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向量在立体几何中的应用
摘要
作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体
系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，
运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中
时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学
中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向
量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化
了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.
装
关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用
订
线
ABSTRACT
As one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be plex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect bination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving bee programmed.
Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use
目录Ⅰ
Ⅰ
1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[
向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.
向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.
向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：
一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；
二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.
用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.
2 向量方法解决证明问题的直接应用 2.1平行问题]2[
2.1.1证明两直线平行
b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ.
知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=.
例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.
证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，
∵α⊥BD ，
∴j BD i BD ⊥⊥,
∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，
0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，
∴),0,0(z =
∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，
∴OA BD //.
方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.
2.1.2证明线面平行 1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，
α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.
2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.
例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.
证明：设λ=，∵AP = FQ,
∴λ=，
∴FQ AF PA PQ ++=
=λλ++-
=λλλλ+-+--
=)1(λλ-+
∴//PQ 平面BCE.
方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.
2.1.3面面平行
1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.
方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.
2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.
方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.
2.2垂直问题]3[
2.2.1证明两直线垂直
不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为和，则有b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，
PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：
PE ⊥BC
证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为
,,x y z 轴，
线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标
系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B
设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>， 则 )0,2
,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2
,21(-=-=m n m ， 因为0022
m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.
2.2.2证明线面垂直
直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l .
例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：
α⊥l . 证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量,,,.
因为m 与n 相交，所以向量,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使y x += 将上式两边与向量l 作数量积，得 n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，
因为 0,0=⊥=⊥， 所以0=⋅，所以⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .
方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直
1、不重合的平面α与β的法向量分别为和，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.
2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .
例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：
AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、
面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.
证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则
A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2) D 1(0,2,2)，
E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F （2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F =设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos
=055)
2(10012|F D ||AE |F
D A
E 11=-⨯+⨯+⨯=
所以D 1F ⊥AE ，
由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面
平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.
2.3处理角的问题]5[
2.3.1求异面直线所成的角
a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CD
AB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.
例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.
解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,
∵AB=BC=2BD,设BD=1
则AB=BC=2,DC=3
A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0)
设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→
,
则00.11=⇒=→→z n AB
030.111=+-⇒=→→y x n BC 取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→
n )2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DC
BC AB
设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→
则00.22=⇒=→
→
y n DC
020.222=+⇒=→→
z x n DA
取法向量)1,0,2(-=→
n cos<→
→
21,n n >=
5
151040131001)2(32
221-
=++⨯++⨯+⨯+-⨯=
⋅→
→
→
→n n n n 5
15arccos
,21->=∴<→
→πn n 互补平面角与二面角><--∴→
→
21,n n D AC B , 5
15arccos
的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.
2.3.2求线面角
设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈是面α的法向量，则
有〈=cos sin β例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；
解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，
)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)3
1
,32,32(
a a G ， ∵ ()
2,,3
3
3
a a GE =---，
()0,2,1BD a =-，
03
2
322=-=
⋅a BD GE ， ∴1=a ，()
112,,3
3
3
GE =---，
()12,2,2A B =--
∵ GE 为平面ABD
的法向量，且3
2,cos 1=
=
〉〈A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是
3
2
. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.
2.3.3求二面角
方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示）
，则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即|
|||cos 2121n n ⋅=θ.
② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即|
|||cos 2121n n ⋅=
θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分
别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 |
|||cos 2121n n ⋅=
θ例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求
此时二面角A —A 1D —Q 的大小．
解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a n a a a Q A n ⎩⎨
⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，
∴6
66
11,cos 21=
⨯=
>=
<n n ， 二面角的平面角为锐角，
∴二面角A —A 1D —Q 的大小为6
6arccos
. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴6
6
,cos 21-
>=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos
-=π的补角6
6arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.
3 向量方法解决度量问题的直接应用
3.1两点间的距离]6[
两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点
O （
A 1
z
()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()
222
12212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥
6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.
则无须证明就有如下巧解.
解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则
()()
()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，
所以()
()
()2
2
2
080216011SB SB ==
-+-+-=.
本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.
3.2点与直线距离]7[
如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 2
2AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解 ()()
2
9BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==
5BD =
所以BP 在BD 上的射影长为9
5
，又10BP =，
所以点P 到直线BD 的距离
2
913
1055d ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
3.3点到面的距离
任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离
m
m PQ d ⋅=
（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.
方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.
3.4求两异面直线的距离
知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向
量m ，则两异面直线的距离m
m AC d ⋅=
例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥'' 若A A '＝１，求直线AB 到面'DAC 的距离.
解：如图建立空间坐标系A xyz -，
'(1,1,)DA a =-，(0,1,0)DC =
设面'
DAC 的法向量为1(,,1)n x y =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
01'n DC n DA
得1(,0,1)n a =，直线AB 到面'DAC 的距离ｄ就等于点Ａ到面'
DAC 的距离，
也等于向量AD 在面'
DAC 的法向量上的投影的绝对2
2
1
1
=
⋅=
n n AD d . 方法思路：求异面直线的距离，先找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，
然后分别在两异面直线上任取一点C A ,,则距离d 就是在向量上的投影长
度，距离m
m AC d ⋅=
3.5求面积]8[
由于平行四边形ABCD 面积ABCD
S =AB AC ⨯，所以三角形的面积是平行四边
形的面积的一半.
ABC S
=
1
2
AB AC ⨯ 特别地当A 、B 、C 三点均在Oxy 面上，且坐标为()11,,0A x y ，()22,,0B x y ，
()33,,0C x y ，时
11223
31
12
1
ABC
x y S
x y x y ε
=
（ε=1或-1，保证面积取正值）. 例4 已知空间三点A （1，2，3）B （2，-1，5）C （3，2，-5） 1）试求三角形的面积，2）求三角形的AB 边上的高.
解:AC AB S ABC =∆2
1
{}1,3,2AB =- {}2,0,8AC =-
13
2241262
8
i j
k
AB AC i j k ⨯=-=++- 22224126621AB AC ⨯=++=，
所以三角形的面积是321因为三角形ABC 的AB 边上的高CH 即是平行形四边形的AB 边上的高， 所以ABCD
AB AC S
CH AB
AB
⨯=
=
，
又因为 ()2
2213214AB =+-+=，
所以
6
AB AC
CH
AB
⨯
===
例 5 已知AB a b
=+AD a b
=-，其中2
a=1
b=a与b的夹角为
3
π
，求平行四边形ABCD的面积.
解：
()222
22
22cos
3 AB a b a b a b a b a b a b
π=+=+=++⋅=++⋅=
同理3
AD=，
设AB与AD的夹角为θ，
()()22
22
cos
21
a b a b a b
AB AD a b
AB AD AB AD AB AD AB AD
θ
+⋅--
⋅-
=====
⋅⋅⋅⋅
所以2
27
sin1cos
7
θθ
=-=，
所以sin
ABCD
S AB ADθ
=⋅=.
3.6求体积
三个不共面向量,,
a b c的混合积的绝对值等于以,,
a b c为棱的平行六面体的
体积，即()
6
,,
V a b c
=.
四面体的体积等于以,,
a b c为棱的平行六面体体积的六分之一，即
()
4
1
,,
6
V a b c
=.
例6 已知空间四点的坐标A（0，0，0），B（0，1，0），C（0，1，1），
D（1，1，1）求四面体ABCD的体积及A到BCD平面的距离.
解由初等几何知识，四面体ABCD的体积V等于以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积的
1
6
,
()
4010
111,,011666
111
V AB AC AD ===,
另外设A 到BCD 所确定平面的距离为d ，(),,AB AC AD d BC BD
=⨯
则411
166
V BC BD d d =
⨯⋅=⋅⋅ ， 1d =. 注：求点A 到平面π的距离时，取π上三个点B ，C ，D （1）求出,,AB AC AD ；
（2）求出,,AB AC AD 为棱的平行六面体的体积()
,,AB AC AD ； （3）求出 ,BC BD 为邻边的平行四边形的面积BC BD ⨯；
（4）求出点到平面的距离d ，即(),,AB AC AD d BC BD
=⨯.
4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用
例1 证明三角形各边的垂直平分线共点，且这点到各顶点等距. 分析 设ABC ∆三边BC,CA,AB 的中点分别为D,E,F ,如图，令AB 的垂直平分线与AC 的垂直平分线交于一点
G ，连接GD ，只要证明GD ⊥BC ，也即证0GD CB ⋅=.从而GD 垂直平分BC .
证明 设,GA a GB b ==,GC c =则
()
1
,2
GF a b BA a b =
+=- 由于,GF BA ⊥因而 0=()()
()
22
1122
GF BA a b a b a b ⋅=
+⋅-=- 所以a b = 利用0GE CA ⋅=可得
0=
()()
()
22
1122a c a c a c +⋅-=- 所以a c = 从而GA =GB =GC
又()()
()
22
1122
GD CB b c b c b c ⋅=
+⋅-=-，且,b c =故 0GD CB ⋅= 于是GD CB ⊥所以GD 是BC 边上的垂直平分线.
于是证得了三角形三条垂直平分线交于一点G ，且G 到A ，B ，C 的距离均相等.
例 2 一个空间四边形对边平方和相等的充要条件是四边形的对角线互相垂直
证明：如图，设,,,AB a BC b CD c DA d ====，各边长各为a,b,c,d 对角线是AC 和BD .
由0a b c d +++=得
()
2
2
d a b c =++
222
222a b c b c c a a b =+++⋅+⋅+⋅ = (
)
222
2
2a b c b b c a b a c -+++⋅+⋅+⋅
于是()()
2
2
2
2
22d a b c a b b c AC BD -+-=+⋅+=⋅，故
(
)(
)22
22
d b
a c
+=+AC BD ⇔⊥
即BD AC c a b d ⊥⇔+=+2222.
例3 如果一个四面体ABCD 有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直, 且三对对棱的平方和相等.
证法一:设,,,,,AB a BC b CD c DA d AC e DB f ======
（如图），由上例知2
2
2
2
2d a b c AC BD -+-=⋅ （1） 又由0e c f a ++-=，可得a e c f =++
2222
222a e c f e c c f e f =+++⋅+⋅+⋅故
()()
2
2
2
2
22a c e f c e c f DA BC +--=+⋅+=⋅ （2）
若四面体两对对棱互相垂直，即,AC BD DA BC ⊥⊥ 由（1）（2）可得
2
2
2
2
a c
b d +=+ （3）
2222
a c e f +=+ （4） （3）-（4）得 2
2
2
2
0b d e f +--= 于是在四边形BCAD 中，对边平方和相等.由
2
2
2
2
2b d e f AB CD +--=⋅ （5） 得AB CD ⊥，于是四面体第三对对棱AB 与CD 也互相垂直.又由（3），（4）可得
222222
a c
b d e f +=+=+
即222222AB CD BC DA AC DB +=+=+. 以上结果表明，四面体三对对棱平方和相等. 如果没有用上例的结果，也可以用下面的方法来证 证法二:如果已知四面体ABCD 中两对对棱互相垂直，即 0,0AB CD BC AD ⋅=⋅= ()()
BD AC BC CD AB BC ⋅=+⋅+
=2
BC AB CD AB BC CD BC ⋅+⋅++⋅ =()
BC AB BC BC CD ⋅+⋅+ =BC AB BC BD ⋅+⋅ =BC AD ⋅=0 于是第三对对棱BD AC ⊥
()
2
2
2
2
222
2AB CD AB CB BD
AB CB BD CB BD +=++=+++⋅ （6）
(
)2
2
2
2
2
2222
2BC AD BC AB BD BC AB BD AB BD +=++=+++⋅
（7） ()2
2
2
2
2
22
2
2
2AC BD
BD AB BC BD AB BC AB BC +=++=+++⋅
（8）
()
0,0,,AB CD AB CB BD AB BC AB BD ⋅=⋅+=⋅=⋅ ()
0,0,BC AD BC AB BD AB BC CB BD ⋅=⋅+=⋅=⋅
对照（6），（7），（8）可得222222
AB CD BC AD AC BD +=+=+ 即四面体三对对棱平方和相等.
注 由以上例题可以看出
在进行向量运算时，可以把所有的向量都表示成坐标向量的线性组合，然后进行运算.
在证明两直线垂直时，可把问题转化成这两条直线的方向向量（与直线平行的非零向量）的垂直问题进而转化为两向量数量积为零的问题.
在证明有关长度的等式时，首先将数量转化成向量等式，即用向量的模表示线段的长度，其次运用公式2
AB AB =，使问题化为有关向量数性积的等式证
明问题.
例 4 证明以平行四边形的两条对角线为邻边的平行四边形的面积等于原平行四边形面积的两倍.
设平行四边形的两邻边分别是a 和b ，两条对角线分别是a b +和a b - 证 ()()
a b a b -⨯+
()()
a b a b b a b b =⨯+⨯+-⨯+-⨯ 00a b b a =+⨯-⨯+ a b a b =⨯+⨯
()
2a b =+
例5 已知正四棱锥1111ABCD A B C D -，11,2AB AA ==，点E 为才CC 1中点，点F
为BD 1的中点，求D 1到平面BDE 的距离.
解 建立如图所示直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,2D B E D
()()0,1,1,1,1,0DE DB ==
设D 1在平面BDE 上的射影为G （,,x y z ），则()()1,,,,,2DG x y z DG x y z ==- 由于111
,,DG DE DG BD DG DG ⊥⊥⊥ ，所以 ()()2220
20
y z x y x y z z ⎧+-=⎪
+=⎨⎪++-=⎩
解此方程组得
232343x y z ⎧
=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
和000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩（舍去） 所以1222,,333D G ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
故D
1到平面BDE 的距离
1D G ⎛=-= 上面所用的向量法思路清晰，可方便简捷地求出平面π外一点P 到平面π的 距离.
其解题步题骤为：
（1） 建立恰当的直角坐标系，设P 点在平面的π射影为G （,,x y z ），并求出平面π内的三点A ，B ，C 的坐标；
（2） 求出向量,,,AB AC AG PG 的坐标；
（3） 由,,PG AB PG AC PG AG ⊥⊥⊥，及两个互相垂直的向量的数量积为0，得到关于,,x y z 的三元一次方程组；
（4） 解方程组求得,,x y z 便得到P 点在平面π内的射影G 的坐标； （5） 求出PG 的模长PG ，便得出点P 到平面π的距离.
例6在直平行六面体1AC 中,ABCD 菱形,60DAB ︒∠=,AC
BD O =,1AB AA =.
(1)求证:1//C O 平面11AB D ， (2)求证:平面11AB D ⊥平面11ACC A ， (3)求直线AC 与平面11AB D 所成角的大小. 证明:(1)连接11A C 交11B D 于1O ,连结1AO
在平行四边形11AAC C 中,11//C O AO ,11C O AO =,
∴四边形11AOC O 为平行四边形 ∴11//C O AO
1C O ⊄平面11AB D ,1AO ⊂平面11AB D ∴1//C O 平面11AB D
(2)在直平行六面体1AC 中,1A A ⊥平面1111A B C D
∴111A A B D ⊥
四边形1111A B C D 为菱形
∴1111B D A C ⊥
1111A C AA A =,11A C ⊂平面11ACC A ,1AA ⊂平面11ACC A
∴11B D ⊥平面11ACC A
11B D ⊂平面11AB D ∴ 平面11AB D ⊥平面11ACC A
(3)过C 作1CH AO ⊥交1AO 于H 平面11AB D ⊥平面11ACC A ,平面11
AB D 平面11ACC A 1AO =
∴CH ⊥平面11AB D
O
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
O 1
O
D 1
C 1
B 1
A 1D
C
B
A
_ O
_
1 _ D
_1
_ C
_
1
_
B _ A
∴AH 为AC 在平面11AB D 上的射影 ∴CAH ∠是AC 与平面11AB D 所成的角
设2AB =,在菱形ABCD 中,60DAB ︒∠=
∴AC =在Rt 11AA O ∆中
,1AO =11AO CH AC OO ⋅=⋅
∴CH =
∴sin 7
CH CAH AC =
=
∴arcsin 7
CAH ∠=
（3）解法二:
连11A C 交11B D 于1O ,分别以OB ,OC ,1OO 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示
设2AB =,在菱形ABCD 中,60DAB ︒∠=
∴AC =2BD =
则A
(0,,0),C
,0)，1B (1,0,2),1O (0,0,2)
∴1AO =
1AB =
设平面11AB D 的法向量=n (x ,y ,z )
则1100.AO AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
n n
∴2020.z x z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩， ∴0x =
，令y =则3
2
z =-
_ A
_
1
_A
=n
32
-
) 设AC 与平面11AB D 所成的角为α
∴sin 2AC AC
α⋅=
=
=
n n ∴arcsin
7
α= 命题意图: 熟悉立体几何中常见问题及处理方法,要求学生敏锐把握所给图形特征,制定合理的解决问题策略.立体几何主要是两种位置关系(平行、垂直),两个度量性质(夹角、距离).解决问题的方法也有两种:几何方法和向量方法.两种方法各有优缺点,前者难在“找”和“作”的技巧性,后者难在建系和计算上,究竟用哪种方法,到时根据自己的情况决断.
5 向量在立体几何中应用的教学反思]9[
5.1对比综合法与向量法的利弊
综合方法—不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论.其优点是注重培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及转化化归的数学思想.缺点是有时解决问题时的技巧性过强，而且没有一般规律可循，常常让学生感觉“高不可攀”，从而“望而却步”.
向量方法—以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论.其优点是注重培养学生的数形结合、转化化归的数学思想以及代数计算能力的同时也使立体几何问题的解决过程变得数量化、程序化，易于学生学习.缺点是计算量相对较大，对于计算能力较弱的学生，很容易算错.
如果学生在解决立体几何问题时，能够具体情况具体分析，将综合方法与向量方法这两种方法综合运用，那样将会使得立体几何问题得到更完美的解决.
5.2向量法解决立体几何问题的步骤
用向量法解决立体几何问题的方式有两种：一是直接用向量的代数式运算，二是用向量的坐标运算.一般来说，向量的坐标运算，思维量更少，运算技巧更低，更容易掌握，因此这也是我们常用的向量方法.若所给图形不容易建立空间
直角坐标系，我们也可以用向量的代数式运算来解决问题，但其技巧性相对较高，对学生逻辑推理能力的要求也提高了.
用向量坐标运算解题步骤：
（1）建立空间直角坐标系.注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右手系建立坐标系.注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致.
（2）写出需要用到的点的坐标.注意要仔细再仔细，此步若错，全题皆错.
（3）写出所要用到的向量坐标.注意必须终点坐标减始点坐标.
（4）通过计算解决具体问题.注意公式要记对，运算要仔细.
5.3向量法能解决所有立体几何问题吗
这个问题的答案显然是“不”.世上不可能有一种“万能”方法能解决所有的问题.我们能做的就是在众多的方法中选择适合的方法，“择优录用”.我们可以把解决立体几何问题的思考过程分三步走.第一步，若此题用综合法很简单，那就不必用向量法.第二步，用综合法解决有困难，而图形又适合建立空间直角坐标系，可以通过向量的坐标运算解决问题.
第三步，用综合法解决有困难，而图形又不容易建立空间直角坐标系，那也可以考虑用向量的代数式运算来解决问题.不过这个方法对大部分学生而言其难度不亚于综合法.对于这样的问题有待于我们进一步研究探讨.
总之，向量在立体几何中的应用为我们解决立体几何问题提供了新的解题思路和方法，打破了传统解法“一作、二证、三计算”的模式，突破了传统解法中“添置辅助线”的难点，将立体几何中“形”的问题转化为“数”的问题，开创了解决立体几何问题的新模式.
参考文献：[1] 刘八芝.向量在中学数学教学中的应用[J].镇江高专学报：20XX（2）：2.
[2] 孙晓雄.向量在立体几何中的应用[J].考试周刊，20XX（6）:20-21.
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[4] 陈金跃.数量积
2
2
a a
的魅力[J].中学数学研究，20XX（1）：23.
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[6] 周钟光.空间距离的向量求法[J].中学数学研究，20XX（2）：3.
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[8] 吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1997.
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Problem Slove for school Mathematics (1980).。