欣宜市实验学校二零二一学年度初中数学竞赛选拔赛试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度2021年初中
数学竞赛
2021年全国初中数学竞赛选拔赛试题
考生注意：题号后标有“初二〞者，为初二年级考生试题；题号后标有“初三〞者为初三年级考生试题；没
有特别标志的试题为公一共试题，两个年级考生都做。

初二年级考生不能做初三年级试题，初三年级考生不能做初二年级试题。

总分值是均为120分。

一、选择题〔本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分〕 1．假设n 满足(n －2021)2
+(2021－n)2
=1，那么(2021－n)(n －2021)等于 〔〕
A ．－1
B ．0
C ．
2
1 D ．1
2．如图1，∠CGE=120°，那么 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
〔〕
A ．150°
B ．210°
C ．240°
D ．270°
3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足
x
z y
z y x y x z +<+<+，那么x 、y 、z 三个数的大小关 系是 〔〕
A ．z<x <y
B ．y<z<x
C ．x <y<z
D ．z<y<x
4．〔初三〕两名滑冰运发动陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点〔如图2〕；A 点 和B 点之间的间隔是100米，陈洁分开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁分开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行分开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度
图3
最早相遇.那么最早相遇的时间是是〔〕 A ．18秒 B ．20秒
C ．22秒
D ．
3
100
秒 5．〔初三〕二次函数y=ax 2
+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点〔0，1〕和点 〔－1，0〕两点，那么S=a +b+c 的值的变化范围是 〔〕
A ．0<S<1
B ．0<S<2
C ．1<S<2
D ．－1<S<1
6．〔初三〕方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0
||||50
||||522
x y y y x x 在实数范围内解的组数为
〔〕
A ．多于5组
B ．5组
C ．3组
D ．1组 7．〔初二〕a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 〔〕
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．无数个
8．〔初二〕将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形〔顺序不 一定按此〕.那么此五边形的面积为 〔〕
A ．680
B ．720
C ．745
D ．760
9．〔初二〕水果场有甲、乙、丙三种水果，假设买甲2千克，乙1千克，丙4千克，一共付 钱6元；假设买甲4千克，乙2千克，丙2千克，一共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，那么一共应付钱 〔〕
A ．8元
B ．6元
C ．5元
D ．4元
二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分〕 10．p,q 均为质数，且满足5p 2
+3q=59，那么p+q=.
11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD
的边BC上一点，矩形DEFG的边EF
过点A，GD=5，那么FG的长为.
12．假设干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，假设每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；假设少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，每辆汽车最多包容40人，那么有游客人.
13．〔初三〕△ABC是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC所在直线上取两点D、E使DB=BC=CE，连结AD、AE；∠BAD=45°，那么tan∠CAE=.
14．〔初三〕如图4，圆内接等边三角
形ABC，在劣弧BC上有一点P，假设
AP与BC交于点D，且PB=21，
PC=28，那么PD=.
15．〔初三〕四条直线y=x+10，y=－x+10，y=x－10,y=－x－10，在平面直角坐标系中围成的正方形内〔包含四边〕整点的个数有.〔注：假设x，y为整数，那么(x、y)为整点〕
16．〔初二〕某商店在某一时间是以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是元.
17．〔初二〕方程|x－2y－3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是.
18．〔初二〕点A〔1，1〕在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.那么符合条件的点P一共有个.
三、〔本大题总分值是15分〕
19．〔初三〕k是整数，且方程x2+k x－k+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值.
20．〔初二〕如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和
都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由. 四、〔本大题总分值是15分〕
21．某HY 公司为一本畅销书价如下：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)
241(12)(n n n n n n n C
这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数〔单位：元〕 〔1〕有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？
〔2〕假设一本书的本钱是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人一共买60本，那么HY 公司最
少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
五、〔本大题总分值是15分〕
22．〔初三〕如图6：AC 、BD 是圆O 的内接四边形ABCD 的对角线，且BD 垂直平分半径OC ；在AC 上取一点P
使CP=OC ，连结BP 并延长交AD 于点E 交圆O 于点F.求证PF 是EF 和BF 的比例中项.
23．〔初二〕如图7：在四边形ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥AD ；连结AC ，过A 点作AE ⊥AC ，且使AE=AC ；连结BE ，
过A 点作AH ⊥CD ，垂足为H ，且交BE 于点F ，求证BF=EF. 六、〔本大题总分值是15分〕
24．〔初三〕如图8，矩形ABCD ，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN ，P 在CD 上挪动，AP 与DM 交于点E ，PN 交CM
于点F ，设四边形MEPF 的面积为S ，求S 的是大值.
25．〔初二〕，如图9，某古城护城河在CC ′处起直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：
DD ′，EE ′〔桥宽不计〕.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，
南北方向上相距85米.恰当地架桥可使
ADD ′E ′ED 的路程最短.这个最短路程是多少米？
参考答案及评分HY
说明：评阅试卷时，请根据本评分HY.选择题和填空题只设5分和0分两档；解答题请严格按照本评分HY 规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.假设考生的解答合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分HY 划分的档次，给予相应的分数.
一、选择题〔本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分〕 1．假设n 满足(n －2021)2
+(2021－n)2
=1，那么(2021－n)(n －2021)等于〔B 〕
A ．－1
B ．0
C ．
2
1 D ．1
解答：设(2021－n)=a ,(n －2021)=b a +b=1a 2
+b=1
,02
)()(2
22=+-+=∴b a b a ab 应选B.
2．如图1，∠CGE=120°，那么 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
〔C 〕
A ．150°
B ．210°
C ．240°
D ．270°
解答：连结AG ，那么∠AGC=∠B+∠BAG,∠AGE=∠F+∠FAG, ∴∠B+∠BAF+∠F=∠EGC=120° 那么理∠C+∠D+∠E=∠BGF=120° 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°应选C
3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足
x
z y
z y x y x z +<+<+，那么x 、y 、z 三个数的大小关
系是 〔A 〕
A ．z<x <y
B ．y<z<x
C ．x <y<z
D ．z<y<x
解答：∵x 、y 、z 为正实数，那么有
y
x
z x z y z y x +>+>+， 从而
y
z
y x x z y x z z y x ++>++>++即得z<x <y.应选A. 4．〔初三〕两名滑冰运发动陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点〔如图2〕；A 点 和B 点之间的间隔是100米，陈洁分开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁分开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行分开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.那么最早相遇的时间是是〔B 〕 A ．18秒 B ．20秒
C ．22秒
D ．
3
100
秒 解答：如图：过C 作CD ⊥AB 于点D
设满足题设的时间是为t 秒，那么有AC=8t ，BC=7t ，又∠A=60°.t CD t AD 34,4==∴
由勾股定理知3
100
20)34()4100()
7(222
=
=+-=t t t t t 或解得〔舍〕应选B. 5．〔初三〕二次函数y=ax 2
+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点〔0，1〕和点 〔－1，0〕两点，那么S=a +b+c 的值的变化范围是 〔B 〕
A ．0<S<1
B ．0<S<2
C ．1<S<2
D ．－1<S<1
解答：分别令x =0,y=1和x =－1,y=0.求得c=l ,a =b －1∴S=a +b+c=2b.由题设知
02>-
a
b
，且a <0，可以推知2b>0又由b=a+1及a <0可以推知2b<2.
∴0<S<2应选B.
6．〔初三〕方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0
||||50
||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为
〔A 〕
A ．多于5组
B ．5组
C ．3组
D ．1组
解答：设|x |=a ,|y|=b ,，那么原方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0
50
522
a b b b a a
两式相减并化为(a －b)(a +b －6)=0
∴a －b=0或者a +b －6=0由此可得⎩
⎨
⎧=-+=+-⎩⎨⎧=-=+-060
500522b a b a a b a b a a 或 前者解得〔a ,b 〕=〔0，0〕，〔4，4〕
后者解得，〔a ,b 〕=〔3+
3，3－3〕或者〔3－3，3+3〕
因此〔a ,b 〕的第一组解推得〔x ,y 〕=〔0，0〕；其它三组解分别可推得的4组解，所以原方程组有13组不同的实解.应选A.
7．〔初二〕a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 〔D 〕
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．无数个
解答：对于a =b>4的任何正整数，均可与8一起构成三角形的三边，应选D.
8．〔初二〕将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形〔顺序不 一定按此〕.那么此五边形的面积为 〔C 〕
A ．680
B ．720
C ．745
D ．760
解答：如图：注意到切去的三角形的三边分别为5、12、13. ∴S 五边形=S 长方形－S 三角形=31×25－
2
1
×5×12=745应选C. 9．〔初二〕水果场有甲、乙、丙三种水果，假设买甲2千克，乙1千克，丙4千克，一共付
钱6元；假设买甲4千克，乙2千克，丙2千克，一共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，那么一共应付钱 〔A 〕
A ．8元
B ．6元
C ．5元
D ．4元
解答：设甲、乙、丙三种水果每千克价分别为x 、y 、z 元，由题设知
⎩⎨
⎧=++=++)
2(4224)
1(642 z y x z y x 〔1〕×2+〔2〕得8x +4y+10z=16即4x +2y+5z=8，应选A. 二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分〕 10．p,q 均为质数，且满足5p 2
+3q=59，那么p+q=15.
解答：因为5p 2
+3q 为奇数，故p,q 必为一奇一偶，而
p,q 均为质数，故p ，q 中有一个为2.假设q 为2，那么 5p 2
=
5
53
，不合题意，舍去；假设p 为2，那么q=13即p+q=15. 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD
的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF
过点A ，GD=5，那么FG 的长为
5
16. 解答：连结AG ∵S △ADG =2
1S 正方形ABCD
=
2
1S 长方形DEFG
=16
∴FG=
5
16
，注：利用△AED ∽△GDC 亦可. 12．假设干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，假设每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上
车；假设少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，每辆汽车最多包容40人，那么有游客961人.
解答：设有x 辆汽车，少一辆汽车后每辆车坐y 人，有30x +1=y(x －1)
从而
1
31
301130-+
=-+=
x x x y 所以x =2〔不合题意〕；x =32. 因此游客数为30×32+1=961人.
13．〔初三〕△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、
AE ；
∠BAD=45°，那么tan ∠CAE=
4
1
. 解答：分别过B 、C 两点作BM//AC ，CN//AB
分别交AD 、AC 于M 、N ；容易知道AC=2BM ， AB=2CN 又tan ∠BAD=BM,tan ∠AC
CN
CAE =
从而tan ∠BAD ·tan ∠CAE=4
1
又tan ∠BAD=1 即tan ∠CAE=
4
1. 14．〔初三〕如图4，圆内接等边三角
形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，假设 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，那么PD=12. 解答：由△ABD ∽△CPD 知
CP AB DP BD =又由△ACD ∽△BPD 知BP
AC
DP DC = 二式相除得
4
3
==CP BP DC BD 〔注：此处用角平分线定理亦可直接得出〕 ∵△ABD ∽△CPD 知AB
CP
BD PD = 15．〔初三〕四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10,y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内〔包
含四边〕整点的个数有221.〔注：假设x ，y 为整数，那么(x 、y)为整点〕 解答：如图：分4个三角形考虑：△AOB
〔仅不含BO 边〕，△BOC 〔仅不含CO 边〕 △COD 〔仅不含DO 边〕△DOA 〔仅不含 AO 边〕每个三角形内所含整点的个数均为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，再考虑原点，故一共有55×4+1=221.
16．〔初二〕某商店在某一时间是以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，
卖这两件衣服总的盈利是－12元.
解答：设盈利25%的本钱价为x 元,亏损25%的本钱价为y 元,那么有90－x =25%x ， 90－y=－25%y 解得x =72，y=120.从而利润为：(x +y)－180=－12元 17．〔初二〕方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是1.
解答：由题设知⎩
⎨
⎧=++=--⎩⎨⎧=++=--0|1|1|32|1|1|0|32|y x y x y x y x 或从而得到—F 面四个方程组：
①⎩⎨
⎧=++=--1
10
32y x y x
②⎩⎨
⎧-=++=--1
10
32y x y x
③⎩⎨
⎧=++=--0
11
32y x y x
④⎩⎨
⎧=++-=--0
11
32y x y x
解以上方程组，得惟一整数解⎩
⎨
⎧-==11
y x .
18．〔初二〕点A 〔1，1〕在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.那么符合条件
的点P 一共有8个.
解答：①当P 在x 轴上假设OA 为腰时，由OA=OP 得P 1(
2，0)，P 2
(－2，0)；由OA=AP 得P 3
(2,0);假
设OA 为底时，得P 4〔1，0〕有4个点.②当P 在y 轴上对称地也有4个点，所以满足题设的点一共有8个.
三、〔本大题总分值是15分〕
19．〔初三〕k 是整数，且方程x 2
+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值.
解：设方程两个不相等的正实数根为a ,b 〔不妨设a <b 〕
于是a +b=－k,a b=－k+1.消去k 有ab －a －b=1，即(a －1)(b －1)=2……〔10分〕
只有a －1=1，b －1=2.即a =2，b=3.进而k=－5.……………………〔15分〕
20．〔初二〕如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和
都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.
解：x =5.………………〔5分〕
其理由是：按如下列图填字母a ,b,c,d,e,f,g,h,
有:a +b+c+d+x +e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45…8分 且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++15
151515e x d g x b f x c h x a 四式相加得(a +b+c+d+x +e+f+g+h)+3x =60 从而3x =15即x =5.………………〔15分〕
四、〔本大题总分值是15分〕
21．某HY 公司为一本畅销书价如下：⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C
这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数〔单位：元〕
〔1〕有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？
〔2〕假设一本书的本钱是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人一共买60本，那么HY 公司最
少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
解：〔1〕由C 〔25〕=275，C 〔24〕=288，C 〔23〕=276，C 〔22〕=264；有C 〔25〕<〔23〕<C 〔24〕
由C(49)=490,C(48)=528,C(47)=517,C(46)=506,C(45)=495,C(44)=484,有
C(49)<C(45)<C(46)<C(47)<C(48);
故一共有6个n〔即23，24，45，46，47，48〕出现买多于n本书比恰买n本所花的钱少.……〔5分〕〔2〕设两人一共购置a本和b本一共付钱S元，不妨设a≤b，由a+b=60知道1≤a≤30
〔i〕当1≤a≤11时，49≤b≤59，S=12a+10b=10(a+b)+2a=600+2a602≤S≤622
〔ii〕当12≤a≤24时，36≤b≤48S=12a+11b=660+a672≤S≤684
〔iii〕当25≤a≤30时，30≤b≤48S=11a+11b=660
故HY公司最少赚602－60×5=302元，最多赚684－60×5=384元……〔15分〕
五、〔本大题总分值是15分〕
22．〔初三〕如图6：AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P 使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.
证明：连结OB、AF.
∵BD垂直平分半径OC，∴BO=BC
又OB=OC=CP∴CP=CB从而∠PBC=∠BPC；
又∵∠PBD=∠PBC－∠CBD
∠ABP=∠BPC－∠BAC
而OC⊥BD得到点C是弧BD中点
∴∠BAC=∠DAC=∠CBD
因此∠PBD=∠ABP即P为△ABD的内心.……〔10分〕
这样一来，∠EAF=∠ABF，∠F=∠F，
∴△AEF∽△BAF即得AF2=EF·BF
又因为∠FAP=∠FAE+∠CAD
∠FPA=∠ABF+∠BAC
由内心可知，∠CAD=∠BAC，∠FAE=∠ABF
所以∠FAP=∠FPA即PF=AF…………………………〔15分〕
因此PF2=EF·BF结论成立.
23．〔初二〕如图7：在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD；连结AC，过A点作AE⊥AC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AH⊥CD，垂足为H，且交BE于点F，求证BF=EF.
证明：过B点作BM⊥AH，过E点作EN⊥AH，
交AH或者其延长线分别于点M、N
∵AB⊥AD∴∠BAM+∠ABM=90°
又∵AH⊥CD∴∠DAH+∠ADH=90°
∴∠BAM=∠ADH
而∠AMB=∠AHD=90°，AB=AD
∴Rt△ABN≌Rt△DAH
∴BM=AH…………………………〔5分〕
同理可证明Rt△EAN≌Rt△ACH得到EN=AH………………〔10分〕
在Rt△BMF和Rt△ENF中，有EN=AH，∠BFM=∠EFN，∠BMF=∠ENF=90°
∴Rt△BMF≌Rt△ENF
因此BF=EF……………………………………………………〔15分〕
六、〔本大题总分值是15分〕
24．〔初三〕如图8，矩形ABCD ，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN ，P 在CD 上挪动，AP 与DM 交于点E ，PN 交CM
于点F ，设四边形MEPF 的面积为S ，求S 的是大值.
解：连结PM ，设DP=x ，那么PC=4－x ，∵AM//OP 同理可求x
x S MPF --=
∆54……………………〔8分〕 因此5462511125412++--=--+-=--++=x x x x x x x x S 343229
)2(622=-≤--+=x ………………〔13分〕 当x =2时，上式等号成立.………………………〔15分〕
25．〔初二〕，如图9，某古城护城河在CC ′处起直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：
DD ′，EE ′〔桥宽不计〕.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使
ADD ′E ′EB 的路程最短.这个最短路程是多少米？
解：如下列图，作AA ′⊥CD ，AA ′⊥DD ′；
BB ′⊥CE ，BB ′⊥EE ′，那么折线
ADD ′E ′EB 的长度等于折线AA ′D ′E ′B ′B 的长度，
等于折线A ′D ′E ′B ′以线段A ′B ′最短.…………………………〔10分〕
故题目所示最短路程S=A ′B ′+10.而A ′，B ′在东西方向上相距65－5=60米，南北方向上相距85－5=80米，从而由勾股定理知A ′B ′=228060+=100米，故S=110米.………………〔15分〕。