江西省2015年高考数学理科押题卷及标准答案

江西省2015年高考数学理科押题卷及标准答案
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泄露天机——2015年江西省高考押题 精粹
数学理科
本卷共60题，三种题型：选择题、填空题和解答题。

选择题36小题，填空题8小题，解答题18小题。

一、选择题（36个小题）
1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为（ ）
A ．M N I
B ．()I U M N ð
C ．()U M N I ð
D ．()()U U
M N I 痧
答案：B
解析：有元素1，2的是,U M N ð，分析选项则只有B 符合。

2. 集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．11
D ．12 答案：C
解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C 。

3. 设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}
2
20B x x x =->，则A B ⋂=（ ）
A ．{}3
B ．{}2,3
C ．{}1,3-
D ．{}0,1,2 答案：C
解析：集合{}{
}
2
2020B x x x x x x =->=><或，{}1,3A B ⋂=-。

4. 若(1)z i i +=（其中i 为虚数单位），则||z 等于（ ）
A ．1 B. 32 C. 2
2
D. 12
答案：C 解析：化简得i z 2121+=，则||z =2
2
，故选C 。

5. 若复数
i
i
a 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A. 6-
B. 2-
C. 4
D. 6
答案： A 解析：3(3)(12)63212(12)(12)55a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-，所以6320,0,655
a a
a +-=≠∴=-。

6. 复数
21
i
i -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案：D
解析：根据复数的运算可知()()22121215521i i i i i i +==---，所以复数的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
，所以正确选项为D 。

7. 已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+u r r
，若()()
m n m n +⊥-u r r u r r ,则=λ（ ）
A. 4- B ．3- C ．2- D ．-1
答案：B
解析：(23,3),(1,1)m n m n λ+=+-=--u r r u r r
，
()()
()(),23130,3λλ+⊥-∴+⨯--=∴=-u r r u r r
Q m n m n 。

8. 已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一个点P ，满足
PA PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，则||
||
PD AD u u u r
u u u r 的值为（ ） D
A
B
C
P
A ．
1
2
B ．13
C ．1
D ．2
答案：C
解析：如图，四边形PBAC 是平行四边形，D 为边BC 的中点，所以D 为边PA 的中点，||||
PD AD u u u u r
u u u r 的值为1。

9．ΔABC 中，120BAC ∠=o ，AB=2，AC=1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则•
的取值范围是（ ）
A ． [1，2]
B ．[0，1]
C ．[0，2]
D ． [﹣5，2]
答案：D
解析：∵D 是边BC 上的一点（包括端点），
∴可设
(1)(01)λλλ=+-≤≤u u u r u u u r u u u r AD AB AC 120∠=o
Q BAC ,2=AB ,1=AC ,211201∴=⨯⨯=-o u u u r u u u r
g AB AC COS 22
,(1)()(21)(1)(21)417 2.
01(72)52λλλλλλλλλλλ⎡⎤∴=+--⎣⎦=--+-=---+-=-+≤≤⎡⎤∴-+∈-⎣⎦
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g g u u u r u u u r u u u r u u u r g Q AD BC AB AC AC AB AB AC AB AC
∴u u u r u u u r
g AD BC 的取值范围是,52⎡⎤-⎣⎦。

10．已知命题p ：x R ∃∈，20x ->，命题q ：x R ∀∈，x x <，则下列说法中正确的是（ ）
A ．命题p q ∨是假命题
B ．命题p q ∧是真命题
C ．命题()p q ∧⌝是真命题
D ．命题()p q ∨⌝是假命题 答案：C
解析：命题p 为真命题.对命题q ，当14x =
时，11
24
x x =>=，故为假命题，q ⌝为真命题.所以C 正确。

11．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ ）
A ．x R ∃∈，2210x x -+≥
B ．x R ∃∈，2210x x -+>
C ．x R ∀∈，2210x x -+≥
D ．x R ∀∈，2210x x -+< 答案：C
解析：命题“x R ∃∈，2
210x x -+<” 是特称命题，则它的否定是全称命题，即
x R ∀∈2210x x -+≥。

12．命题p :关于x 的方程20()-+=∈x x x m m R 有三个实数根；命题q ：01≤<m ；则命题p 成立时命题q 成立的（ ）
A
．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：B
解析：由方程(2),0
20(2)(2),0-≥⎧-+=⇒=-=⎨
+<⎩
x x x x x x m m x x x x x ，易知函数()f x 是R 上
的奇函数，由()f x 的图像可知，函数()f x 在[)0,+∞上的最大值是1，根据图像的对称性知函数()f x 在(),0-∞上的最小值为-1，又函数()f x 的图像与x 轴有3个交点，那么原方程有3个实数根的充要条件是()1,1-，而[)()0,11,1⊆-/，所以选择B 。

13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．30
B ．12
C ．24
D ．4
答案：C
解析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，
如图111
345(34)324232
V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C 。

14.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形边长均为2，则该几何体的体积为（ ）
A ．
38 B ．82π- C ．43
π D ．2
83π- 答案：D
4
3 2
3
3
正视图
侧视图
俯视图
3
2 4 3
解析：由三视图可知此几何体是：棱长为 2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，
其体积为3
2
1221283
3
π
π-⨯⨯⨯=-，故选 D 。

15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．
43 B ．52 C ．73 D ．53
答案：A
解析：该几何体是下面是一个三棱柱，上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。

其体
积为11141211212323⎛⎫⎛⎫
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

16．已知0a >,,x y 满足约束条件1
3(3)x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,若2z x y =+的最小值为1,则a =
（ ）
A ．
14 B ．
12
C ．1
D ．2
答案：B
解析：依题意可以画出不等式表示的图形，当过点()1,2a -时取最小值，即2-2a =1，a =1
2。

17．已知110220x x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若ax y +的最小值是2，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案：B
解析：由已知得线性可行域如图所示，则z ax y
=+的最小值为2，若2
a>-，则(1,0)为最小
值最优解，∴2
a=，若2
a≤-，则(3,4)为最小值最优解，不合题意，故选B。

18.已知不等式组
240,
30,
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
x y
x y
y
构成平面区域Ω(其中x,y是变量)。

若目标函数6(0)
z ax y a
=+>的最小值为-6，则实数a的值为（）
A．
3
2
B．6 C．3 D．
1
2
答案：C
解析：不等式组
240,
30,
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
x y
x y
y
表示的平面区域如图阴影部分所示，因为0
a>，故0
6
a
-<。

可知6
z ax y
=+在C点处取得最小值，联立
240,
x y
y
-+=
⎧
⎨
=
⎩
解得
2,
0,
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
即(2,0)
C-，故6260
a
-=-+⨯，解得3
a=。

19. 如图给出的是计算
1111
2462014
++++
L的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）
A ．2013≤i ?
B ．2015≤i ?
C ．2017≤i ?
D ．2019≤i ? 答案：B
解析：由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择
B 。

20.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A. 14 B. 15
C. 16
D. 17
答案：C
解析：由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出 16n =. 故选C 。

21. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为（ ） A.232 B.211 C. 210 D. 191
开始
0,1
S n ==输出n 结束
3?
S <-2
1
log 2
n S S n +=++否是
1
n n =+
答案：B
解析：第一次运行时，1,2S i ==；第二次运行时，11,3S i =+=；
第三次运行时，112,4S i =++=；第四次运行时，1123,5S i =+++=； 第五次运行时，11234,6S i =++++=；…，以此类推，
直到112341920,22S i =+++++++=…，程序才刚好不满足i n <，故输出()20
11202112
S =+
⨯+=.故选B 。

22. 已知x 、y 取值如下表：
x 0 1 4 5 6 y
1.3
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1y x =+，则m 的值（精确到0.1）
为（ ） A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
答案：C
解析：将 3.2x =代入回归方程为ˆ1y
x =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C 。

23. 如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ） A.85，84
B.84，85
C.86，84
D.84，86
7 8 99
4 4 6 4 7 3
答案：A
解析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，平均数为
8484868487
855
++++=，众数为84. 故选A 。

24. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些
同学的支出都在[)
10,50（单位：元），其中支出在[)
30,50（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）
A．100 B．120 C．130 D．390
答案：A
解析：支出在[)
30,50的同学的频率为1(0.010.023)100.67
-+⨯=，
67
100
0.67
n==。

25. 若
3
sin()
5
πα
+=，α是第三象限的角，则
sin cos
22
sin cos
22
παπα
παπα
++
-
=
--
-
（）
A．
1
2
B．
1
2
- C．2 D．2-
答案：B
解析：由题意
3
sin
5
α=-，因为α是第三象限的角，所以
4
cos
5
α=-，
因此
2
22
sin cos cos sin(cos sin)1sin1
222222
cos2
sin cos cos sin cos sin
222222
παπααααα
α
παπαααααα
++
-+++
====-
--
---。

26. 在ABC
∆中，若()()()
sin12cos sin
A B B C A C
-=+++∆
，则ABC的形状一定是（）
A.等边三角形
B.不含60o的等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
答案：D
解析：∵sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A-B）=1-2cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，
∴sin（A+B）=1，∴A+B=90°，∴△ABC是直角三角形。

27. 已知0
ω>，函数()sin()
6
f x x
π
ω
=+在(,)
2
π
π上单调递减，则ω的取值范围是（）
A ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
答案：A
解析：结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果．取43ω=
，4()sin()36
f x x π
=+，其减区间为33[
,]242k k ππππ++()k Z ∈，显然(,)2ππ⊆33[,]242
k k πππ
π++()k Z ∈，排除
,B C ；取32ω=
，3()sin()26f x x π=+，其减区间为4248[,]3939
k k ππππ
++()k Z ∈，显然(,)2ππ⊄4248[,]3939
k k ππππ
++()k Z ∈，排除D ．选A 。

28. 函数()cos 3f x x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
(,0)x R ω∈>的最小正周期为π，
为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象（ ） A ．向左平移2π
个单位长度 B ．向右平移
2π
个单位长度
C ．向左平移4
π
个单位长度
D ．向右平移4
π
个单位长度
答案：C
解析：因为函数()cos 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，所以22π
ωπ
=
=，则
()cos 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭()sin 2cos 2cos 233243g x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，则用4x π+换x 即
可得到()f x 的图像，所以向左平移4
π
个单位长度，则选C 。

29. 在ABC ∆中，0
60,10,A BC ==D 是AB 边上的一点，2CD =
，BCD ∆的面积
为1，则AC 的长为（ ）
A ．23
B ．3
C ．33
D ．233
答案：D
解析：因为BCD S ∆=1，可得
1
sin 12
CD BC DCB ⨯⨯⨯∠=，即5sin 5DCB ∠=，所以25
cos 5
DCB ∠=
.在BCD ∆中，由余弦定理22225
cos 25
CD BC BD DCB CD BC +-∠==g ，解得2BD =，所以
cos DBC ∠=
222310
210
BD BC CD BD BC +-=g ，所以10sin 10DBC ∠=， 在ABC ∆中，由正弦定理可知sin sin BC AC
A B =
，可得sin 23sin 3BC B AC A ==g 。

30. 已知函数2
()sin cos 3cos (0,0)f x a x x x a ωωωω=+>>的最小正周期为
2
π
，最小值为3
2
-
，将函数()f x 的图像向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为8
x π
=，则ϕ的值不可能为（ ）
A ．
524π B ．1324π C ．1724π D ．2324
π 答案：B
解析：2
33
()sin cos 3cos sin 2cos 2222
a f x a x x x x x ωωωωω=+=
++，依题意，23334422
a -++=-
，所以2312a +=，因为0a >，解得3a =，故
3333133()sin 2cos 23(sin 2cos 2)3sin(2)22222262
f x x x x x x πωωωωω=++=++=++
g g ，故
222ππ
ω=，所以24ω=，即3()3sin(4)62
f x x π=++。

将函数()f x 的图片向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后得到3
()3sin(44)62
g x x π
ϕ=+++
，因为函数()g x 的一条对称轴为8x π
=。

故44()862k k Z πππϕπ++=+∈g ，解得()244
ππϕ=-+∈k k Z ，观察可知，选B 。

31. 已知双曲线22
22
11x y a a -
=-(0)a >的离心率为2，则a 的值为（ ） A.
12
B.
22
C.
13
D.
33
答案：B
解析：依题意01a <<，1c =，
∴
122,2
=∴=a a 。

32. 如图过拋物线22(0)=>y px p 的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为（ ）
A ．=
2y x 23
B =2y x 9
C ．=2
y x 2
9
D ．=2
y x 3
答案：D
解析：如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，
设|BF|=a ，则由已知得：|BC|=2a ， 由定义得：|BD|=a ，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE 中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a ， ∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，
∵BD ∥FG ，∴
123p =,求得p=32
， 因此抛物线方程为y 2
=3x 。

33. 椭圆M: 22
221(0)x y a b a b
+=>>左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点且
1PF 2PF 最大值取值范围是22
2,3c c ⎡⎤⎣⎦
，其中22c a b =-，则椭圆离心率e 取值范围为 （ ） A.2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B.32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
D.11,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ 答案：B
解析：由椭圆定义知122+=PF PF a ，
122
212(
),2
+≤=g PF PF PF PF a 12∴g PF PF 的最大值为2a 而1PF 2PF 最大值取值范围是222,3c c ⎡⎤⎣⎦，所以222
23c a c ≤≤
于是得到2211
32
c a ≤≤，
故椭圆的离心率的取值范围是
32
,
32
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，选B。

34. 已知函数()2
ln x
f x x
x
=-，则函数()
y f x
=的大致图像为（）
答案：A
解析：由函数的奇偶性可知函数为非奇非偶函数，所以排除B,C,再令
()2
2
1
ln
111
,0
1
e
x f x e
e e e
e
-
⎛⎫
=-=--=-<
⎪
⎝⎭-
，说明当x为负值时，有小于零的函数值，所以排除D。

35. 已知函数5
2
log(1)(1)
()
(2)2(1)
x x
f x
x x
⎧-<
=⎨
--+≥
⎩
，则关于x的方程
1
(2)
f x a
x
+-=的实根
个数不可能
．．．为（）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案：A
解析：因为()1
=
f x时，x=1或x=3或x=
4
5
或x=-4，则当a=1时
14
2
5
x
x
+-=或1或3或－4,又因为
11
202-4
x x
x x
+-≥+-≤
或,则当
1
2=-4
x
x
+-时只有一个
x=－2与之对应其它情况都有两个x值与之对应，所以此时所求方程有7个根，当
1＜a＜2时因为函数()
f x与y=a有4个交点，每个交点对应两个x，则此时所求方
程有8个解，当a=2时函数()
f x与y=a有3个交点，每个交点对应两个x，则此时
所求方程有6个解，所以B,C,D都有可能，则选A。

36. 设定义在D上的函数)
(x
h
y=在点))
(
,
(
x
h
x
P处的切线方程为)
(
:x
g
y
l=，当0x
x≠时，若0
)
(
)
(
>
-
-
x
x
x
g
x
h
在D内恒成立，则称P为函数)
(x
h
y=的“类对称点”，则
x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是（ ）
A ．1
B ．2
C ．e
D ．3 答案：B
解析：由于4()26f x x x '=+
-，则在点P 处切线的斜率=切k 642)(0
00/-+=x x x f . 所以切线方程为()2
0000004()2664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭
200004
264ln 4
x x x x x ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭
()()()()()22
000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛
⎫=-=-+-+
----+ ⎪⎝
⎭
， 则0()0x ϕ=，)2
)((2)21)((2)642(642)('0
00000x x x x x x x x x x x x x x --=--=-+--+
=ϕ. 当02x <
时，()x ϕ在002,x x ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，所以当00
2,x x x
⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，
0()()0.x x ϕϕ<= 从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭
时，0)(0
<-x x x ϕ； 当02x >
时，()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
时，0()()0.x x ϕϕ>= 从而有00
2,x x x
⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，()0
0x x x ϕ<-； 所以在(0,2)(2,)+∞U 上不存在“类对称点”. 当02x =时，
()
22
()2x x x ϕ'=
-，所以()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，故0
()0.x x x ϕ>- 所以2x =
是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出
2
4
()20f x x ''=-
=，则2=x 。

二、填空题（12个小题）
37. 二项式10
21x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项是________.
答案：45
解析：1055102222110
10101()()(1)(1)r r
r r r r r r r r
r T C x C x x C x x
----+=-=-=-，则
55022
r r -=⇒=，故常数项为2
210
(1)45C -=。

38. 有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种. 答案：36
解析：先从4名优秀学生A ，B ，C ，D 中选出2名保送到甲，乙，丙3所学校中的某一
所，有21
43C C 18=种方案；然后将剩余的2名优秀学生保送到剩余的2所学校，有
22A 2=种方案；故不同的保送方案共有18236⨯=种。

39.设22
2cos 4a x dx π
ππ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式61()-a x x 展开式中含2
x 项的系数是_____
答案：-192
解析：由于2
22
2
2cos (cos sin )sin cos 24π
π
π
ππ-
-⎛
⎫=+=-=+= ⎪⎝⎭⎰
⎰a x dx x x dx x x
则61
(2)-x x
含2
x 项的系数为192)1(25
16-=-C 。

40. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2
y x
=图象下方的点构成的区域.在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为 。

答案：
1
3
解析：由几何概型得，该点落在E 中的概率为32
2200
82|22d 1334416163
x x x P ⨯===
=⨯⎰。

41． 随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的
概率是 。

答案：24
1π
-
解析：分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即241462
1121
12
ππ-=⨯⨯⨯⨯-=P 。

42. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数 字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若{},,1234a b c ∈，，，，且a ， b ，c 互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是_________。

答案：
1
2
解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；
同理由1，2，4组成的三位自然数共6个； 由1，3，4组成的三位自然数也是6个； 由2，3，4组成的三位自然数也是6个． 所以共有6＋6＋6＋6＝24个．
由1，2，3组成的三位自然数，共6个”有缘数”． 由1，3，4组成的三位自然数，共6个”有缘数”．
所以三位数为”有缘数”的概率121242
P ==。

43. A B C D 、、、是同一球面上的四个点,其中ABC ∆是正三角形, AD ⊥平面ABC ，
AD=4,AB=23,则该球的表面积为_________。

答案：32π
解析：由题意画出几何体的图形如图，
把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，AD=4，AB=23，△ABC 是正三角形，所以AE=2，AO=22。

所求球的表面积为：4π（22）2
=32π。

44. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为42
3
，则该半球的体积为 。

答案：
42
3
π 解析：设所给半球的半径为R ，则棱锥的高R h =，底面正方形
中有R DA CD BC AB 2=
===，所以其体积3
24323=R ，则3
22R =，
于是所求半球的体积为ππ3
2
4323==R V 。

45. 已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，且中心为O ，1AB BO ==，
2PA PB PC PD ====，则该四棱锥的外接球的体积为 。

答案：
77
6
π 解析：因为1BO =，故2BD =，故223PO PB BO =
-=；同理，3BC =；将四棱
锥P ABCD -补成一个长方体，可知该长方体的长宽高分别为3,1,3，故所求外接球的
半径313722
r ++==，其体积3
47736V R ππ==。

46． 已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足52
352
S S -=，
则数列{}n a 的公差为 。

答案：2 解析：∵1(1)2
n n n S na d -=+，∴112n S n a d n -=+，∴521151213
()()52222S S a d a d d ---=+-+=，
又52
352
S S -=，∴2d =。

47.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，13()n n n a a n N ++= ∈，则
2014S = 。

答案：2×3
1007
﹣2
解析：由a n a n+1=3n
，得()1132--=≥n n n a a n ， ∴
1
1
3(2)+-=≥n n a n a ， 则数列{a n }的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列， 又21
3
3==a a ． ∴10071007100720141(13)3(13)2321313
⨯-⨯-=+=⨯---S 。

48. 已知数列{}n a 的前n 项和122+=-n n n S a ，若不等式223(5)n n n a λ--<-对n N +∀∈恒成
立，则整数λ的最大值为 。

答案：4
解析：当1n =时，21122=-S a 得14a =，122+=-n n n S a ；
当2n ≥时，122-=-n n n S a ，两式相减得1222-=--n n n n a a a ，得122-=+n n n a a ， 所以1
1
122n n n n a a ---=。

又
1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以2为首项，1为公差的等差数列，12n n a n =+，即(1)2n n a n =+•。

因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于23
52n
n λ-->。

记232-=n n n b ，2n ≥时，112121
223462n n n
n
n b n n b n ++--==
--。

所以3n ≥时，
1max 33
1,()8
n n n b b b b +<==。

所以33
37
5,58
88
λλ-><-=
，所以整数λ的最大值为4。

三、解答题（18个小题）
49. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
． （I ）求
sin sin C A 的值； （II ）若1
cos 4
B =，2b =，求AB
C ∆的面积S 。

解：（Ⅰ）由正弦定理，得22sin sin sin c a C A
b B
--= 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B
--=
即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简得sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =因此sin 2sin C
A
= （Ⅱ）由
sin 2sin C
A
=的2c a = 由2
2
2
2cos b a c ac B =+-及1
cos ,24
B b == 得2
2
2
1
4444
a a a =+-⨯
，解得1a =，因此2c = 又0B π<<所以15sin 4
B =
，因此115sin 24s ac B ==
50. 在△ABC 中，a,b,c 是其三个内角A,B,C 的对边，且,sin 23cos 22sin 2a b A A B ≥+=. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）设3c =
，求△ABC 的面积S 的最大值。

解：（Ⅰ）∵sin 23cos 22sin 2,+=A A B
13
2(sin 2cos 2)2sin 2,22
∴+=A A B
2sin(2)2sin 2,sin(2)sin 233ππ
∴+=∴+=A B A B
223
π
∴+
=A B ，或223
π
π+
=-A B ，
由≥a b ，知≥A B ，所以223
π
+=A B 不可能成立，所以223
π
π+
=-A B ，
即3
π
+=
A B ，
所以23
3
π
ππ=-
=
C （Ⅱ）由（Ⅰ），23
π
=
C ，所以3sin 2=C ，
13
sin 24
=
⋅⋅=S a b C ab 22222222213cos 3321
222+-+-=⇒-=⇒-=+-⇒-=+≥⇒≤a b c a b C ab a b ab a b ab ab ab ab
即△ABC 的面积S 的最大值为
3
4
51. 已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221
n n n S a S =
-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是等差数列；
(Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113
...232n S S S S n ++++<. 解：（Ⅰ）当2n ≥时，2
1221
n
n n n S S S S --=-，
11
2n n n n S S S S ---=，1
112n n S S --=，
从而
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
S
1
构成以1为首项，2为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（1）可知，
1
11
(1)221
n
n n
S S
=+-⨯=-，
1
21
n
S
n
∴=
-
.
当2
n≥时，
11111111
()
(21)(22)2(1)21
n
S
n n n n n n n n n
=<=⋅=-
----
.
从而123
111111111313
...1(1)
2322231222
n
S S S S
n n n n
++++<+-+-++-<-<
-
L。

52. 第117届中国进出品商品交易会（简称2015年春季广交会）将于2015年4月15日在广州举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”。

（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）。

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

解：（1）根据茎叶图可得：
男志愿者的平均身高为
159169170175176182187191
176.1()
8
+++++++
≈cm 女志愿者身高的中位数为
168169
168.5()
2
+
=cm
（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高
个子”有5人，女志愿者的“高个子”有3人
ξ的可能值为0,1,2,3，
故321
553
33
88
1030
(0),(1),
5656
ξξ
======
C C C
P P
C C
123
533
33
88
151
(2),(3),
5656
ξξ
======
C C C
P P
C C
即ξ的分布列为：
ξ0 1 2 3
P
10
56
30
56
15
56
1
56
所以ξ的数学期望10301519
0123
565656568
ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
E
53. 某学校从参加2015年迎新百科知识竞赛的同学中，选取40名同学，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题。

（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）设分数在(70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，
则有(0.010.01520.0250.005)101
+⨯++⨯+=
x，
可得0.3
=
x，所以频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）平均分：
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
x
（Ⅲ）学生成绩在[)
40,70的有0.46024
⨯=人，
在[]
70,100的有0.66036
⨯=人，并且X的可能取值是0，1，2。

2
24
2
60
46
(0)
295
===
C
P X
C
，
11
2436
2
60
144
(1)
295
===
C C
P X
C
；
23626010521
(2)29559====
C P X C 。

所以X 的分布列为
所以
4614421354
01229529559295
=⨯
+⨯+⨯=
EX 。

54. 某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表： 支持 不支持 合计 中型企业 80 40 120 小型企业 240 200 440 合计
320
240
560
（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？
（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。

记X 表示所发奖励的钱数，求X 的分布列和数学期望：
附：
2
2
()()()()()-=
++++n ad bc K a b c d a c b d 20()≥P K k
0.050 0.025 0.010 0k
3.841
5.024
6.635
解：（Ⅰ）K 2
＝560(80×200－40×240)
2
120×440×320×240
≈5.657，因为5.657＞5.024，
所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3， 按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．
设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m 家和n 家，则（m ，n ）可能为 （0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，
X 的可能取值为90，130，170，210．
P (X ＝90)＝C 30C 99C 129＝1220， P (X ＝130)＝C 31C 98C 129＝27
220，
P (X ＝170)＝C 32C 97C 129＝108220， P (X ＝210)＝C 33C 96C 129＝84
220
，
X 0 1 2 P
46295 144295 2159
分布列如下：
X 90 130 170 210
P
1220 27220 108220 84220
期望E （X ）＝90×1220＋130×27220＋170×108220＋210×84
220
＝180。

55.如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是ABC ∠=60︒的菱形,M 为棱PC 上的动点,且
PM
PC
λ=([]0,1λ∈)。

(Ⅰ) 求证:BC PC ⊥；(Ⅱ) 试确定λ的值,使得二面角
P AD M --的平面角余弦值为
25
5。

解： (Ⅰ)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O =I ,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC ,
所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以AD PC ⊥, 因为//BC AD ,所以BC PC ⊥。

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD I 平面ABCD AD =,
PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD . 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则 (
)0,0,3P ,()0,1,0A -,()0,1,0D ,()
3,0,0C , (
)
3,0,3PC =-u u u r
由(
)
3,0,3PM PC λλ==-u u u u r u u u r 可得点M 的坐标为(
)
3,0,33λλ-,
所以(
)
3,1,33AM λλ=-u u u u r ,(
)
3,1,33DM λλ=--u u u u r ,
设平面MAD 的法向量为(),,x y z =n ,则00AM DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r n n ,即()(
)33303330
x y z x y z λλλλ⎧++-=⎪⎨-+
-
=⎪⎩
解得10
x z y λλ-⎧=⎪⎨⎪=⎩,令z λ=,得()1,0,λλ=-n ,
显然平面PAD 的一个法向量为()
3,0,0OC =u u u r
,
依题意()()223125cos ,513
OC OC OC λλλ-⋅==
=+-⋅u u u r
u u u r u u u r n n n ,解得1
3λ=或1λ=-(舍去),
所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为25
5
.
P A
B
C D M O
x y
z
56. 如图，直三棱柱ABC －A1B1C1中，AC＝BC＝
2
1
AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．
（I）证明：DC1⊥BC；
（II）求二面角A1－BD－C1的大小．
解：（I）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
由于D为AA1的中点，故DC＝DC1．
又
1
2
1
AA
AC=，可得DC12+DC2＝CC12，
所以DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD．
BC⊂平面BCD，故DC1⊥BC．
（II）由（I）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，
则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，CA
uu u r
的方向为x轴的正方向，CA
u u u r
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz．由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．
则
1
(0,0,1)
A D=-
u u u u r
，(1,1,1)
BD=-
u u u r
，1(1,0,1)
DC=-
u u u r
,
设(,,)
=
n x y z是平面A1B1BD的法向量，
则
1
n BD
n A D
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u r
u u u u r，即
⎩
⎨
⎧
=
=
+
-
z
z
y
x
,可取n＝(1,1,0)．
同理，设m是平面C1BD的法向量，
1
m BD
m DC
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u r
u u u u r可取m＝(1，2，1).
3
cos
2
<>==
g
n m
n,m
n m
.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°
57. 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
x
y
z
（I ）求证：BN ⊥平面11C B N ；
（II ）设θ为直线1C N 与平面1C NB 所成的角，求sin θ的值； （Ⅲ）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求C
BP
P 的值． 解：（I ）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，
俯视图为直角梯形，∴1,,BB BC BA 两两垂直。

且4,8,4,41====AN BB BA BC ,
以BA ，BB 1 ，BC 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，如图
则N （4,4,0），B 1（0, 8,0），C 1（0,8,4），C （0,0,4）
∵1BN NB ⋅u u u r u u u u r
=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0
11C B BN ⋅=（4,4,0）·（0,0,4）=0
∴BN ⊥NB 1，BN ⊥B 1C 1且NB 1与B 1C 1相交于B 1， ∴BN ⊥平面C 1B 1N ；
（II ）设),,(2z y x n =为平面1NCB 的一个法向量，
则2210
(,,)(4,4,4)0(,,)(4,4,0)00n CN x y z x y z n NB ⎧⋅=⋅-=⎧⎪⇒⎨⎨
⋅-=⋅=⎩
⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r 210,(1,1,2),(4,4,4)0
x y z n C N x y +-=⎧⇒==--⎨-+=⎩u
u r u u u u r 取 则(4,4,4)(1,1,2)2
sin |
|;3161616114
θ--⋅==++⋅++
（Ⅲ）∵M （2,0,0）．设P (0,0,a )为BC 上一点,
则),0,2(a MP -=, ∵MP//平面CNB 1,
∴ .1022)2,1,1(),0,2(22=⇒=+-=⋅-=⋅⇒⊥a a a n MP n MP
x
y
z
又11//,CNB MP CNB PM 平面平面∴⊄, ∴当PB =1时MP //平面CNB 1 1
3
BP PC ∴=
58. 椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1
2
，其左焦点到点(2,1)P 的距离为10．
(I)求椭圆C 的标准方程；
(II) 若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点(A B 、不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解：（I ）由题：1
2
c e a =
= ① 左焦点 (－c ,0) 到点 P (2,1) 的距离为：
d = (2 + c ) 2 + 1 2 =10 ②
由①②可解得c = 1， a = 2 ， b 2
= a 2
－c 2
= 3。

∴所求椭圆 C 的方程为
x 2
4
+
y 2
3
= 1 。

（II ）设 A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，将 y = kx + m 代入椭圆方程得
(4k 2
+ 3) x 2
+ 8kmx + 4m 2
－12 = 0。

∴x 1 + x 2 = －8km 4k 2 + 3 ，x 1x 2 = 4m 2
－12
4k 2 + 3
，且y 1 = kx 1 + m ，
y 2 = kx 2 + m 。

∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A 2(2,0) ， 所以 A 2A → •A 2B →
= 0。

所以 (x 1－2,y 1)·(x 2－2,y 2) = (x 1－2) (x 2－2) + y 1y 2 = (x 1－2) (x 2－2) + (kx 1 + m ) (kx 2 + m )
= (k 2
+ 1) x 1x 2 + (km －2) (x 1 + x 2) + m 2
+ 4
= (k 2
+ 1)·4m 2
－124k 2 + 3 －(km －2)·8km 4k 2 + 3
+ m 2
+ 4 = 0 。

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2
= 0．∴m = －27 k 或 m = －2k 都满足 △ > 0。

若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx －2k = k (x －2) ，恒过定点 A 2(2,0)，不合题意舍去；
若 m = －27 k 时，直线 l 为 y = kx －27 k = k (x －27 )， 恒过定点 (2
7
,0) 。

F 2 O x
y P A B
F 1 A 2 l
O x
y P
A B
F 1 F 2 A 2 l
59.
已知椭圆 22
122:1(0)+=>>x y C a b a b 的两个焦点1F ,2F ,动点P 在椭圆上，且使得
1290∠=o F PF 的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为22+。

(I)求椭圆1C 的方程；
（II ）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线22=-x 上的动点T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A,B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C,D ，求
AB
CD
的取值范围。

解：(I)由使得1290∠=o
F PF 的点P 恰有两个可得,2==
b c a c ；动点P 到焦点1F 的距离
的最大值为22+
，可得22+=+a c ，即2,2==a c ，所以椭圆1C 的方程是
22
142
+=x y （II ）圆2C 的方程为22
4+=x y ，设直线22=-x 上动点T 的坐标为(22,)t 设
11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AT 的方程为114+=x x y y ，直线BT 的方程为
224+=x x y y ，又(22,)T t 在直线AT 和BT 上，即1122224
224
⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩x ty x ty ，故直线AB
的方程为224-+=x ty
由原点O 到直线AB 的距离24
8=+d t
得，22
2
24
248+=-=+t AB r d t
联立22224
142
⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩x ty x y ，消去x 得22
(16)8160+--=t y yt ，设33(,)C x y ,44(,)D x y 。

则343422816,1616-+==++t y y y y t t ， 从而22122
4(8)
18(16)+=+-=+t t CD y y t 所以22224(16)8(8)
++=
++AB t t CD t t ，设2
8(8)+=≥t m m ， 则3233
12256122561+-==+-AB m m CD m m m
，又设11(0)8=<≤y y m ， 所以
3112256=+-AB
y y CD
，设3()112256=+-f y y y ， 所以由'
2
()127680=-=f y y 得：18=
y ，所以2
()112256=+-f y y y 在10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增即
(
1,2⎤∈⎦AB
CD
60. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2。

（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）如图所示，直线1l 与抛物线Γ相交于A ,B 两点，C 为抛物线Γ上异于A ,B 的一点，且⊥AC x 轴，过B 作AC 的垂线，垂足为M ,过C 作直线2l 交直线BM 于点N ,设21,l l 的斜率分别为21,k k ，且121=k k 。

① 线段MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; ② 求证:N C B A ,,,四点共圆.
解: （Ⅰ）2=p
（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A ,则()()2111,,,y x M y x C -,直线1l 的方程为：b x k y +=1
由⎩⎨
⎧=+=x
y b
x k y 42
1消元整理可得：()0422
12
2
1=+-+b x bk x k
所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+212
212112124k b x x k bk x x 可求得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+12112144k b y y k y y 直线2l 的方程为：)(121x x k y y -=+ 所以可求得⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++21221,y x k
y y N 所以MN =
221k y y +=2
14
k k =4。

AB 的中点⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-121
12,2k k bk E ，则AB 的中垂线方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
---=-21111212k bk x k k y 与BC 的中垂线x 轴交点为：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-'0,2221121k bk k o 所以ABC ∆的外接圆的方程为： 2
2222112122
21121)22(22y x k bk k y k bk k x +-+-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-- 由上可知()21,4y x N +
2224222242
112121************=⨯+--++=+--++--+k bk k x x k bk k x k bk k x Θ
2
22221121222
211211)22(224y x k bk k y k bk k x +-+-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--+∴ 所以N C B A ,,,四点共圆.
61. 已知2
1()ln(1)2
f x ax x x =-
+-+,其中0a >. (Ⅰ)求()f x 的单调递减区间；
(Ⅱ)若()f x 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围. 解: (Ⅰ)函数2
1()ln(1)2
f x ax x x =-
+-+()0a >的定义域为()1,-+∞，
()211'()111ax a x f x ax x x --=-+-=-++11
a ax x a x -⎛
⎫- ⎪⎝⎭=-+
令()0f x '= 得1211
0,1a x x a a
-===-， ①当01a <<时,12x x < ,
()f x 与()f x '的变化情况如下表 x
(1,0)-
0 1
(0,1)a - 11a
- 1
(1,)a -+∞ ()f x ' -
+
-
()f x 减
(0)f
增
1
(1)f a
- 减
所以()f x 的单调递减区间是(1,0)-,1(1,)a
-+∞；
②当1a =时, 120x x ==，2
'()01
x f x x =-
≤+， 故()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞ ； ③当1a >时,210x -<< ，
()f x 与()f x '的变化情况如下表 x
1
(1,1)a --
11a
- 1
(1,0)a
- 0 (0,)+∞
()f x ' -
+
-
()f x
减
1
(1)f a - 增
(0)f 减
所以()f x 的单调递增减区间是1
(1,1)a
--,(0,)+∞ .
综上,当01a <<时,()f x 的单调递增减区间是(1,0)-,1
(1,)a
-+∞ ；
当1a >时,()f x 的单调递增减区间是1
(1,1)a
--,(0,)+∞ ；
当1a =时，()f x 的单调递增减区间是(1,)-+∞. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知
① 当01a <<时,()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a
-
但1(1)(0)0f f a
->=,所以01a <<不合题意； ② 当1a ≥时,()f x 在(0,)+∞上单调递减，
()(0)f x f ≤，可得()f x 在[0,)+∞上的最大值为(0)0f =,符合题意. ()f x ∴在[0,)+∞上的最大值为0时,a 的取值范围是{}1a a ≥。

62. 已知函数()1(0,x
f x e ax a e =-->为自然对数的底数） （I ）求函数()f x 的最小值；
（II ）若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （III ）在（II ）的条件下，证明：*111
11(1)()23n n n N n
+
+++>+∈K 解：(I)由题意0,()x
a f x e a '>=-, 由()0
x
f x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时,()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减,在(l n ,)a +∞单调递增 即()f x 在l n x a =处取得极小值,且为最小值, 其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.a
f a e a a a a a =--=-- (II)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立,即在x ∈R 上,m i n ()0f x ≥. 由(I),设()l n 1.
g a a aa =--,所以()0g a ≥.
由()1l n 1l n 0
g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减, ∴()g a 在1a =处取得最大值,而(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a =
(III)由（II ）得1+≥x e x
，即x x ≤+)1ln(，当且仅当0=x 时，等号成立，令
)(1*∈=
N k k x 则，)11ln(1k k +>即)1ln(1k
k
k +>，
所以),...,2,1(ln )1ln(1
n k k k k
=-+> 累加得))(1ln(1...31211*
∈+>++++N n n n
63. 已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++.
（Ⅰ）当1a
=-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）设函数()()2g x f x x =--，
①若函数()g x 有且仅有一个零点时，求a 的值； ②在①的条件下，若2
e
x e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围。

解：（Ⅰ）当1a =-时，2
2
()(2)ln 2f x x x x x =--+定义域()0,+∞，
()()()22ln 22f x x x x x '=-+-- (1)3f '∴=-，又(1)1f =
()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=
（Ⅱ）①令()()20g x f x x =--=，则()
222ln 22x x x ax x -++=+ 即1(2)ln x x
a
x
--⋅=
令1(2)ln ()x x h x x --⋅=
， 则22
2
1122ln 12ln ()x x x
h x x x x x ---'=--+= 令()12ln t x x x =--，22
()1x t x x x
--'=--
=， ()0t x '<Q ，()t x 在(0,)+∞上是减函数
又()()110t h '==Q ，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
()max (1)1h x h ∴==，所以当函数()g x 有且今有一个零点时，1a =
（Ⅱ）当1a =，()()
222ln g x x x x x x =-+-，若2
,(),e
x e g x m -<<≤只需证明
max (),g x m ≤()()()132ln g x x x '=-+。