15.2.1 分式乘除(第2课时)教学设计-人教八上优质课精品

15.2 分式的运算(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式乘除法法则的应用．
2．内容解析
本节课是分式的乘除的第2课时，是在学生已经能够进行简单的分式乘除的基础上学习的，计算的复杂程度有所提高．所谓“复杂”是指在分式的分子或分母中含有多项式，运算的基本思路是先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，并把每个因式看成一个整体，然后利用分式的乘除法法则和分式的基本性质进行运算，最后的结果需化成最简分式．解决实际问题的基本思路是先弄清题意，根据题意列出算式，再进行运算(比较)．培养学生将实际问题转化为数学问题的能力．
基于以上分析，本节课的教学重点是用分式的乘除法法则进行计算，并解决一些实际问题．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)能运用分式的乘除法法则进行复杂计算；
(2)能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：对于分子或分母中含有多项式的分式乘除法，学生能先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则和分式的基本性质进行运算，并把最后的结果化成最简分式．
达成目标(2)的标志是：学生能根据题意列出分式算式，并能根据分式的乘除法法则进行计算，从而使实际问题得以解决．逐步培养学生将实际问题转化为数学问题的模型思想，从而体会实际问题与数学问题间的联系．
三、教学问题诊断分析
尽管学生对分式的乘除法运算已经积累了一些经验，但是当分式的分子或分母出现多项式时，会感到无从下手，不知所措，或是运用了不恰当的约分方法，存在思维上及认识上的困难．学生在计算时，需首先分解因式．但是由于有的学生因式分解还不够准确，可能会导致进行分式的乘除运算时准确性欠佳．教学中，教师通过讲解示范并安排形式多样的练习，
帮助学生理解分式乘除法的实质是约分，而约分又必须在乘积的形式下进行，因式分解恰好是实现这一变形的手段．
学生在利用分式的乘除法解决实际问题过程中，会遇到的困难是弄不清题意、不能准确的列出算式或列不出算式．教学中，教师通过讲解示范，帮助学生理解解决实际问题的关键是理清已知与未知之间的联系，将实际问题转化成相应的数学问题．
本节课的教学难点：运用分式的乘除法解决实际问题．
四、教学过程设计
1．复习分式的运算
问题(1)约分：
24
2
x
xy y
－
＋
； (2)计算：①
2
3
1
x y
x y
⋅
⎛⎫
⎪
⎝⎭
－；②
2
510
321
b bc
ac a
÷
⎛⎫
⎪
⎝⎭
－．
师生活动：学生分析解题思路：(1)把分子与分母分别是多项式的分式进行约分，首先要因式分解，化成乘积的形式，再利用分式的基本性质约去分子与分母中的公因式．学生可能对因式分解的方法有遗忘或存在因式分解不准确的情况，教师要关注对因式分解的方法的复习．(2)分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则进行，如果原分式中含有符号，一定要先确定积或商的符号．教师要关注学生法则运用的准确性、计算方法的正确性．师生共同分析解题思路后，三名学生依次在黑板上板演，其他学生在练习本上做，教师巡视，及时指导．
设计意图：让学生通过计算，分别回忆因式分解的方法、分式乘除法法则及其算理，为本节课进行较复杂的分式乘除运算和解决实际问题奠定基础．
2．分式乘除法的计算
例2计算：
(1)
2
22
441
214
a a a
a a a
⋅
－＋－
－＋－
；(2)
22
11
497
m m m
÷
--
．
师生活动：学生第一次接触分子或分母含有多项式的分式进行乘除，教师可引导学生找出解题策略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则进行，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．学生会出现计算步骤书写不规
范的情况，教学中由教师板书(1)加以示范，规范解题格式；在此基础上，师生共同总结解决此类问题的步骤，由学生独立完成(2)．
设计意图：通过上节课学习的简单的分式乘除运算，学生可以体会出乘除运算的实质是约分，约分的前提是分子与分母必须都是乘积的形式，因此只要将分子或分母因式分解，就可以将其转化成乘积的形式，乘法运算即可进行．让学生经历发现问题——提出问题——思考问题——解决问题的全过程，通过建构新旧知识之间的联系，提升思维水平．练习
1.计算：(1)
2
22
1
x x x
x x
+
⋅
-
； (2)
22
2
4
32
x y xy
xy x y
⋅
－
＋
．
师生活动：两名学生板演，其他学生独立完成.教师巡视并关注学生的书写格式、解题的准确性，师生共同评价．
2.计算：
(1)
23
22
3325
10
a b a b
ab a b
⋅
－
－
； (2)
2
2
29
34
x x
x x
⋅
－－
＋－
； (3)
22
222
42
222
y x x y
x xy y x xy
÷
－－
＋＋＋
．
师生活动：学生独立完成，三名学生板演.教师巡视，对有困难的学生教师要给予关注，及时给予指导.解题过程可由师生共同评价．
设计意图：让学生再次感受当分式的分子或分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．体会到完整地解决问题后的喜悦.同时训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．
3．分式乘除法的应用
例3“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
师生活动：学生独立思考、分析题意，师生共同交流解题思路．如果学生有障碍，那么可以引导学生思考以下问题：你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？如何表示这两块试验
田的单位产量？怎样确定哪种小麦的单位产量高？你能列式表示(2)的问题吗？教师在共同分析的基础上，板书示范解题过程．
问题解决后师生反思解题步骤：先根据题意分别列出表示两个量的代数式，再根据题意列出相应的算式，最后加以解决.教师要关注以下几个方面：(1)因为这两个分式的分子相同，所以比较这两个分式的大小问题就可以转化为比较这两个分式的分母的大小问题；(2)学生对解题过程中的内容“0＜(a2－1)＜a2－1”不能准确地理解，教师可结合图形帮助学生加以讲解；(3)对于证明“0＜(a2－1)＜a2－1”成立，还可以通过下面的两种方法加以讲解：解法一：用作差法比较大小
解：(a2－1)－(a2－1)＝a2－2a＋1－a2＋1＝2(1－a)．
∵a＞1，
∴2(1－a)＜0．
∴0＜(a2－1)＜a2－1．
解法二：用作商法比较大小
解：
22
2
111
1111
a a a
a a a a
==
－－－
－＋－＋()()
()()
．
∵a＞1，
∴a－1＞0，a－1＞0．∵a－1＜a＋1，
∴
1
1
a
a
－
＋
＜1．
∴0＜(a2－1)＜a2－1．
设计意图：此题是分式的应用题，题意比较容易理解，式子也比较容易列出来.但如何比较两个分式的大小，难度较大，因此要引导学生通过观察，发现两个分式的特点是分子相同，可通过比较分母的大小来比较两个分式的大小；而两个分母是多项式，从形式上来看，可借助图形的面积来比较它们的大小.培养学生的观察能力，并体验图形的直观性和简洁性．4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答问题：
运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式的分式主要步骤是什么？
设计意图：引导学生总结分子或分母含有多项式的分式乘除法的主要步骤，明确算理，
明析书写格式，积累解决问题的经验，建立知识之间的广泛联系．
5. 布置作业
教材第144页第2题．
五、目标检测设计 1．计算： (1)
2
22
432a b ab ab
a b
⋅
－－； (2)
2
2
2
2
4
1
2144a a a a a a ⋅
－－－＋＋＋；
(3)
2
1
4
x x x x x ÷
－－＋； (4)2
6932
y y y y ÷－＋－＋()．
设计意图：检测学生对利用分式乘除法法则进行复杂计算的掌握情况．
2．上海到北京的航线全程为s km ，飞行时间需a h ；上海到北京铁路全长为航线长的m 倍，乘车时间需b h .飞机的速度是火车速度的多少倍？
设计意图：检测学生对利用分式的乘除法解决实际问题的情况．。