向量的数量积和向量积

关于向量积的说明： (1) a a 0. ( 0 sin 0) // a b 0 (a 0, b 0). ( 2) a b
证 ( ) a b 0, | a | 0,
// sin 0, 0 或 , a b ( ) a // b 0 或 , sin 0 | a b || a || b | sin 0. a b 0.
设 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k (a i a b x a y j a z k ) (bx i b y j bz k ) i j k , i j j k k i 0, | i | | j | | k | 1, i i j j k k 1.
a

a b | a || b | cos
a b | a | Prja b | b | Prjb a .
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
(1) a 2 a a | a |2 .
| b | 0,
（ 1） a b b a .
向量积符合下列运算规律：
（2）分配律： (a b ) c a c b c . （3）若 为数： (a ) b a (b ) (a b ).
2 证 0, a a | a || a | cos | a | . (2) a b 0 ( a 0, b 0 ) ab . 证 ( ) a b 0, | a | 0, | b | 0, cos 0, , ab . 2 , cos 0, ( ) a b ,
L
| OP || F | sin
M 的方向垂直于OP 与 F 所决定
的平面, 指向符合右手系.
定义 向量 a 与 b 的向量积为 c a b | c || a || b | sin (其中 为a 与 b 的夹角)
向量积也称为“叉积”、“外积”.
c 的方向既垂直于 a ，又垂直于 b ，指向符合右手系.
是______； 5、 两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中有 一个向量为________，或它们互相 ________； 6、 两向量的外积为零向量的充分必要条件是至少其中有 一个向量为__________，或它们互相______；
7、设 a 3i j 2k ， b i 2 j k , b = ____， 则a a b = _______ , ( 2a ) 3 b = _______, a 2b = _________ ， cos( a , b ) = __________ ； 8、设 a = 2i 3 j k , b i j 3k 和 c i 2 j , 则
2 2 2 | a | | b | (a b ) .
练 习 题 一、 填空题： 1、 已知 a =3， b =26， a b =72,则 a b =_________； 2 2、 已知（ a , b ）= ，且 a =1， b =2，则 3 ( a b ) 2 =______________ ； 3、 a b 的几何意义是以 a , b 为其邻边的_________； 4、 三向量 a , b , c 的混合积 [ a b c ]= ( a b ) c 的几何意义
两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
启示 定义
a b | a || b | cos
向量 a 与 b 的数量积为 a b ，即
(其中 为 a 与 b 的夹角)
b
| b | cosθ Prja b , | a | cos Prjb a ,
数量积的坐标表达式:
a b a x bx a y by az bz
该式为数量积的坐标表达式.
a b , a b | a || b | cos cos | a || b |
cos
a x bx a y by a z bz a x a y az
0
[(a c )b (b c )a ] c
二、两向量的向量积
实例 设 O 为一根杠杆 L的支点， 有一力 F 作用于
这杠杆上 P 点处． 力 F 与 OP 的夹角为 ， 力 F对 支点 O 的力矩是一向量 M ，它的模 F | M || OQ || F |

O
P Q
4 2 1 8,

| m n | | p | cos ( m n) p
8 3 1 24.
三、小结
向量的数量积 （结果是一个数量）
向量的向量积 （结果是一个向量）
思考题 已知向量 a 0 ， b 0 ， 2 2 2 2 证明| a b | | a | | b | ( a b ) .
例 5 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规则，且 | m | 4 ，| n | 2 ，| p | 3 ，计算( m n ) p .
解
| m n || m || n | sin( m, n)
( m n, p) 0 依题意知 m n 与 p 同向，
第二节 向量的数量积和向量积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
三、小 结
一、两向量的数量积
实例 一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移 动到点 M 2 ，以 s 表示位移，则力 F 所作的功为 W | F || s | cos (其中 为 F 与 s 的夹角)
a
补充:
c ab
b
b i j 2k 都垂 例 3 求与 a 3i 2 j 4k ，
直的单位向量.
解 c a b ax bx
i
j ay by
i j k a z 3 2 4 10 j 5k , bz 1 1 2
思考题解答
2 2 2 2 | a b | | a | | b | sin (a , b )
| a |2 | b |2 [1 cos 2 (a , b )]
2 2 2 2 2 | a | | b | | a | | b | cos (a , b )
b bx i b y j bz k
(a y bz az by )i (a x bz az bx ) j (a x by a y bx )k
该式为向量积的坐标表达式.
向量积还可用三阶行列式表示
i a b ax bx
j a bz az by )i (a x bz az bx ) j (a x by a y bx )k
2 a b | a || b | cos 0.
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：a b b a; （2）分配律： (a b ) c a c b c ;
（3）若 为数： ( a ) b a ( b ) ( a b ), 若 、为数： ( a ) ( b ) ( a b ).
例2
证
证明向量 c 与向量( a c )b ( b c )a 垂直.
[(a c )b (b c )a ] c [(a c )b c (b c )a c ] (c b )[a c a c ]
三角形ABC的面积为
A
B
D
C
1 25 1 2 2 2 S | AB AC | 15 12 16 , 2 2 2 1 2 2 | AC | 4 ( 3) 5, S | AC | | BD | 2 25 1 5 | BD | BD | BD | 5. 2 2
由此也可推出
a
a x a y az b bx b y bz
bx 、 b y 、 bz 不能同时为零，但允许两个为零， a x a y a z a 0, a 0. x y 例如， 0 0 bz
| a b |数值上表示以 a 和 b 为
邻边的平行四边形的面积.
向量积的坐标表达式:
设 a a x i a y j az k ,
a b (a x i a y j a z k ) (bx i b y j bz k ) i i j j k k 0, i j k, j k i , k i j, j i k , k j i , i k j .
k
2 2 | c | 10 5 5 5, c 2 1 j k . e c 5 5 |c |
例4
在顶点为 A(1,1,2) 、 B ( 5,6,2)和
C (1,3,1) 的三角形中，求 AC 边上的高 BD .
解
AB {4, 5,0} , AC {0,4, 3} AB AC { 15, 12, 16 }.
2 2 2
bx by bz
2 2
2
该式为两向量夹角余弦的坐标表示式.
由此可知:
a b a x bx a y by az bz 0 .
例 1 已知 a {1,1,4}， b {1,2,2}，求 (1) a b ；(2) a 与 b 的夹角；(3) a 在 b 上的投影. 解 (1) a b 1 1 1 ( 2) ( 4) 2 9.
( 2) cos
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
bx b y bz
2
2
2
a b 3. (3) a b | b | Prjba Prjba |b |
9 1 , 3 . 18 9 2 4