初中数学精品试题：《数与代数》综合测试卷

《数与代数》综合测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．1008亿用科学记数法表示为(D ) A ．1008×108 B ．1.008×109 C ．1.008×1010 D ．1.008×1011
2．已知m ，n 互为相反数，则下列结论错误的是(C ) A ．2m ＋2n ＝0 B ．mn ＝－m 2 C.m n
＝－1 D.3m ＝－3n 【解析】 ∵当m ，n 均为0时，m
n 无意义，∴C 选项错误．
3．下列运算正确的是(D ) A ．(－2a 3)2＝2a 6 B.9＝±3
C ．m 2·m 3＝m 6
D ．x 3＋2x 3＝3x 3
【解析】 A ．(－2a 3)2＝4a 6，故本选项错误． B.9＝3，故本选项错误． C ．m 2·m 3＝m 5，故本选项错误． D ．x 3＋2x 3＝3x 3，故本选项正确．
4．定义一种新运算ʃb a n ·x n －
1dx ＝a n －b n ，例如，ʃh k 2xdx ＝k 2－h 2.若ʃ5m m －x －
2dx ＝－2，则m ＝(B )
A ．－2
B ．－25
C ．2 D.2
5
【解析】 由题意，得m －1－(5m )－1＝－2， ∴1m －15m ＝－2，解得m ＝－2
5. 经检验，m ＝－2
5
是原分式方程的解．
5．如果▲、●、■分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为(C )
,(第5题))
A ．■、●、▲
B ．▲、■、●
C ．■、▲、●
D ．●、▲、■
【解析】 设▲、●、■的质量分别为a ，b ，c .
易得⎩⎪⎨⎪⎧c ＋a >2a ，a ＋b ＝3b ，∴⎩
⎨⎧c >a ，a ＝2b ，∴c >a >b .
6．将y ＝1
x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位所得的图象如图所示，则所
得的图象的函数表达式为(C )
(第6题)
A ．y ＝1x ＋1＋1
B ．y ＝1
x ＋1－1
C ．y ＝1x －1＋1
D ．y ＝1
x －1
－1
【解析】 由“左加右减”的原则可知，y ＝1
x
的图象向右平移1个单位所得图象的函数
表达式为y ＝1
x －1
；
由“上加下减”的原则可知，函数y ＝1
x －1
的图象向上平移1个单位所得图象的函数表
达式为y ＝1
x －1
＋1.
(第7题)
7．如图，直线y ＝2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，P 为OA 上一动点，则当PC ＋PD 的值最小时，点P 的坐标为(C )
A ．(－1，0) B.⎝⎛⎭⎫－3
2，0 C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0 D ．(－2，0) 【解析】 易知点A (－2，0)，B (0，4)，∴点C (－1，2)，D (0，2)．作点D 关于x 轴的
对称点D ′(0，－2)，连结D ′C ，则PC ＋PD 的最小值即为D ′C 的长．易得直线D ′C 的函数表达式为y ＝－4x －2.
令y ＝0，得－4x －2＝0，∴x ＝－1
2
，∴点P ⎝⎛⎭⎫－12，0. 8．对于实数x ，我们规定[x ]表示不大于x 的最大整数，例如，[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3.若⎣⎡
⎦⎤
x ＋410＝5，则x 的取值可以是(C )
A ．40
B ．45
C ．51
D ．56
【解析】
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋410<6，
x ＋410≥5，
解得46≤x ＜56.
9．将二次函数y ＝x 2－5x －6在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部
分不变，得到一个新图象，若直线y ＝2x ＋b 与这个新图象有3个公共点，则b 的值为(A )
A ．－734或－12
B ．－734或2
C ．－12或2
D ．－69
4
或－12
(第9题解)
【解析】 如解图，过点B 的直线y ＝2x ＋b 与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C 处相切，此时与新抛物线也有三个公共点．
令y ＝x 2－5x －6＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝6， ∴点B 的坐标为(6，0)．
当直线过点B 时，将点B 的坐标代入y ＝2x ＋b ，得 0＝12＋b ，解得b ＝－12.
将一次函数与二次函数的表达式联立，得x2－5x－6＝2x＋b，
整理，得x2－7x－6－b＝0，
Δ＝49－4(－6－b)＝0，解得b ＝－73
4.
综上所述，b的值为－12或－73
4.
10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中(如图①)，从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形(如图②)，则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是(B)
,(第10题)) A．13B．14 C．15D．16
【解析】如解图①，连结AC，CF，则AF＝32，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格．
（第10题解）
又∵MN＝202，∴202÷32＝20
3(不是整数)，∴按A－C－F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3＝15(格)，向上移动了10÷2×3＝15(格)，此时点M位于如解图②所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如解图②所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14，故选B.
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．若点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数的倒数是__1
2
__．
(第11题)
12．把多项式a 3－6a 2b ＋9ab 2分解因式的结果是__a(a －3b)2__． 【解析】 a 3－6a 2b ＋9ab 2＝a(a 2－6ab ＋9b 2)＝a(a －3b)2. 13．若7－
2×7－
1×70＝7p ，则p 的值为__－3__． 【解析】 ∵7－2×7－1×70＝7p ， ∴－2－1＋0＝p ，解得p ＝－3.
14．已知关于x 的一元一次方程x
2019＋5＝2019x ＋m 的解为x ＝2020，那么关于y 的一
元一次方程5－y
2019
－5＝2019(5－y)－m 的解为__y ＝2025__．
【解析】 整理方程x 2019＋5＝2019x ＋m ，得x 2019
－2019x ＝m －5，该方程的解为x ＝2020，
整理方程5－y 2019－5＝2019(5－y)－m ，得5－y
2019
－2019(5－y)＝5－m.
令n ＝5－y ，则整理原方程，得n
2019－2019n ＝5－m ，则n ＝－2020，
即5－y ＝－2020，解得y ＝2025.
(第15题)
15．定义[x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x]的图象如图所示(－2≤x ＜2)，则方程[x]＝1
2
x 2的解为x ＝0或2．
【解析】 当1≤x<2时，1
2x 2＝1，解得x 1＝2，x 2＝－2(不合题意，舍去)．
当0≤x<1时，1
2x 2＝0，解得x 1＝x 2＝0.
当－1≤x ＜0时，1
2
x 2＝－1，方程没有实数解．
当－2≤x ＜－1时，1
2x 2＝－2，方程没有实数解．
∴方程[x]＝1
2
x 2的解为x ＝0或 2.
16．如图，点A ，B 在坐标轴的正半轴上移动，且AB ＝10，反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的
图象与AB 有唯一公共点P ，点M 在x 轴上，△OPM 为直角三角形，当点M 从点(52，0)移动到点(10，0)时，动点P 所经过的路程为__5
12
π__．
(第16题)
(第16题解)
【解析】 如解图，设点A(a ，0)，B(0，b)，则直线AB 的函数表达式为y ＝－b
a
x ＋b.
联立⎩⎨⎧y ＝－b
a x ＋
b ，y ＝k x ，
消去y ，得bx 2
－abx ＋ak ＝0.
∵反比例函数y ＝k
x 的图象与AB 有唯一公共点P ，
∴点P 的横坐标x P ＝－－ab 2b ＝a
2，
∴P 是AB 的中点，∴OP ＝1
2
AB ＝5.
∵点P 在第一象限，点M 在x 轴上，△OPM 为直角三角形，52≤OM ≤10，∴∠OPM ＝90°.
①当OM ＝52时，cos ∠POM ＝OP OM ＝22
， ∴∠POM ＝45°.
②当OM′＝10时，cos ∠P ′OM ′＝OP′OM′＝1
2，
∴∠P ′OM ′＝60°，∴∠POP ′＝15°，
∴l PP′︵＝15×π×5180＝512π，即动点P 所经过的路程为512π.
三、解答题(共66分)
17．(6分)(1)计算：－42＋3
8－(π－3.14)0＋2cos 245°.
【解析】 原式＝－16＋2－1＋2×⎝⎛⎭
⎫222
＝－16＋1＋1＝－14.
(2)先化简，再求值：2(a ＋3)(a －3)－(a －6)＋6，其中a ＝5－1. 【解析】 原式＝2(a 2－3)－a ＋6＋6 ＝2a 2－6－a ＋12 ＝2a 2－a ＋6.
当a ＝5－1时，原式＝2a 2－a ＋6＝2×(5－1)2－(5－1)＋6＝2×(6－25)－5＋1＋6＝19－5 5.
18．(6分)(1)解方程：4x 2－8x ＋1＝0. 【解析】 x 2－2x ＋1
4＝0，
x 2－2x ＋1＝3
4，
(x －1)2＝3
4
，
x －1＝±32，x ＝2±3
2
，
∴x 1＝2＋32，x 2＝2－3
2
.
(2)解不等式组：⎩
⎪⎨⎪
⎧2x ＋5≤3（x ＋2），
2x －1＋3x
2＜1.
【解析】
⎩⎨⎧2x ＋5≤3（x ＋2），①
2x －1＋3x
2＜1.②
解①，得x ≥－1； 解②，得x ＜3，
∴不等式组的解为－1≤x ＜3.
19．(6分)先化简：⎝⎛⎭⎫3x －1－x －1·x －1
x 2
－4x ＋4，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【解析】 原式＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3x －1－x （x －1）x －1－x －1x －1·x －1
（x －2）2 ＝
（2－x ）（2＋x ）x －1·x －1（x －2）2＝2＋x 2－x
.
当x ＝1，2时分式无意义，
∴将x ＝3代入原式，得原式＝5
－1
＝－5.
20．(8分)已知关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．
【解析】 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根， ∴b 2－4ac ＝4－4(2m －1)≥0，解得m ≤1. ∵m 为正整数，∴m ＝1，∴x 2－2x ＋1＝0， 则(x －1)2＝0，解得x 1＝x 2＝1. 21．(8分)阅读理解：
如图，点A ，B 在反比例函数y ＝1
x 的图象上，连结AB ，取线段AB 的中点C .分别过点A ，
C ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，G ，CF 交反比例函数y ＝1
x 的图象于点D .点E ，F ，
G 的横坐标分别为n －1，n ，n ＋1(n ＞1)．
(1)小红通过观察反比例函数y ＝1
x 的图象，并运用几何知识得出结论：AE ＋BG ＝2CF ，
CF ＞DF ，由此得出一个关于1n －1，1n ＋1，2n 之间的数量关系的命题：若n ＞1，则__1
n －1
＋
1n ＋1>2
n
__．
(第21题)
(2)证明命题：
小东认为：可以通过“若a －b ≥0，则a ≥b ”的思路证明上述命题． 小晴认为：可以通过“若a ＞0，b ＞0，且a÷b ≥1，则a ≥b ”的思路证明上述命题． 请你选择一种方法证明(1)中的命题．
【解析】 (1)∵AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF ，AE ＝1n －1，BG ＝1n ＋1
，DF ＝1n ，
∴1n －1＋1n ＋1＞2n
. (2)方法一： ∵n ＞1，∴n(n －1)(n ＋1)＞0.
∵1n －1＋1n ＋1－2n ＝n 2＋n ＋n 2－n －2n 2
＋2n （n －1）（n ＋1）＝2n （n －1）（n ＋1）
， ∴1n －1＋1n ＋1－2n ＞0，∴1n －1＋1n ＋1＞2n . 方法二：∵1n －1＋1
n ＋12n
＝n 2
n 2－1＞1，
∴1n －1＋1n ＋1＞2n
. 22．(10分)某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x 人生产乙产品．
(1)根据信息填表： 产品
种类,每天工人 数(人),每天产 量(件),每件产品可
获利润(元)甲,65－x,2(65－x ),15
乙,x,x,130－2x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一种产品)，丙产品每件可获利30元，
求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x 值．
【解析】 (2)由题意，得15×2(65－x)＝x(130－2x)＋550， ∴x 2－80x ＋700＝0，
解得x 1＝10，x 2＝70(不合题意，舍去)， ∴130－2x ＝110(元)．
答：每件乙产品可获得的利润是110元． (3)设安排m 人生产甲产品，
则W ＝x(130－2x)＋15×2m ＋30(65－x －m) ＝－2(x －25)2＋3200.
∵2m ＝65－x －m ，∴m ＝65－x
3.
∵x ，m 都是非负整数，
∴取x ＝26，此时m ＝13，65－x －m ＝26， 即当x ＝26时，W 最大＝3198.
答：每天生产三种产品可获得的最大总利润为3198元，此时x ＝26.
23．(10分)对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6.
(1)计算：F(243)，F(617)．
(2)若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y(1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数)，规定：k ＝F （s ）
F （t ）
，当F(s)＋F(t)＝18时，求k 的最大值．
【解析】 (1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9； F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14.
(2)∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，
∴F(s)＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F(t)＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋
10y)÷111＝y ＋6.
∵F(s)＋F(t)＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，
∴x ＋y ＝7.
∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝1.
∵s 是“相异数”，∴x ≠2，x ≠3.
∵t 是“相异数”，∴y ≠1，y ≠5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧F （s ）＝6，F （t ）＝12或⎩⎪⎨⎪⎧F （s ）＝9，F （t ）＝9或⎩
⎪⎨⎪⎧F （s ）＝10，F （t ）＝8. ∴k ＝F （s ）F （t ）＝612＝12或k ＝F （s ）F （t ）＝99＝1或k ＝F （s ）F （t ）＝108＝54
， ∴k 的最大值为54
. 24．(12分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)该抛物线与直线y ＝35
x ＋3相交于C ，D 两点，P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 相交于点M ，N.
①连结PC ，PD ，如图①，在点P 运动的过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为Q ，如图②，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（第24题）
【解析】 (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，25a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝－185，
∴该抛物线对应的函数表达式为y ＝35x 2－185
x ＋3. (2)①存在．
∵P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，
∴可设点P ⎝⎛⎭
⎫t ，35t 2－185t ＋3(1＜t ＜5)． ∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 相交于点M ，N ，
∴点M(t ，0)，N ⎝⎛⎭
⎫t ，35t ＋3， ∴PN ＝35t ＋3－⎝⎛⎭⎫35t 2－185t ＋3＝－35⎝⎛⎭⎫t －722＋14720. 联立⎩⎨⎧y ＝35
x ＋3，y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7，y 2＝365. ∴点C(0，3)，D ⎝
⎛⎭⎫7，365. 如解图，分别过点C ，D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E ，F ，
,(第24题解))
则CE ＝t ，DF ＝7－t ，
∴S △PCD ＝S △PCN ＋S △PDN ＝12PN·CE ＋12PN·DF ＝72PN ＝72⎣⎡⎦⎤－35⎝⎛⎭⎫t －722＋14720＝－2110
⎝⎛⎭⎫t －722＋102940
， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积有最大值，最大值为102940
. ②存在．
∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°，
∴当△CNQ 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BM PM
这两种情况． ∵CQ ⊥PM ，∴点Q(t ，3)，N ⎝⎛⎭
⎫t ，35t ＋3， ∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35
. ∵点P ⎝⎛⎭
⎫t ，35t 2－185t ＋3，M(t ，0)，B(5，0)， ∴BM ＝5－t ，PM ＝0－⎝⎛⎭⎫35t 2－185t ＋3＝－35t 2＋185
t －3. 当NQ CQ ＝PM BM 时，有PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35
(5－t)， 解得t 1＝2，t 2＝5(不合题意，舍去)，此时点P ⎝
⎛⎭⎫2，－95. 当NQ CQ ＝BM PM 时，有BM ＝35PM ，即5－t ＝35⎝⎛⎭⎫－35
t 2＋185t －3， 解得t 1＝349，t 2＝5(不合题意，舍去)，此时点P(349，－5527
)． 综上所述，存在点P(2，－95)或(349，－5527
)，使得△CNQ 与△PBM 相似.。