线面垂直的判定教案

第一课时直线与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；
（3）培养学生的几何直观水平，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性理解”到“理性理解”过程中获取新知.
（二）教学重点、难点
重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；
（2）直线和平面所成的角.
难点：直线与平面垂直判定定理的探究.
教学过程教学内容师生互动
设计意图
新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有
几种？
师投影问题，学生回答.生：
可用定义可判断，也可依判
定定理判断.
复习
巩固
探索新知一、直线和平面垂直的定义、画法
如果直线l与平面α内的任意一
条直线都垂直，我们说直线l与平面
α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做
平面的垂线，平面α叫做直线l的垂
面.直线与平面垂直时，它们惟一的公
共点P叫做垂足.
画直线与平面垂直时，通常把直
线画成与表不平面的平行四边形的
一边垂直，如图.
师：日常生活中我们对直线
与平面垂直有很多感性理
解，如旗杆与地面，桥柱与
水面等，你能举出更多的例
子来吗？
师：在阳光下观察，直立于
地面的旗杆及它在地面的
影子，它们的位置关系如
何？
生：旗杆与地面内任意一条
经B的直线垂直.
师：那么旗杆所在直线与平
面内不经过B点的直线位
置关系如何，依据是什么？
（图）生：垂直，依据是异
面直线垂直的定义.
师：你能尝试给线面垂直下
定义吗？
师：能否将任意直线改为无
数条直线？学生找一反例
说明.
培养学生
的几何直
观水平使
他们在直
观感知，
操作确认
的基础上
学会归纳
概括结论.
探索新知二、直线和平面垂直的判定
1．试验如图，过△ABC的顶点A翻
折纸片，得到折痕AD，将翻折后的
纸片竖起放
置在桌面上
（BD、DC
与桌面接
触）.
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌
面所在平面α垂直？
2．直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内两条相交
直线都垂直，则该直线与此平面垂
直.
思考：能否将直线与平面垂直的判定
定理中的“两条相交直线”改为一条
直线或两条平行直线？
师：下面请同学们准备一块
三角形的小纸片，我们一起
来做一个实验，（投影问
题）.学生动手实验，然后
回答问题.
生：当且仅当折痕AD是
BC边上的高时，AD所在
直线与桌面所在平面α垂
直.
师：此时AD垂直上的一条
直线还是两条直线？
生：AD垂直于桌面两条直
线，而且这两条直线相交.
师：怎么证明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之
后垂直关系不变，即AD⊥
CD，AD⊥BD
师：直线和平面垂直的判定
定理体现了“直线与平面垂
直”与“直线与直线垂直”
互相转化的数学思想.
培养学生
的几何直
观水平使
他们在直
观感知，
操作确认
的基础上
学会归纳
概括结论.
典例剖析例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：
b⊥α.
证明：在平面
α内作两条
相交直线m、
n.
因为直线a⊥α，根据直线与平面垂
直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，
所以b⊥m，b⊥n.又因为
,
m n
αα
⊂⊂，m、n是两条相交直
线，b⊥α.
师：要证b⊥α，需证b与
α内任意一条直线的垂
直，又a∥b，问题转化为a
与面α内任意直线m垂
直，这个结论显然成立.学
生依图及分析写出证明过
程.师：此结论能够直接利
用，判定直线和平面垂直.
巩固所知
识培养学
生转化化
归水平、
书写表达
水平.
探索新知二、直线和平面所成的角
如图，一条直线P A和一个平面α相
交，但不与这
个平面垂直，
这条直线叫
做这个平面
的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜
足.过斜线上斜足以外的一点向平面
引垂线PO，过垂足O和斜足A的直
线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射
影所成的锐角，叫做这条直线和这个
教师借助多媒体直接讲授，
注意直线和平面所成的角
是分三种情况定义的.
借助多媒
体讲授，
提升上课
效率.
平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.
典例剖析例 2 如图，在正方体ABCD–
A1B1C1D1
中，求A1B
和平面
A1B1CD所
成的角.
分析：找出
直线A1B在平面A1B1CD内的射影，
就能够求出A1B和平面A1B1CD所成
的角.
解：连结BC1交B1C于点O，连结
A1O.
设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥
B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面
BCC1B1所以A1B1⊥BC1.又因为BC1
⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.所以
A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的
射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD
所成的角.在Rt△A1BO中，
1
2
A B a
=，
2
2
BO a
=，所以
1
1
2
BO A B
=，∠BA1O = 30°
所以，直线A1B和平面A1B1CD所成的
角为30°.
师：此题A1是斜足，要求
直线A1B与平面A1B1CD所
成的角，关键在于过B点
作出（找到，面A1B1CD的
垂线，作出（找到）了面
A1B1CD的垂线，直线A1B
在平面A1B1CD内的射影就
知道了，怎样过B作平面
A1B1CD的垂线呢？
生：连结BC1即可.
师：能证明吗？
学生分析，教师板书，共同
完成求解过程.
点拔关键
点，突破
难点，示
范书写及
解题步骤.
随堂练习1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA =
VC，AB = BC，求证：VB⊥AC.
2．过△ABC所在平面α外一点P，
作PO⊥α，垂足为O，连接P A，PB，
PC.
（1）若P A= PB = PC，∠C =90°，则
点O是AB边的心.
（2）若P A= PB=PC，则点O是△
ABC的心.
学生独立完成
答案：
1．略
2．（1）AB边的中点；（2）
点O是△ABC的外心；（3）
点O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD.
巩固所学
知识
（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，
则点O是△ABC的. 心.
3．两条直线和一
个平面所成的角相等，
这两条直线一定平行
吗？
4．如图，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD
（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱
柱）中，底面四边形ABCD满足什么
条件时，A′C⊥B′D′？
归纳总结
1．直线和平面垂直的定义判定
2．直线和平面所成的角定义与解骤
善.
3．线线垂直线面垂直
学生归纳总结教师补充
巩固学习
成果，使
学生逐步
养成爱总
结，会总
结的习惯
和水平. 课后作业 2.7 第一课时习案学生独立完成
强化知识
提升水平。