2019高考数学(理)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做10圆锥曲线：定点、定值问题(理)

大题精做圆锥曲线：定点、定值问
2精选大题
2 2
[2019甘肃联考]已知椭圆C：x2•每=1 a b 0的右焦点为F，上顶点为M，直线
a b
且原点到直线FM的距离为
3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若不经过点F的直线l : y =kx m k ：：：0,m - 0与椭圆C交于A , B两点，且与圆
切.
2
(1) - y2=1 ； (2) 2 3 .
3
解得b =1 , e ,
(2)因为直线l : ^kx m k ：：：0,m 0与圆x2y2 =1相切,
凶+ 2 R
,B X2,y2，联立 3 y，得3k21 x26kmx 3 m2-1 =0,
y 二kx m FM的斜率为
2 2
x y =1 相
试探究A ABF的周长是否为定值，若是，求出定值;
若不是，请说明理由. 【答
【解(1)由题可知，F c,0 , M 0,b，则
直线FM 的方程为x半
be 訂1，即bx C—所以b2 . c2
x2
又"b-c-3，所以椭圆C的标准方程为/y2"所以
=1，即m2=1 k2.
设 A x i, y i
大题精做圆锥曲线：定点、定值问所以A= 36k2m2-12 3k2 1 m2-1 =12 3k2-m2 1 i=24k20 ,
2
2
-6km 3(m -1 ) X 1 X 2
2
, X 1X 2
厂 3k 1
3k 1
丁 *k
J 3k 2
+1 _m
2
所以 AB| = 5/1 +k 21xi _X2 = 2'3
所以 AF |—|BF =2・3—
乜 X 1
X 2
,
3
所以△ ABF 的周长是2 3
6
X 1 X 2 _2輕
3
3k +1
则厶ABF 的周长为定值 2. 3 .
I 交椭圆C 于A ，B 两点. (1) 求椭圆C 的方程；
丫7
)
(2) 已知点P -,0，求证:
1. [2019安庆期末]已知椭圆
2 2
c ：x_. y_ 2 . 2 a b
(尿、
=1(a >b >0)过点 1,-2~
，焦距长2 2，过点Q 1,0的直线
又m =1 k ，所以AB =
2 6mk 2~7
3k 1
因为 AF -为 -、.2 y ；二
X 1
=3
X 1，同理 | BF = . 3 J
3
3k 2
1
PA PB 为定值.
2. [2019东莞期末]已知椭圆C的中心在坐标原点，左右焦点分别为F i -1,0和F2 1,0 ,且椭圆C经
V丿
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆的右顶点D作两条相互垂直的直线h，I2，分别与椭圆交于点A，B (均异于点D)，求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标.
3. [2019漳州一模]已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且椭圆C的一个顶点与抛物线x? =4 3y的焦点重合，离心率为-.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 过椭圆C的右焦点F且斜率存在的直线I交椭圆C于P , Q两点，线段PQ的垂直平分线交x轴
于M
点，证明：PQ为定值.
4
3
2 2
可得a
2 3 4
=4, b 2
=2，故椭圆方程为—-1 .
4 2
（2）当直线I 的斜率不为0时，设直线l:x=my ，1交椭圆于A x i ,y i ， B X 2,y 2 ， x =my T 2 2
由 22
，可得 m 2 y 2my-3=0,
x 亠2y 4
2 2
2 •【答案】（1） - 1
1 ; （
2 ）见解析. 4
3 - - 痞 | 2 2
【解析】（1）由条件焦距为
2近，知c=72，从而将 心 代入方程 笃+冷」=1 ,
I 2 , a 2
a -2
2m m 2
2
y 』2二
3 m 2
2
一 4 y i y 2 二 m 2 1 y i y 2 一罟 m y i
y 2 詈
-3m 2 -6 2
2 m 2
__15 16 _ 16
当直线I 斜率为0时，A 2,0，B -2,0，
y i
目2 二
化简得PA PB 二
4 3
3 5 2a = MF 2 + MF 1 =— +— =
4 ,
2 2
小
2 2 2
a =2 ,•
b = a
c 4-1=3 ,
(2)①直线AB 斜率存在，设直线 AB:y =kx m , A X i , y i , B X 2,y 2 ,
即证PA PB 为定值，且为
15
16
2 2
【解析】（1）设椭圆C 的标准方程为 笃•召=1 ,
a b
所以椭圆的标准方程为
1
，②
y = kx 亠 m
联立方程 x 4
y ，消去 y 得 3 4k 2
x 2
8mkx 4 m 2
-3 =0, 1
4 3
2 2 2 2 2 2
A= 64m k -16 3 4k m -3
0 , 3 4k -m 0 ,
=4 3y 的焦点为0, • 3，得b = • 3，① 又e 仝
a
8mk 3 4k 2
4 m 2
-3
2 2
2
2
3(m —4k )
又 y 1y^ kx^-m kx 2 亠 m =k x 1x 2 亠mk %、x 2 !亠m
2- ,
3 +4k
3 4k 2
由 AD _ BD ，
y 1 y 2
=一1，二 yy X 1X 2 -2 X 1 X 2 4=0 ,
即
x 1 -2 x 2 -2
...3m *
.匸.性，0 ,
3+4k
2
3+4k 2
3+4k 2
2 ,・2
3 4k 2 2
二 7m 16mk 4k =0.
2k
解得 m = -2k , m 2
，且均满足3 4k 2
-m 2
0 ,
当m - -2 k 时，直线AB 的方程为 y=k x-2，直线过定点 2,0，与已知矛盾;
2k
当m,
时，直线AB 的方程为 y 二k x-2，直线过定点
2
,0 . I 7丿
「7丿
X 2
的倾斜角分别为45，135，易得直线h：y=：x-2，
12 2 12
l2：--x 2,直线11，12分别与椭圆交于点 f，B7-7
(2
此时直线AB斜率不存在，也过定点,0 ,
(2】
7,0.
由抛物线
由①②及 2 2
=b c，解得a =2 ,
所以椭圆
2 2 C的标准方程为—■止=1 .
②由椭圆的对称性所得，当直线h
综上所
述，直
2 2
3.【答案】(1)計；(2)详见解析.
【解解法一：(1)设椭圆C的标准方程为
1，②
-6m 2 J64k2—4石石k2_T4k2—12 ，所以|MF
3 4k^ 3 4k2
当k =0时，点M与原点重合，
则MF =1 , PQ =4，所以
I M N 1
综上所述，而为定值一.
解法二:
A = 36m236 3m24 =144 m21 0,
y
1
y2lm2 4
9 ，y1y2=3m^，
(2)
设点P X1,% , Q X2,y2，联立方程x 二my 亠1
2 2
x y
1
4 3
，得3m2 4 y26my - 9 二0 ,
PQ = 1 m2y1 -y2 = 1 '-6 m 2
3m24 3m24
36 12 m2 1
3m24
，
(2)依题意设直线I的方程为y二k x -1 ,
设点P x i,y i , Q X2,y2，当k =0时，联立方程y =k x-1
2
y
1
3
x2
4
得3 4k2x2-8k2x - 4k2-12=0, △=[8k2-4 3 4k 4k2—12 [=144 k2 1 0 ,
8k2所以x1X2 hR2，
4k2_12
泌二口-，PQ的中点坐标为
2 、
4k2-3k
3+4k23 + 4k2 /
PQ的垂直平分线为y--x
k
4k2
2" 3+4k2 /
k MF =
3+4k2 1
(1) 同解法
又PQ = 1 k2为—x2 = 1 k 所以2
3 3k2 3 4k2，
k
2令VW，得x M
，
-6m 2
8
+2 =—2 ，
3m 2
+4
-3m 3m 2 亠 4，3m 2 亠 4，
f
X x 2 =m y 1 y 2 2 2 1
2
3m 2
4 一 (4
所以PQ 的中点坐标为
PQ
的垂直平分线为y 磊
1
令y =0，得X M
-，所以MF 二
3m +4
1
3m 2
+4 一1
2
3 m 1 ，所以
3m 4
MF 1
-- PQ 一4 '
当直线I 的斜率为0时，点M 与原点重合，则 MF =1 , PQ =4，所以
MF | PQ 1 -- ♦ _
4 ；
_ _m x — 2 ,
I 3m2 +4 !
IMF | 1
综上所述，［Q为定值-•。