共形映射的性质及其应用

目录
摘要 (I)
Abstract (II)
1.引言 (1)
2.共形映射的概念 (2)
2.1解析函数的导数的几何意义 (2)
2.2共形映射的定义 (5)
3.几种常见的共形映射 (6)
3.1分式线性变换（默比乌斯变换） (6)
3.2某些初等函数所构成的共形映射 (7)
3.2.1幂函数与根式函数 (7)
3.2.2指数函数与对数函数 (8)
4.共形映射的性质 (9)
4.1共形映射的两个基本性质 (9)
4.2分式线性变换的保角性 (9)
4.3分式变换的保圆周（圆）性 (10)
4.4 分式线性变换的保对称性 (11)
4.5分式线性变换的保交比性 (11)
5.共形映射的应用 (12)
5.1分式线性变换的应用 (12)
5.2幂函数与根式函数的应用 (13)
5.3指数函数与对数函数的应用 (15)
5.4共形映射在其它领域的应用 (15)
6．结束语 (17)
参考文献 (18)
摘要
共形映射这个概念，是数学中很重要的概念之一，是在物理学的观念中所产生的，对于物理学的不同领域有着许多重要的应用.同时关于共形映射的性质也是相当重要的，对于共形映射的一些性质的论证，涉及到较多的基本概念以及方法.本文在共形映射的定义的基础上，较为详细地归纳并且探讨了共形映射所具有的性质.具体地来说，本文主要研究了共形映射在保角性、伸缩率不变性等方面性质及其应用等方面的问题.共形映射的方法成功地解决了在流体动力学、电学、弹性力学等方面的许多实际问题.
关键词：共形映射，保角性，伸缩率不变性，分式线性变换
Abstract
Conformal mapping is an important concepts in math, which can be deduced from the physics and applied to various field in physics. Meanwhile,the nature of conformal mapping is quite important,some of its character for the deduction,involving many basic concepts and methods .In this paper,conclude and discuss the nature of conformal mapping in more detail, which based on the definition of it. Specifically speaking, the paper mainly study the problems about the characters and applications of conformal, ratio of eapansion and contraction ,and others. The methods of conformal mapping successfully solve many practical issues in fluid dynamics,electricity ,and eleastic.
Key words：Conformal mapping , Conformal, Invariability of ratio of expansion and conraction
1.引言
18世纪70年代，是复变函数中共形映射发展的起步，欧拉曾经遇到过称为“小范围里的相似映射”的所谓共形映射；而到了1779年，拉格朗日则创立了共形映射理论，这种理论是建立在从旋转曲面上到平面上的；1788年著作的制图学著作中最早出现了共形映射这一概念；19世纪20年代初，由高斯创立了更为一般的共形映射理论，这种理论是建立在复变函数的；1851年，黎曼首次发表了关于任意的单连域都可以映射到（单位）圆域的定理，此后，许多数学家都曾尝试给出对黎曼定理的严格证明，但都未成功；直到20世纪初才由奥斯古德成功给出严格证明.
在复变函数论中，共形映射既是难点也是重点，是从几何的角度来讨论解析函数的性质及其应用，不仅对于解决数学本身的问题是一种简便的方法，而且对于解决弹性力学、电学、流体学等学科所遇到的实际问题，也是一种非常便捷且重要的方法.从19世纪中叶开始共形映射作为数学工具广泛应用于稠密介质力学的研究中.而共形映射理论的基本问题就是：要求建立由一个函数所构成的变换，使得它在给定的区域D 与*D 把区域映射D 到
*D 上，且这个变换为共形映射.
对解析函数的性质及其应用的探讨有很多种方法，有分析的方法，也即用微分、积分和级数等进行探讨，而本文主要讲的是另一种方法，从几何的角度来讨论解析函数的性质及其应用.从几何的角度来看，一个复变函数()ƒz w = z D ∈，可以视作从z 平面到w 平面之间的一个变换，在接下来的正文当中，将重点探讨由解析函数所构成的变换，也即解析变换的某些重要性质.通过探究可得知，在导数不为零的点处，这种变换具有保角的特 性，并且懂得了判断一个变换是否为共形映射.但是，我们更需要了解共形映射所具有的性质及其应用.本文将阐述共形映射的性质，叙述探讨分式线性变换、幂函数与根式函数、指数函数与对数函数等几种简单变换.
本文从探讨解析变换导数的几何意义，引入共形映射的概念，叙述几种常见的共形映射，进而总结共形映射的性质，最后总结共形映射在分式线性变换、幂函数与根式函数、指数函数与对数函数等方面的应用，并在本文举出一些例子，使我们可以借此认识到，如何选择适当的初等函数的组合（如果这是可以做到的话），来解决共形映射理论的这一问题，通过这些感受共形映射的重要性.
2.共形映射的概念
这一章节我们叙述的是共形映射的概念，先从解析函数所构成的变换的性质出发，探讨解析变换的保角性，以及解析函数在导数不为零的性质，从而引出共形映射的概念.
2.1解析函数的导数的几何意义
我们已经知道，z 平面上的任意一条有向连续曲线C 可以用
(),z z t t αβ=≤≤
来表示，它的正向取t 增大时点z 的移动方向，()z t 是一个连续函数.
若()00,z t t αβ'≠≤≤，那么表示()0z t '的向量（0z 取为起点，以下不一一说明）与C 相切于点()00z z t =（图1）
现在，我们做出如下规定：通过C 上两点0P 与P 的割线0P P 的正向对应参数t 增大的方向，那么这个方向与表示
()()
00z t t z t t
+∆-∆
的向量的方向相同，这里()
0z t t +∆与()0z t 分别为点0P 和
P 对应的复数（图1），当点P 沿着曲线C 无限趋近于点0P 时，割线0P P 的极限位置就是曲线C 上点0P 处的切线.所以，表示
()()()
0000lim
t z t t z t z t t
∆→+∆-'=∆
的向量与曲线C 相切于点0z 处的切线的正方向，因此我们便可以得到:
（1）()0Arg z t '就是在曲线C 上点0z 处切线的正向与x 轴正向之间的夹角； （2）任意两条曲线12与C C ，这两条曲线相较于一点，则两条曲线之间的夹角就是曲线1C 与2C 在交点处的两条切线正方向之间的夹角.
图1
接下来，通过以上的论断以及规定，我们来讨论解析函数的导数所体现出的几何意义，然后由此引出共形映射这一概念.
性质2.1.1[1] 解析变换的保角性（导数的几何意义）设()ƒz w =在区域D 内解析，0z D ∈，在点0z 处有导数且()00ƒz '≠，又设曲线C 为z 平面上任意一条通过0z 的有
向的光滑曲线，它的参数方程为：
()()0
1:C z z t t
t t =≤≤，()00z z t =，则必然有()
0z t '存在并且有()
0z t '≠，从而C 在0z 处有切线，其切向量就是()0z t '，它的倾角则为ϕ=
()0arg z t '，经过变换()z w =ƒ，C 之像曲线()ƒΓ=C 的参数方程变为
()ƒ：z t w ⎡⎤=⎣⎦Γ()≤≤01t t t .
由于()ƒz w =在0z 解析，故()ƒz w =在0z 的领域内是单叶解析的，又C 是通过0
z 的光滑曲线，所以Γ在点()
00=t w w 的邻域内是光滑的.由于()()()000ƒ0t z z t w ''=≠'，故
Γ在()00z w =ƒ处也有切线，()0t w '就是其切向量，其倾角为
()0=arg w t 'ψ=()()00arg arg z z t ''ƒ+，
即 ϕψ=+()0arg z 'ƒ. 假设 ()0ƒRe i z α'=，
则必 ()0ƒz R '=，()0arg z α'ƒ=，
于是 -=ϕαψ， （1） 且 0
lim
0z w
R z
∆→∆=≠∆. （2）
图2
若我们假设图1中的x 轴与u 轴、y 轴与v 轴的正方向相同，规定曲线C 经过变换后的旋转角就是原来的切线正方向与变换过后的切线的正向之间的夹角，极限值0
lim z w
z
∆→∆∆ 称为曲线C 在0z 的伸缩率，因此我们有
（1）式表明：曲线C 经过()ƒz w =变换后在0z 处的旋转角就是导数()0ƒ0z '≠的辐角()0Arg z 'ƒ，且旋转角的大小和方向跟曲线C 的形状与大小无关，所以这种变换具有旋转角不变性.
（2）式表明：通过点0z 的任意曲线C 经过变换()ƒz w =后在0z 的伸缩率是()0ƒz '，它与曲C 的形状和方向无关，因此这种变换具有伸缩率不变性.
上面的讨论说明：在导数不为零的点处，解析函数具有旋转角不变性和伸缩率不变性. 现在假设两条曲线12与C C 相交于点0z ，它们的参数方程分别为()1z z t =和()2z z t =，
t αβ≤≤；并且()()01020
z z t z t '==，()()102000z t z t '''≠≠，0t αβ<<，0t αβ'<<.现又假设变换()ƒz w =分别将12与C C 映射为相交于点()00ƒz w =的曲线1Γ与2Γ，它们的参数方程为()1w w t =与()2w w t =，t αβ≤≤.则由此可得到
()()()()1
0102020Arg Arg Arg Arg w t z t w t z t ''''''-=-. 即 ()()()()20102010Arg -Arg =Arg Arg w t w t z t z t ''''''- （3）
上式两端分别是1Γ与2Γ以及12与C C 之间的夹角.所以，（3）式表明：
任意两条相交于点0z 的曲线12与C C 之间所成的夹角，与在经过变换()ƒz w
=映射后
1C 与2C 所对应曲线1Γ与2Γ之间所成的夹角的大小和方向都相同，这种性质便称为保角性.
由此，我们便可以得到下面的定理.
定理2.1.1[2] 设函数()ƒz w =在D 内解析，0z 是D 内一点，且()0ƒ0z '≠，则变换()ƒz w =在点0z 处具有以下两个性质：
（1）通过0z 的两条曲线之间所形成的夹角在经过变换后所得的两曲线之间的夹角保持大小和方向不变，称为保角性.
（2）任意一条通过0z 的曲线的伸缩率均为()0z 'ƒ，且与其形状和方向无关，称为伸缩率不变性.
2.2共形映射的定义
通过以上解析变换的性质可以引入共形映射的概念.
定义 2.2.1[2] 如果()ƒz w =在区域D 内是单叶的，在0z 具有保角性和伸缩率不变性，则称此变换在0z 是共形的，或者称()ƒz w =在0z 是共形映射，若变换()ƒz w =在D 内每一点都是共形的，则称它为D 内的共形映射.
设()ƒz w = z D ∈ ， 0z D ∈ ()00ƒz w =.
又因为
w z ∆∆=()()00
z z z z --ƒƒ=0
z z →−−−−−→= ()0ƒz '， 所以()0ƒw z z '∆≈∆（忽略高阶无穷小）.
那么圆：()
()000ƒw z z z w w z δδ=ƒ'-=−−−
→-=（忽略高阶无穷小）. 这就是为什么称为共形映射的原因. 根据以上的讨论以及定理和定义，我们有：
定理2.2.1[2] 如果解析函数()ƒz w =在D 内每一处都有()0ƒ0z '≠，那么变换()ƒz w =是D 内的共形映射.
上面所定义的共形映射，不仅要求曲线间的夹角在经过变换后保持大小不变，且方向也必须保持不变，如果变换()ƒz w =具有伸缩率不变性，且保持夹角的大小不变，但是方向相反，则称该变换为第二类共形映射.因此，前面叙述的共形映射相对地称为第一类共形映射.
3.几种常见的共形映射
在本文中，主要探讨的是解析函数所构成的共形映射，分式线性变换、以及某些初等函数所构成的共形映射等都是几种常见的共形映射，它们在共形映射中都是很基本的，下面我们就来讨论这几种常见的共形映射.
3.1分式线性变换（默比乌斯变换）
形如+=+az b
w cz d ， 0==-≠a b w ad bc c d
，称为分式线性变换，简记为()=w z L .
为了保证()L z 不恒为常数，条件0ad bc -≠是必要的. 另外，对于分式线性变换，在扩充z 平面上的补充定义如下： 如0c ≠，在 d z c =-
处定义w =∞，在z =∞处定义w c
=a
； 如0c =，在z =∞处定义w =∞.
注 分式线性变换又称为双线性变换，在这方面，德国数学家乌斯曾做过大量的研究.所以，在其它文献中，它也被称为默比乌斯变换.
任一分式线性变换总可以由以下三种特殊类型变换复合而成： （Ⅰ）w z b =+；（Ⅱ）w z =a ；（Ⅲ）1
w z
=
. 现在来叙述这三种变换各自所具有的几何意义.
（Ⅰ）型变换w z b =+是一个平移变换.因为复数相加相当于化为向量相加，所以在变换w z b =+下，z 沿着向量b 即复数b 所表示的向量的方向平移一段距离b 后就得到w .
（Ⅱ）型变换w az =是一个旋转与伸缩变换.事实上，我们设re i z θ=，re i θ=a ，那么
r i w e θλ=.因此，先把z 旋转一个角度α，再将z 伸长或缩短到=λa 倍后就得到w .
（Ⅲ）型可分解为：
1
w z
=
，w ω=. 上面第一个变换称为关于单位圆周的对称变换，并且z 与ω关于单位圆周对称；后面一个变换称为关于实轴的对称变换，并且w 与ω关于实轴对称.
3.2某些初等函数所构成的共形映射 3.2.1幂函数与根式函数
幂函数n w z =，其中n 是大于1的自然数，除了0z =,及z =∞外，它处处具有不为零的导数，因此幂函数在这些点处是保角的.幂函数的单叶性区域是顶点在原点且张度不超过
2n π的一个角形区域.例如说，它在角形区域d: 0arg z α<< 20n πα⎛
⎫
<≤ ⎪⎝
⎭
内是单叶的，因此幂函数也是共形的（因为不保角的点z =0,及z =∞在d 的边界上，不在d 内）.故幂函数（将图3的角形区域d:0arg z α<<20n
πα⎛⎫
<≤
⎪⎝
⎭
共形映射成为角形区域D ：0arg n w α<<.
图3
特别地，在指数函数n w z =下，角形区域arg z n
π
<<20共形映射成为w 平面上除去原点及正实轴的区域（图4）.
图4
而指数函数n w z =的逆变换根式函数n z w =，将w 平面上的角形区域
2:0arg 0D w n n παα⎛
⎫<<<≤ ⎪⎝
⎭
共形映射成为z 平面上的角形区域d:0arg z α<<（图3）.（这里n w 是D 内的一个单值解析分支，区域d 确定了它的值.）
总而言之，我们可以利用幂函数或者根式函数所构成的共形映射来拉大或缩小角形区域的张度.
3.2.2指数函数与对数函数
指数函数z w e =在任意的有限点处均有()0z
e
'≠，
因此，由指数函数所构成的变换是z 平面上的共形映射.z w e =的单叶性区域是平行于实轴宽不超过2π的带形区域.例如说，
z w e =在带形区域g:()0m 02z h h π<I <<≤是单叶的，因此也是共形的（z =∞不在g
内，而在g 的边界上）.于是指数函数将带形区域g: ()0m 02z h h π<I <<≤共形映射成角形区域G ：0arg w h <<（图5）.
图5
特别地，带形区域0m 2z π<I <在指数函数=z w e 下共形映射成w 平面上除去原点及正实轴的区域.
作为z w e =的逆变换ln z w =，将图5所示w 平面上的角形区域
G ：()0arg 02w h h π<<<≤
共形映射成z 平面上的带形区域g: 0m z h <I <(这里的ln w 是G 内的一个单值解析分支，它的值完全由区域g 确定.).
4.共形映射的性质
通过前面对共形映射的概念以及几种常见的共形映射的介绍，接下来是探讨共形映射
所具有的某些性质，从共形映射的两个基本性质出发，再到具体的分式线性映射所特有的性质.
4.1共形映射的两个基本性质
性质4.1.1[3] 在相差一个高阶无限小的程度内，共形映射可以把无限小的圆周变换成圆周（圆性质）.
性质4.1.2[3] 共形映射使在曲线的交点处曲线所成的角度保持不变（角保持性质）.性质4.1.1的意思是，当r 很小时，圆周0:r C z z -=被变换成这样的一条曲线*C ，它的任何一个点，与经过曲线*C （它是曲线C 考虑的映射下的像）上任何一个点所做的圆周0w w ρ-=的距离，都是一个关于r 的高阶无限小.性质4.1.2的意思是，在点0z 处任何两条曲线1Γ与Γ2所成的角度，等于在点0w 处这两条曲线的像*
1Γ与*
2Γ所成的角度.
4.2分式线性变换的保角性
首先，我们来讨论一下（Ⅲ）型变换1
w z
=
，该变换称为反演变换，显然在扩充z 平面上反演变换是一一对应的，且在,z z ≠≠∞0处导数存在，则该变换在去除0z z ≠≠∞
与
后是共形的.但是，问题在于z z ==∞0和处是否共形的，下面我我们就来讨论.如果我们规定：两条伸向无穷远点∞处的曲线的夹角，等于它们在变换1
=
z
ζ下所映射成的通过原点的两条象曲线的夹角，那么变换1
=w z
ζ=
在原点处解析，且()010w ζζ='=≠，因此变换w ζ=在=0ζ处，也即变换1
w z
=
在z =∞处是共形的.同样地，依次可得在0z =处w 1z =
是共形的.所以，变换1
w z
=在扩充z 平面上是一个共形映射. 接下来，我们讨论（Ⅰ）型和（Ⅱ）型的复合变换()0w az b a =+≠.显然，这个变换
在扩充z 平面上是一一对应，且()()00w az b a ''=≠≠+，因此当z ≠∞时，该变换是共形的.为了证明在z =∞处它也是共形的，设1
1
=,z w
ζη=
.这时，变换()0w az b a =+≠成为 a b ζ
ηζ=
+
它在处解析，并且有()()
2
01
0a
a
a b ζζηζζ=='=
=
≠+，所以在=0ζ处共形，即()0w az b a =+≠在z =∞处是共形的，故()0w az b a =+≠在扩充z 平面上是共形映射.
综上所述，由于上述三种变换复合得到分式线性变换，所以，我们便得出下面的性质. 性质4.2.1 分式线性变换在扩充z 平面上是一一对应的，且具有保角性.
4.3分式变换的保圆周（圆）性
性质4.3.1[1]
平面上的圆周（直线）经分式线性变换变为圆周或者直线.注 在扩充平面上，直线可以看作经过无穷远点的圆周.
证 明显可得，圆周（直线）在整线性变换()0w kz h k =+≠变换下变为圆周（直线），而对于反演变换w z
=
1
，事实上，圆周或直线则可表为
Az 0z z z C ββ+++= （A ，C 为常数，2
C β
>A ） ，
当A=0就上式就表示为直线.上式经过反演变换1
w z
=
变换后成为 0Cww w w A ββ+++=，
它表示直线或圆周（当C =0时表示直线，当0C ≠时表示圆周）.
由于分式线性变换是由几个整线性变换型和反演线性变换的复合得到，这样分式线性变换将平面上的圆周（直线）变为圆周或直线.
4.4 分式线性变换的保对称性
分式线性变换除了保角性和保圆周性之外，还有保对称性.为了证明这个性质，我们引入下面一个定理.
定理 4.4.1[1]
12,z z 是关于圆周γ的一对对称的充要条件是通过12,z z 的任意圆周Γ都与γ正交.
现在，我们就来证明分式线性变换的保对称性，也即定理4.4.1所得到的性质4.4.1 性质 4.4.1 设点12,z z 是关于圆周γ的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的像点1w 与2w 也是关于γ的像曲线Γ的一对对称点.（保对称性）
证 设经过12,z z 的圆周Γ由分式线性变换得到经过w 1与2w 的任意圆周'Γ，因为Γ与
C 正交，而分式线性变换具有保角性，因此，'Γ与C '（C 的像）也必然是正交的，所以由
定理4.4.1可知1w 与2w 是关于C '的一对对称点.
4.5分式线性变换的保交比性
在讨论分式线性变换的保交比性前，我们先引用2012年高等教育出版社出版的钟玉泉编著的《复变函数论》对交比的定义.
定义4.5.1[1] 1234,,,z z z z 是扩充平面上有序的四个互异点，构成下面所示的量，称为它们的交比，记为()
1234,,,z z z z ：
()31
4112344232
,,,:
z z z z z z z z z z z z --=
--.
当四个互异点其中有一个点为∞时，则将含有此点的项用1代替.比如1z =∞时，即有
()2344232
11
,,,z z z z z z z ∞=
:
--， 也即先把1z 看作是有限的，再令1z →∞取极限而得.
性质4.5.1[1] 在分式线性变换下，四点的交比保持不变.证 设 ,1,2,3,4i i i az b
w i cz d
+=
=+ ，
则
()()()()
i j i j i j ad bc z z w w cz d cz d ---=
++， 所以
()31
4112344232
,,,:
w w w w w w w w w w w w --=
-- =
()31
4112344232
:,,,z z z z z z z z z z z z --=--.
5.共形映射的应用
5.1分式线性变换的应用
当边界是圆弧或者直线的区域时，分式线性变换在处理这些问题时具有很大的作用. 下面的例子很好地反映了分式线性变换的作用.
例1 若分式线性变换()az b
z cz d
w L +==
+满足条件：,,,a b c d 是实数，并且0ad bc ->，则上半z 平面在该变换下共形映射成上半w 平面.
证明 由题设，当z 为实数时，则()az b
z cz d
w L +==+也为实数，因此该变换把实
轴变换成实轴.又当z 为实数时
()()
20dw ad bc L z dz cz d -'==>+. 因此该变换把实轴变换成实轴且还是同向的，如图6所示，再注意到例1，该变换把上半z 平面共形映射成上半w 平面.
图6
例2 求出将上半平面z >Im 0共形映射成单位圆1w <的分式线性变换()w L z =，使得()
0L =a
，其中Im 0a >.
解 首先根据保对称点性，点a 关于实轴的对称点a 应该变成0关于单位圆周1w <的对称点∞.因此，该分式线性变换一定具有如下形式
z a
w k z a
-=⋅
-， 其中k 是常数.
下面，我们来确定k.根据保圆周性，()
w L z =将实轴变换成单位圆周1w =，即实轴上的任意一点一定变成单位圆周1w =上的点，特别地，0
1z z a a
k k w z a
a
=-⋅
=⋅∈=-，
所以k =1，即i k e θ=，θ为实常数，所求的分式线性变换为
()Im 0i z a w e a z a
θ
-=⋅
>-.
5.2幂函数与根式函数的应用
()0
,,,az b
w L z cz d
ab ca a b c d +==
+->−−−−−→是实数
以上是应用了分式线性变换的特性，下面我们举例运用幂函数或者根式函数所构成的共形映射将角形区域的张度进行拉大或缩小.
例3 求将区域arg 4
2
z π
π
-
<<
共形映射成上半平面.使1,,0z i i =-分别变成2w =，
1,0-（图7）
解 容易可知4
1
4
3
3
44i i e z e z π
πξ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
将指定区域变成上半平面，不过1z =，-i ， 0,i 变成3
410,,ξ=
-.
现再作一个上半平面到上半平面的分式线性变换，使得3
410,,ξ=-变成w =2，-1,0.
此变换为
(
(
)
3
3
3
2
414234
w ξ
ξ+=
-+，
复合这两个变换后，即得所求的变换为
(
)
(
)
4
3
3
44
3
3
34
2414234
i i e z w e z π
π⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
=
⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
.
图7
5.3指数函数与对数函数的应用
由于指数函数z w e =所构成的变换将水平的带型区域共形映射成角形区域，而指数函数的反函数对数函数ln z w =则相反地把角形区域共形映射成带型区域，所以经常利用这两种函数就将这两种类型的区域进行转换，下面的例子就是运用到了指数函数的映射的特性.
例4 求一个变换将带形区域()
0Im z π<<映射成单位圆1w <.
解 由前面的结论可知，变换=z e ζ将题目所给的带形区域映射成ζ平面的上半平面
0Im ζ>，又根据上面例2可知：变换i
w i
ζζ-=
+将上半平面映射成单位圆1w <，故所求的变换为
z z
e i
w e i
-=+. 共形映射除了在数学本身的应用外，还可应用到物理等领域中，下面我们就应用共形
映射技巧来解决调和函数22220x y
ϕϕ
∂∂+=∂∂（4）中的一些物理问题.
5.4共形映射在其它领域的应用
在电学上，经常用到（4）式，在静电学中(,y)x ϕ可以理解为点()
x y ,处的电势和电压，而它的偏导数x ϕ∂∂，y ϕ∂∂用作电场强度的表示.特别地，我们就可以确定区域边界上的电势或者电场强度的法向量，以及计算区域内部（或外部）的电势值.由方程ϕ=常数定义的曲线称为等势线.关于（4）式的解的更详细的物理解释，可查阅最后的参考文献.
例5 如图8（a ）所示的阴影部分（透镜形状区域）上求一个调和函数，且它在边界圆弧上的取值分别为0和1. 这里的ϕ可以解释为：一个无限长带型材料内的稳定温度，它的截面就是一个透镜区域，且在边界上保持稳定的温度.
解 由于该区域是由圆弧所围成的一个有界区域，所以自然地，我们会想到利用分式线性变换，如果取1z i =+为该分式线性变换的极点，则两圆周都变成了两条相互正交的直线，这是因为共形性保证了0z =的角不变.因此可以考虑函数
()()
ƒ1z
w z z i ==
-+，
（5）
它把0z =映射到0w =，1z i =+映射到w =∞.为确定透镜的像，我们注意到()ƒ21i =+，
()ƒ21i i =-，因此透镜被映射为图8(b)所示的阴影部分的角形区域，边界为射线Arg w
=
34π（圆弧在1ϕ=处的像）和3Arg 4
w π
=-（圆弧在0ϕ=处的像）.因此我们可以得到w 平面上所对应的调和函数为()2
5
arg 2
w w ψπ
=-+
，而其中arg w 取0arg 2w π<<的这个分支，由（2）式得
()()25,arg 41z
x y z i πϕπ⎛⎫=- ⎪ ⎪-+⎝
⎭. 上式可以表示为()()()1
24,tan 411πϕπ-⎛⎫-=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭
x y x y x x y y ，这里1tan 22ππθ--<<.
图8
6.结束语
通过本文对共形映射的讨论，我们可以总结得出：在导数不为零的所有点处，解析变换是共形的；要想确定一个区域映射后的像，我们就可以利用共形映射的性质，通过该区域边界的像来确定.分式线性变换可以理解为平移，伸缩，旋转和反演变换的复合函数，是一类很重要的变换，分式线性映射的许多性质，尤其是它的保对称性，应用它可以解决直线或圆为边界的区域上的问题.共形映射的性质不仅可以解决数学本身的问题，而且还可以解决电学，流体力学等实际问题.
共形映射的性质及其应用
参考文献
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