21.2.3解一元二次方程之因式分解法 同步练习(含答案)

21.2.3 解一元二次方程（因式分解法）
一、 单选题（共10小题)
1．若关于x 的方程kx 2-（k +1）x +1=0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．方程 x 2 = x 的解是（ ）
A ．x = 1
B ．x 1 = 1 ， x 2 = 0
C ．x = 0
D ．x 1 = -1 ， x 2 = 0
3．一元二次方程220x x -=的解为（ ）
A ．122x x ==
B ．10x =，22x =
C ．10x =，22x =-
D ．120x x ==
4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16 B ．12 C ．14 D ．12或16
5．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ） A ．()()35x x +- B ．()()35x x -+ C ．()()235x x +- D ．()()235x x -+ 6．已知()22222(a b )a b
120----=，则22a b -的值是( ) A ．3- B ．4 C ．3-或4
D ．3或4- 7．方程x 2﹣6x+5=0较小的根为p ，方程5x 2﹣4x ﹣1=0较大的根为q ，则p+q 等于（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．8．已知实数x 、y 满足(x 2+y 2+1)(x 2+y 2−3)=5，则x 2+y 2的值为（ ）
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．4或2
9．一元二次方程x 2+px +q =0的两根为3、4，那么二次三项式x 2+px +q 可分解为（ ）
A ．(x +3)(x −4)
B ．(x −3)(x +4)
C ．(x −3)(x −4)
D ．(x +3)(x +4)
10．一元二次方程2x （x+1）=（x+1）的根是（ ）
A ．x=0
B ．x=1
C ．12
01x x == D ．12112
x x ==-
二、 填空题（共5小题)
11．一元二次方程()()320x x --=的根是_____． 12．对于实数,a b ，定义运算“◎”如下：a ◎b 22()()a b a b =+--．若()2m +◎()3m -24=，则m =_____．
13．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.
14．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x -6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____ 15．方程(5)2x x x -=的根是________.
三、解答题（共2小题)
16．解方程：
（1）()241360x --=
（2）22240x x +-=
17．计算：
（1）2460x x --=
（2）()330x x x -+-=
参考答案
一、单选题（共10小题)
1．若关于x 的方程kx 2-（k +1）x +1=0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】C
【解析】当k=0时，可求出x 的值，根据x 的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x 的值，再根据x 的值为整数结合k 的值为整数即可得出k 的值．综上即可得出结论．
【详解】当k=0时，原方程为-x+1=0，
解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx 2-（k+1）x+1=（kx -1）（x -1）=0，
解得：x 1=1，x 2=1k
， ∵方程的根是整数， ∴1k
为整数，k 为整数， ∴k=±1．
综上可知：满足条件的整数k 为0、1和-1．
故选C ．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2．方程 x 2 = x 的解是（ ）
A ．x = 1
B ．x 1 = 1 ， x 2 = 0
C ．x = 0
D ．x 1 = -1 ， x 2 = 0
【答案】B
【解析】先变形得一元二次方程的一般形式，再用分解因式法解方程即可.
【详解】解：移项，得x 2－x =0，
原方程即为(1)0-=x x ，
所以，x =0或x －1=0，
所以x 1 = 1 ， x 2 = 0.
故选B.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的四种解法（完全开平方法、配方法、公式法和分解因式法）并能根据方程的特点灵活应用是求解的关键.
3．一元二次方程220x x -=的解为（ ）
A ．122x x ==
B ．10x =，22x =
C ．10x =，22x =-
D ．120x x ==
【答案】B
【解析】利用因式分解法解方程．
【详解】x （x -2）=0，
x=0或x -2=0，
所以x 1=0，x 2=2．
故选B ．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16
B ．12
C ．14
D ．12或16 【答案】A
【解析】通过解一元二次方程28150x x -+=求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【详解】解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A ．
【点评】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则
5．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ）
A ．()()35x x +-
B ．()()35x x -+
C ．()()235x x +-
D ．()()235x x -+ 【答案】C
【解析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．
【详解】∵x 2-2px+3q=0的两根分别是-3与5，
∴2x 2-4px+6q=2（x 2-2px+3p ）
=2（x+3）（x -5），
故选：C ．
【点评】考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解此题的关键． 6．已知()22222(a b )a b
120----=，则22a b -的值是( ) A ．3-
B ．4
C ．3-或4
D ．3或4- 【答案】C
【解析】设22t a b =-，则原方程转化为2120t t --=，利用因式分解法解该方程即可．
【详解】设22t a b =-，则由原方程，得2120t t --=，
整理，得()()430t t -+=，
解得4t =或3t =-．
故选C ．
【点评】考查了换元法解一元二次方程.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
7．方程x 2﹣6x+5=0较小的根为p ，方程5x 2﹣4x ﹣1=0较大的根为q ，则p+q 等于（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．【答案】B
【解析】求出两个方程的根，确定出p 与q 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】方程x 2-6x+5=0较小的根为p=1，方程5x 2-4x -1=0较大的根为q=1，
则p+q=2，
故选B ．
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．已知实数x 、y 满足(x 2+y 2+1)(x 2+y 2−3)=5，则x 2+y 2的值为（ ）
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．4或2
【答案】A
【解析】把x 2+y 2当作一个整体，原式变为（x 2+y 2）2-2（x 2+y 2）-8=0，即可求得（x 2+y 2）的值是-2或4．再根据非负数的性质即可.
【详解】（x 2+y 2+1）（x 2+y 2-3）=5，
∴（x 2+y 2）2-2（x 2+y 2）-3=5，
∴（x 2+y 2）2-2（x 2+y 2）-8=0，
即：[（x 2+y 2）-1]2=9，
∴（x 2+y 2）=-2或4．
又∵x 2+y 2≥0
∴x 2+y 2=4
故选：A ．
【点评】考查了利用换元思想解决方程，关键是把（x 2+y 2）看成一个整体来计算，即换元法思想．
9．一元二次方程x 2+px +q =0的两根为3、4，那么二次三项式x 2+px +q 可分解为（ ）
A ．(x +3)(x −4)
B ．(x −3)(x +4)
C ．(x −3)(x −4)
D ．(x +3)(x +4)
【答案】C
【解析】只有把等号左边的二次三项式x 2+px +q 分解为(x －x 1)(x －x 2)，它的根才可能是x 1，x 2．
【详解】若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为3、4，
那么有：(x －3)(x －4)＝0，
∴x 2＋px ＋q ＝(x －3)(x －4)．
故选C.
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为(x －x 1)(x －x 2)＝0．
10．一元二次方程2x （x+1）=（x+1）的根是（）
A ．x=0
B ．x=1
C ．12
01x x == D ．12112
x x ==- 【答案】D
【解析】移项，提公因式法分解因式，即可求得方程的根．
【详解】解：2x （x+1）=（x+1），
2x （x+1）-（x+1）=0，
（2x -1）（x+1）=0，
则方程的解是：x 1=
12
，x 2=-1． 故选：D ． 【点评】本题考查一元二次方程的解法-因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．
二、填空题（共5小题)
11．一元二次方程()()320x x --=的根是_____．
【答案】123,2==x x
【解析】利用因式分解法把方程化为x -3=0或x -2=0，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：30x -=或20x -=，
所以123,2==x x ．
故答案为123,2==x x ．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12．对于实数,a b ，定义运算“◎”如下：a ◎b 22()()a b a b =+--．若()2m +◎()3m -24=，则m =_____．
【答案】-3或4
【解析】利用新定义得到22[(2)(3)][(2)(3)]24m m m m ++--+--=，整理得到2
(21)490m --=，然后利用因式分解法解方程．
【详解】根据题意得，22[(2)(3)][(2)(3)]24m m m m ++--+--=， 2(21)490m --=，
(2 m-1+7)(2 m-1-7)=0，
2 m-1+7=0或2 m-1-7=0，
所以123,4m m =-=．
故答案为：3-或4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.
【答案】x 1=1, x 2=2.
【解析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.
【详解】x(x -2)-(x -2)=0，
()()120x x --=，
x -1=0或x -2=0，
所以x 1=1， x 2=2，
故答案为：x 1=1， x 2=2.
【点评】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.
14．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x -6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____
【答案】4
【解析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【详解】解：x 2-6x+8=0，
（x -2）（x -4）=0，
x -2=0，x -4=0，
x 1=2，x 2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边．
15．方程(5)2x x x -=的根是________.
【答案】120,7x x ==
【解析】首先将方程转化形式，再提取公因式，即可得解.
【详解】解:原方程可转化为252x x x -=
270x x -=
()70x x -=
∴方程的根为120,7x x ==.
【点评】此题主要考查二元一次方程的解法，熟练运用，即可解题.
三、解答题（共2小题)
16．解方程：
（1）()2
41360x --= （2）22240x x +-=
【答案】（1）14x =，22x =-；（2）14x =，26x =-
【解析】（1）方程变形后利用平方根的定义开方，即可求出解，
（2）运用因式分解法求解即可.
【详解】（1）()24136x -=， ()219x -=，
13x -=±，
14x ∴=，22x =-，
（2）22240x x +-=
()()460x x -+=，
40x -=，+60x =，
14x ∴=，26x =-.
【点评】此题考查了一元二次方程的解法---直接开平方法和因式分解法.熟练掌握各自的解法是解本题的关键.
17．计算：
（1）2460x x --=
（2）()330x x x -+-=
【答案】(1)2x =;(2)121,3x x =-=
【解析】(1) 方程利用配方法求出解即可；
(2) 方程利用因式分解法求出解即可.
【详解】(1) 移项,得:x 2-4x=6
两边同时加上4,得:x 2-4x+4=10
配方,得:(x -2)2=10
两边开方,得:x -2=
移项,得:x=2(2) ()330x x x -+-=
分解因式得：(x -3)(x+1)=0
可得x -3=0或x+1=0
解得：121,3x x =-=.
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．。