2017年高考新课标Ⅱ卷理数试题解析(解析版)

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
课标II 理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．1．
3i
1i
+=+A ．12i +B ．12i
-C ．2i
+D ．2i
-【答案】D
2．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B = ，则B =
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}
1,5【答案】C
【解析】由{}1A B = 得1B ∈，即1x =是方程2
40x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，
{}1,3B =，故选C ．
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数
列的求和公式有：
7(12)
38112
x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，
高为4的圆柱，其体积2
13436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221
(36)272
V =
⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．5．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是
A ．15-
B ．9
-C ．1
D ．9
【答案】
A
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种
【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有2
4C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2
3
43C A 36⨯=种．故选D ．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
8．执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】阅读程序框图，初始化数值1,1,0a k S =-==．循环结果执行如下：
第一次：011,1,2S a k =-=-==；第二次：121,1,3S a k =-+==-=；第三次：132,1,4S a k =-=-==；第四次：242,1,5S a k =-+==-=；第五次：253,1,6S a k =-=-==；第六次：363,1,7S a k =-+==-=；结束循环，输出3S =．故选B ．
9．若双曲线:C 22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()22
24x y -+=所截得的弦长为2，则C
的离心率为A ．2B ．3
C 2
D ．
3
3
【答案】A
10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所
成角的余弦值为A ．
32
B ．
155
C ．
105
D ．
33
【答案】C
【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为21111,2,21221cos 603,5BC D BC BD C D AB ∠=
=+-⨯⨯⨯︒== 易得2
2
2
11C D BD BC =+，学科@网因此111210
cos 55
BC BC D C D ∠=
==，故选C
．11．若2x =-是函数21
()(1)e
x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为
A ．1-
B ．3
2e --C ．3
5e -D ．1
【答案】A
12．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+
的最小是
A ．2-
B ．32
-
C ．43
-
D ．1
-【答案】B
【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =- ，(1,)PB x y =---
，(1,)PC x y =-- ，所以(2,2)PB PC x y +=--
，
22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=--=+-
233
222-≥-，当(0,2
P 时，所求的最小值为3
2
-
，故选B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二
等品件数，则DX =____________．【答案】1.96
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．
14．函数2
3()sin 4f x x x =+-
([0,])2
x π
∈的最大值是____________．【答案】1【
解
析
】
化
简
三
角
函
数
的
解
析
式
，
则
()2231
1cos cos 44
f x x x x x =--=-++=2(cos )12x --+，由[0,]2x π∈可得
cos [0,1]x ∈，当cos 2
x =
时，函数()f x 取得最大值1．
15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑____________．【答案】
21
n
n +16．已知F 是抛物线:C 2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的
中点，则FN =____________．【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，
NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'
中，中位线'
32
AN FF BM +=
=，由抛物线的定义有：3MF MB ==，
结合题意，有3MN MF ==，
故336FN FM NM =+=+=．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）
ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2
sin 8sin 2
B
A C +=．（1）求cos
B ；
（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．
18．（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
，2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．
（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．
（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．
20．（12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP = ．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅= ．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．
【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-= ．由2=NP 得002,2
x x y y ==．因为()00,M x y 在C 上，所以22
122
x y +=．因此点P 的轨迹方程为22
2x y +=．
（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+- ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==--- ．
由1OP PQ ⋅= 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=，
所以OQ PF ⋅= 0，即⊥OQ PF ．
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．
21．（12分）
已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．
（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x -
-<<．
所以()220e 2f x --<<．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系学科*网，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知330,0,2a b a b >>+=．证明：
（1）55()()4a b a b ++≥；
（2）2a b +≤．
【解析】（1）()()
556556a b a b a ab a b b ++=+++()()
()
2333344222244.
a b a b ab a b ab a b =+-++=+-≥。