高考物理一轮复习专题4.4万有引力定律与天体运动(精讲)(解析版)

专题万有引力定律与天体运动
1．掌握万有引力定律的内容，并可以用万有引力定律求解有关问题。

2．理解第一宇宙速的意义。

3．认识第二宇宙速度和第三宇宙速度。

知识点一开普勒行星运动定律的应用
定律内容图示或公式
开普勒第一全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太
定律 (轨道定律 )阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二对随意一个行星来说，它与太阳的连线在
定律 (面积定律 )相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三全部行星的轨道的半长轴的三次方跟它a3
T2＝ k，k 是一个与行星没关的常量定律 (周期定律 )的公转周期的二次方的比值都相等
知识点二万有引力定律的理解及应用
1．内容
(1)自然界中任何两个物体都互相吸引。

(2)引力的方向在它们的连线上。

(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式
m1m2
F＝G r 2，此中G 为引力常量，G＝ 6.67 ×10－11 N ·m2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定。

3．合用条件
(1)两个质点之间的互相作用。

(2)对证量散布平均的球体，r 为两球心间的距离。

知识点三、宇宙速度
1．三个宇宙速度
第一宇宙速度
1
v ＝ 7.9 km/s ，是人造卫星在地面邻近绕地球做匀速圆周运动的
(环绕速度 ) 速度
第二宇宙速度
(离开速度 ) v 2＝ 11.2 km/s ，是物体摆脱地球引力约束的最小发射速度
第三宇宙速度
(逃逸速度 )
v 3＝ 16.7 km/s ，是物体摆脱太阳引力约束的最小发射速度
2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度。

3．第一宇宙速度的计算方法
Mmv 2
GM (1) 由 G R 2
＝m R 得 v ＝
R
.
v 2
(2) 由 mg ＝ m R 得 v ＝ gR.
知识点四、经典时空观和相对论时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的丈量结果在不一样的参照系中是相同的。

2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的丈量结果在不一样的参照系中是不一样的。

(2)光速不变原理：不论在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。

考点一 开普勒运动定律的应用
【典例 1】（ 2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运转，依据开普勒
行星运动定律可知 (
)
A ．太阳位于木星运转轨道的中心
B ．火星和木星绕太阳运转速度的大小一直相等
C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】 C
【分析】木星绕太阳运转的轨道为椭圆轨道，故太阳应位于其椭圆轨道的一个焦点上，
A 错误；因为
火星和木星在不一样的轨道上，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运转速度大小不必定相等，
B
3 3 2 3 错误；由开普勒第三定律可知，同一中心天体
R 火
R 木
T 火
R 火
T 火
＝
T 木 ＝ k ，即 T
木
＝ R 木 ，C 正确；因为火星和木星在不一样的轨
2
2
2
3
道上，所以它们在近地址时的速度不等，且开普勒第二定律是指，对同一行星而言，它与太阳的连线在相
等的时间内扫过相等的面积，
D 错误。

【变式
1】（ 2019·吉林长春市实验中学模拟）
17 世纪，英国天文学家哈雷追踪过一颗彗星，他算出这颗
彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的
18 倍，并预知这颗彗星将每隔必定的时间飞临地球，以后哈雷的
预知获得证明，该彗星被命名为哈雷彗星。

哈雷彗星环绕太阳公转的轨道是一个特别扁的椭圆，如下图。

从公元前 240 年起，哈雷彗星每次回归，中国均有记录。

它近来一次回归的时间是
1986 年。

从公元前
240
年到现在，我国对于哈雷彗星回归记录的次数，最合理的是
(
)
A ． 24 次
B ．30 次
C ．124 次
D ．319 次
【答案】 B
【分析】设彗星的周期为
T
1、半长轴为 R 1，地球的公转周期为 T
2、公转半径为 R 2，由开普勒第三定律 a 3 T 1 3 240 ＋ 1 986 1
2＝C 得， R
183≈ 76，则彗星回归的次数 n ＝
≈ 29，所以最合理的次数为 30 次，选项 T T 2＝ 23 ＝
76 R B 正确，选项 A 、 C 、 D 错误。

考点二
万有引力定律的理解及应用
【典例 2】（ 2019·新课标全国Ⅱ卷）
2019 年 1 月，我国嫦娥四号探测器成功在月球反面软着陆，在探 测器 “奔向 ”月球的过程中，用 h 表示探测器与地球表面的距离， F 表示它所受的地球引力，可以描绘
变化关系的图像是（
）
F 随
h
【答案】 D
GMm
【分析】依据万有引力定律可得： F
h) 2 ， h 越大， F 越大，应选项
D 切合题意。

( R
【方法技巧】
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力 F 表现为两个成效：一是重力mg，二是供给物体随处球自转的向心力 F 向，如图所示。

Mm
＝ mg1＋ mω2R.
(1)在赤道上： G R2
Mm
＝ mg2.
(2)在两极上： G R2
Mm
等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和．越凑近南北两极g 值越大，因为
(3)在一般地点：万有引力 G R2
GMm
物体随处球自转所需的向心力较小，常以为万有引力近似等于重力，即R2＝mg.
2．星体表面上的重力加快度
(1)在地球表面邻近的重力加快度g(不考虑地球自转 )：
mM GM
mg＝ G R2，得 g＝R2
(2)在地球上空距离地心r＝ R＋h 处的重力加快度为 g′
GMm
2，得g′＝GM
mg′＝R＋h R＋ h2
g R＋ h2
所以＝
R 2
g′
【变式 2】 (2018 ·北京卷 )若想查验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”按照相同的规律，在
已知月地距离约为地球半径60 倍的状况下，需要考证 ()
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B．月球公转的加快度约为苹果落向地面加快度的1/602
C．自由落体在月球表面的加快度约为地球表面的1/6
D．苹果在月球表面遇到的引力约为在地球表面的1/60
【答案】 B
【分析】若想查验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”按照相同的规律——万有引力定律，则
Mm
应知足 G r 2 ＝ ma ，所以加快度
a 与距离 r 的二次方成反比。

考点三
估量天体质量和密度
【典例
3】（ 2019·浙江选考）
20 世纪人类最伟大的创举之一是开辟了太空的崭新领域。

现有一艘远离星
球在太空中直线飞翔的宇宙飞船，为了丈量自己质量，启动推动器，测出飞船在短时间
t 内速度的改变成
v ，和飞船遇到的推力
F （其余星球对它的引力可忽视）。

飞船在某次航行中，
当它飞近一个孤立的星球时，
飞船能以速度
v ，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为 T 的匀速圆周运动。

已知星球的半径为
R ，引力常
量用
G 表示。

则宇宙飞船和星球的质量分别是（
）
A ． F v ， v 2 R
B ． F v ， v 3T
C ． F t ， v 2R
D ． F t ， v 3T
t
G
t
2πG
vG v
2πG
【答案】 D
【分析】直线推动时，依据动量定理可得
F t
m v ，解得飞船的质量为 m
F t
，绕孤立星球运
v
G
Mm
4 2 Mm
m
v 2
v 3T
动时，依据公式 r 2
m
T 2 r ，又
G
2
r
，解得 M
，D 正确。

r
2 G
【贯通融会】 (2018 ·全国卷Ⅱ )2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜 (天眼 )发现毫秒脉冲星 “J0318
＋ 0253”，其自转周期 T ＝5.19 ms 。

假定星体为质量平均散布的球体，已知万有引力常量为 6.67 ×10－
11
N ·m 2/kg 2。

以周期 T 稳固自转的星体的密度最小值约为
( )
A ． 5×109 kg/m 3
B ． 5×1012 kg/m 3
C ． 5×1015
kg/m 3
D ． 5×1018 kg/m 3
【答案】 C
Mm
2
4πR
【分析】 毫秒脉冲星稳固自转时由万有引力供给其表面物体做圆周运动的向心力， 依据G R 2 ＝ m T 2 ，
4 3π 1
5 3
3 ，得 ρ＝ 2，代入数据解得
M ＝ ρ·πR GT ρ≈5×10 kg/m ，C 正确。

3
【方法技巧】天体密度的丈量方法
1．重力加快度法
利用天体表面的重力加快度
g 和天体半径 R 。

Mm
gR 2
(1) 由 G R 2 ＝mg 得天体质量 M ＝G 。

(2) M M 3g
天体密度： ρ＝ V ＝ 4
＝ 4πGR 。

3πR 3
2．卫星环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径
r 和周期 T 。

Mm
2
2
3
4πr
4πr
(1)
由 G r 2 ＝m T 2 得天体的质量 M ＝ GT 2。

M
M 3πr 3
(2)若已知天体的半径 R ，则天体的密度 ρ＝ V ＝ 4 ＝ GT 2R 3。

3πR 3
3π
(3)若卫星绕天体表面运转时，可以为轨道半径
r 等于天体半径 R ，则天体密度 ρ＝GT 2，可见，只需测
出卫星环绕天体表面运动的周期 T ，便可估量出中心天体的密度。

【变式
3】（ 2018 浙江卷）土星最大的卫星叫
“泰坦 ”（如图），每
16 天绕土星一周，其公转轨道半径约
为
，已知引力常量
，则土星的质量约为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【分析】 卫星绕土星运动，
土星的引力供给卫星做圆周运动的向心力设土星质量为
M ：
，
解得
带入计算可得：
，故 B 正确， A 、C 、D
错误；应选
B 。