：1
{1}x x k
<<；
当 1k =时，解集是： ∅；
当 1k >时, 解集是：1
{1}x x k
<<.37.（2009天津卷文）（本小题满分12分）
设函数0),(,)1(3
1
)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中
（Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <。

若对任意的],[21x x x ∈，
)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围。

【答案】（1）1（2）)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数
)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=3
1
3223-+m m
1.
0)>，
解得2
1
)(21>-<m m ，舍
因为12
3
,32,221221>>=+><x x x x x x 故所以
若0)1)(1(3
1
)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意
若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x
则0))((3
1
)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于
是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是03
1
)1(2<-
=m f ,解得3333<<-m 综上，m 的取值范围是)3
3
,21(
【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解
不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

38.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)
在R ，
()2f χ=()I ()II ()III 记g
当1b ≤之外 此时M =由(1)f '-① 若1-于是
② 若0≤于是
而当，10,2b c ==
时，21()2g x x =-+在区间[1,1]-上的最大值1
2
M =
故M K ≥对任意的b ，c 恒成立的k 的最大值为1
2
39.（2009四川卷文）（本小题满分12分）
已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-。

（I ）求函数()f x 的解析式；
（II ）设函数1
()()3
g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极
值时对应的自变量x 的值.
【解析】（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=.
所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+- …………………………………4分
（II 令(g '
由∆①当②当
当=x 40.（（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()2122
4
In f x ->
解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x
++'=+=>-++
令2()22g x x x a =++，其对称轴为1
2
x =-。

由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的
不相等的实根，其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩，得1
02a <<
⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数； ⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数；
（II 设h 则h '⑴当⑵当单调递减。

故f 41.（解: （ⅰ）当c ≥ 12时，()0f x '≥，此时()f x 无极值。

（ii ）当c<12时，()0f x '=有两个互异实根1x ,2x .不妨设1x ＜2x ，则1x ＜2＜2x . 当x ＜1x 时，()0f x '>， ()f x 在区间1(,)x -∞内为增函数； 当1x ＜x ＜2x 时，()0f x '<，()f x 在区间12(,)x x 内为减函数; 当2x x >时，()0f x '>，()f x 在区间2(,)x +∞内为增函数.
所以()f x 在1x x =处取极大值，在2x x =处取极小值.
因此，当且仅当12c <时，函数()f x 在2x x =处存在唯一极小值，所以22t x =>. 于是()g t 的定义域为(2,)+∞.由 2()3120f t t t c '=-+=得2312c t t =-+.
于是 3232
()()626,(2,)g t f t t t c t t t t ==-+=-+∈+
∞. 当2t >时，2()6126(2)0,g t t t t t '=-+=-<所以函数()g t
在区间
42.（已知函数(1) （2）令a ()f m ),
1x m <<
（I （II m 解法一:
(Ⅰ)由'(1)f -从而()f x 令'()0,112.f x x x a ==-=-得或 ①当a>1时, 121a -<-
当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：
由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。

②当1a =时，121a -=-此时有'()0f x >恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调增区间为R
③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：
当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --； 当1a =
当1a <(Ⅱ)由a 由（1）23
x =观察()f x ①当m K mp -'(f ②线段③Km p －；
线段MP 当Km p －'()f m =0时，解得12m m =-=或
直线MP 的方程为22454(
)33m m m m
y x ---=+ 令22454()()(
)33
m m m m g x f x x ---=-+
当2m =时，2'()2g x x x =-在(1,2)-上只有一个零点0x =，可判断()f x 函数在(1,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，又(1)(2)0g g -==，所以()g x 在(1,2)-上没有零点，即线段MP 与曲线()f x 没有异于M ，P 的公共点。

当(]2,3m ∈时，24(0)03
m m
g -=-
>.2(2)(2)0g m =--< 所以存在(]0,2m ∈使得()0g δ=
即当
（2（1（2由（1故M( (Ⅰ) 由y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得3x -线段()g x =因为函数()g x 为三次函数,所以()g x 至多有三个零点,两个极值点.
又(1)()0g g m -==.因此, ()g x 在(1,)m -上有零点等价于()g x 在(1,)m -内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22'()36(44)0(1,)g x x x m m m =---+=在内有两不相等的实数根.
等价于222
22
3612440
3(1)6(44)0
36(44)01
m m m m m m m m m ⎧∆+-+⎪-+--+>⎪⎨---+>⎪
⎪>⎩
＝（）＞ 即1521,251m m m m m -<<⎧⎪><-<<⎨⎪>⎩或解得
又因为13m -<≤,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r 的最小值为2. 43.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）
设2()(1)x f x e ax x =++，且曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线与x 轴平行。

（I ） 求a 的值，并讨论f （x ）的单调性； （II ）
证明：当[0,f(cos )f(sin )22
π
θθθ∈-<时，
解：（Ⅰ）2'()(121)x f x e ax x ax =++++.有条件知，
最小值为 44.（已知函数（1（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212
()()
1f x f x x x ->--。

解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞。

2'
11(1)(1)
()a x ax a x x a f x x a x x x
--+--+-=-+==2分
（i ）若11a -=即2a =,则
故()f x 在(0,)+∞单调增加。

(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <; 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >
故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加。

(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.
当3x <-或03'()0;x f x <<>时， 当303'()0.x x f x -<<><或时，
从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少.
(Ⅱ)3223'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+- 由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故从而
因为'()'()0,f f αβ==所以
将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故 又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <- 于是 6.βα->
46.（2009陕西卷文）（本小题满分12分） 已知函数3()31,0f x x ax a =--≠
()
I 求(f ()II 若(f 围。

解析：（当0a <当0a <当0a >由'()f x <当0a >（2所以'(f -所以(f x 由'()f x =由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=， 在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>， 结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。

47.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）
已知函数1()ln(1),01x
f x ax x x
-=++
≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；
()II 求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。

解（Ⅰ）222
22
'(),1(1)(1)(1)
a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵(f 12a +-∵x ≥①当②当由'(f ∴(f 当0<48.（已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-。

（I ）求函数()f x 的解析式；
（II ）设函数1
()()3
g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极
值时对应的自变量x 的值.
【解析】（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……②
联立①②，解得1,1b c =-=.
所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+- …………………………………4分
（II ）因为321
()223
g x x x x mx =-+-+
令21
()34103
g x x x m '=-++=
当函数有极值时，则0∆≥，方程21
34103
x x m -++=有实数解，
由
∆①当②当
当=x 49.（∣,
( (力和份额类讨论的思想（满分14分）
（I ）解：2'()2f x x bx c =-++，由()f x 在1x =处有极值4
3
-
可得'(1)12014(1)33f b c f b c bc =-++=⎧⎪⎨=-+++=-⎪⎩
解得1,1b c =⎧⎨=-⎩或13b c =-⎧⎨
=⎩
若1,1b c ==-，则22'()21(1)0f x x x x =-+-=--≤，此时()f x 没有极值； 若1,3b c =-=，则2'()23(1)(1)f x x x x x =--+=-+- 当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表：
4|12||12|4||4b c b c b ≥--++-++≥>，导致矛盾，2M ∴>
（Ⅲ）解法1：22()|'()||()|g x f x x b b c ==--++ （1）当||1b >时，由（Ⅱ）可知2M >；
（2）当||1b ≤时，函数'(y f x =）的对称轴x b =位于区间[1,1]-内， 此时{}max (1),(1),()M g g g b =-
由'(1)'(1)4,f f b --=有2'()'(1)(1)0f b f b -±=≥
①若10,b -≤≤则{}'(1)'(1)'(),(1)max (1),()f f f b g g g b ≤-≤∴-≤， 于是
②若01b <≤，则'(1)'(1)'(),f f f b -≤≤{}(1)max (1),()g g g b ∴≤-
于是{}21111max |'(1)|,|'()|(|'(1)||'()|)|'(1)'()|(1)2
2
2
2
M f f b f f b f f b b =-≥-+≥--=+>
综上，对任意的b 、c 都有12
M ≥
而当b =故M k ≥解法2：（1）当|（2）当|此时M =|1≥-下同解法50.（(1) (2) 令 '12()0,1, 3.f x x x ==-=解得 列表讨论'(),()f x f x 的变化情况：
所以，()f x 的极大值是(1)6f -=，极小值是(3)26.f =-
（Ⅱ）'22()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a 对称. 若
'1
1,()4
a f x <≤则在[1,4a]上是增函数，从而 '()f x 在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,f a a =--最大值是'2(4)15.f a a =
由'22|()|12,1236912,f x a a x ax a a ≤-≤--≤得于是有
由''14
(1)f 所以14,1][,1][0,],35a a ∈-∈即若a>1,2)|1212.a a a x =>故当所以使|51.(2009
(2用为y 解 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，2
222'()(512).22f x mx x x
x
=-
+=- 令'()0f x =，得3
2
512x =，所以x =64
当0<x <64时'()f x <0， ()f x 在区间（0，64）内为减函数；
当64640x <<时，'()f x >0. ()f x 在区间（64，640）内为增函数， 所以()f x 在x =64处取得最小值，此时，640
119.64
m n x =-=-=
故需新建9个桥墩才能使y 最小。

52.（2009天津卷理）（本小题满分12分）
已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈
（1） 当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；
（2） 当2
3
a ≠
时，求函数()f x 的单调区间与极值。

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

满分12分。

（III ）当a e =（e 为自然对数的底数）时，设()2()(1)(1)f x h x e x m =--+，若函数()h x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()h x 的极值。

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

解：（Ⅰ）由题意知10x a ->
当01()01()0a f x a f x <<+∞>-∞时，的定义域是（，）；当时，的定义域是（，）
当01(0,).10,0,x x a x a a '<<∈+∞-<>时，因为故f (x)<0,所以f(x)是减函数
当1(,0),10,0,()0,()x x a x a a f x f x '>∈-∞-<><时，因为故所以是减函数….（4分） （Ⅱ）因为()()log (1),1n f n n a f n a a a =-=-所以 由函数定义域知1n a ->0,因为n 是正整数，故0<a<1.
所以()11
lim lim f n n n
n n n a a a a a a a
→∞→∞-==++ （Ⅲ）22)(1)(0),()(21)x x h x e x m x h x e x x m '=-+<=+-+（
所以
已知函数321
(),3
f x x ax bx =++且'(1)0f -=
（I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；
解法一：
（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++
由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-
（Ⅱ）由（I ）得321()(21)3
f x x ax a x =++-（ 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-
令'*()0f x =，则1x =-或12x a =-
（Ⅲ）当1a =-时，得321()33
f x x x x =-- 由3'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=
由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)- 所以函数()f x 在121.3x x =-=处取得极值。

故5(1,).(3,9)3
M N --
所以直线MN 的方程为813
y x =-- 由22133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
得32330x x x --+=
令32()33F x x x x =--+
易得(0)30,(2)30F F =>=-<，而()F x 的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，
（I 1x =-
故(M 由y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
解得1x 55.（设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若函数()()
x
e g x
f x =，讨论()
g x 的单调性．
解（Ⅰ）因2()(0),()2f x ax bx k k f x ax b '=++>=+故
又()f x 在x=0处取得极限值，故()0,f x '=从而0b =
由曲线y=()f x 在（1，f （1））处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知 该切线斜率为2，即(1)2,f '=有2a=2,从而a=1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()(0)x
e g x k x k
=>+
令(g x '（1（2K=1（3）11x =
当(x ∈当x ∈1x ∈（56.（解: （Ⅰ）2()f x x bx c =++为偶函数,故()()f x f x -=即有
22()()x b x c x bx c -+-+=++ 解得0b =
又曲线()y f x =过点(2,5),得225,c +=有1c =
32()()()g x x a f x x ax x a =+=+++从而'2()321g x x ax =++,曲线()y g x =有斜率为0的切
线，故有'()0g x =有实数解.即23210x ax ++=有实数解.此时有24120a =-≥解得
()
,a ∈-∞⋃+∞ 所以实数a 的取值范围:()
,a ∈-∞⋃+∞ （Ⅱ）因1x =-时函数()y g x =取得极值,故有'(1)0g -=即3210a -+=,解得2a =
又'2()341(31)(1)g x x x x x =++=++ 令'()0g x =,得1211,3
x x =-=- 当(,1)x ∈-∞-时, '()0g x >,故()g x 在(,1)-∞-上为增函数 当1(1,)3
x ∈--时, '()0g x <,故()g x 在1(1,3--上为减函数 当1
x '1。