信号与系统MATLAB程序代码

1.傅立叶变换的时移性质
若)()(ωF t f ↔，则[]00)(0)()()(t j t j e F e F t t f ωωϕωωω±±=↔±
结论: )(t f 延时（或超前）0t 后，其对应的幅度谱保持不变，但相位谱中一切频率分量的相位均滞后（或超前）0t ω。

例：用matlab 画f(t)=t 与 f （t ）=t-1图像
程序：
N=256; t=linspace(-2,2,N);
f=t.*heaviside(t);
f1=(t-1).*heaviside(t-1);
dt=4/(N-1); M=401;
w=linspace(-2*pi,2*pi,M);
F=f*exp(-j*t'*w)*dt;
F1=f1*exp(-j*t'*w)*dt;
subplot(3,1,1);
plot(t,f,t,f1,'r'),grid on
xlabel('t');ylabel('f'),
title('f(t),f(t-1)')
subplot(3,1,2);
plot(w,abs(F),w,abs(F1),'r'),grid on
xlabel('w');
ylabel(' f(t)和f(t-1)幅度谱')；
subplot(3,1,3);
plot(w,angle(F),w,angle(F1),'r'),grid on
xlabel('w');
ylabel(' f(t)和f(t-1)相位谱')
实验结果：
2.傅立叶变换的对称性质
博里叶变换的对称性可以表示为：若()()f t F j ω↔，则()()2F t f πω↔- 上式说明，如果函数()f t 的频谱函数为()F j ω，那么时间函数()F t 的频谱函数是()2f πω-,这称为傅里叶变换的对称性。

例:设()f t =Sa(t ),已信号()f t 的傅立叶F(jw)=2()[(1)(1)]g w w w ππεε=+--
用MATLAB 求12()()f t g t π=的傅立叶变换1()F jw ，并验证对称性。

MATLAB 程序如下：
syms t
r=0.02;
j=sqrt(-1);
t=-20:r:20;
f=sin(t)./t;
f1=pi*(Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1));
N=500;
W=5*pi*1;
k=-N:N;
w=k*W/N;
F=r*sinc(t/pi)*exp(-j*t'*w);
F1=r*f1*exp(-j*t'*w);
subplot(221);plot(t,f);
xlabel('t');ylabel('f(t)');
subplot(222);plot(w,F);
axis([-2 2 -1 4]);
xlabel('w');ylabel('F(w)');
subplot(223);plot(t,f1);
axis([-2 2 -1 4]);
xlabel('t');ylabel('f1(t)');
subplot(224);plot(w,F1);
axis([-25 25 -3 7]);
xlabel('w');ylabel('F1(w)');
实验结果：
3.傅立叶变换的尺度变换性质
傅里叶变换的尺度变换性质可以表示为：若()()f t F ω↔，则对于实常数0a ≠有
()1||f at F a a ω⎛⎫↔ ⎪⎝⎭
上式说明，信号时域宽度与频率带宽成反比。

信号在时域中压缩()1a >等效于带宽在频域中的扩展，而时域的展宽等效于在频域中带宽的压缩。

设2()()(1)(1)f t G t t t εε==+--，用MATLAB 求1()()(21)(21)y t G t t t εε==+--的频谱)(ωY ，并与)(t f 的频谱)(ωF 进行比较。

由信号分析可知，f(t)信号的频谱为)(2)(ωωSa j F =，其第一个过零点频率为π，一般将此频率认为信号)(t f 的带宽。

考虑到)(ωj F 的形状，将精度提高到该值的50倍，即050ωπ=，据此确定取样间隔：00110.02222f τωπ
<
==⨯
f(t)过程的MATLAB程序如下：
R=0.02;t=-2:R:2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);
W1=2*pi*5;
N=500;k=0:N;W=k*W1/N;
F=f*exp(-j*t'*W)*R;
F=real(F);
W=[-fliplr(W),W(2:501)];
F=[fliplr(F),F(2:501)];
subplot(2,1,1);plot(t,f);
xlabel('t');ylabel('f(t)');
title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');
subplot(2,1,2);plot(W,F);
xlabel('w');ylabel('F(w)');
title('f(t)的付氏变换F(w)');
y(t)过程的MATLAB程序如下：
R=0.02;t=-2:R:2;
f=Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1); W1=2*pi*5;
N=500;k=0:N;
W=k*W1/N;
F=f*exp(-j*t'*W)*R;
F=real(F);
W=[-fliplr(W),W(2:501)];
F=[fliplr(F),F(2:501)];
subplot(2,1,1);
plot(t,f);
xlabel('t');ylabel('y(t)');
title('y(t)=u(2t+1)-u(2t-1)');
subplot(2,1,2);
plot(W,F);
xlabel('w');ylabel('Y(w)');
title('y(t)的付氏变换Y(w)')；
比较可见，)(ωY 将)(ωF 展宽了一倍，而幅度将为)(ωF 的一半。

4.傅里叶变换的时域微分特性
若()()f t F j ω↔，则傅里叶变换的时域微分特性为：
()()()n n n df t j F j dt
ωω↔ 例：已知()f t 的为底边宽度为pi 的三角脉冲，试用matlab 求()f t 与d ()f t /d t 傅里叶变换，()j F ω与()1F ω,并验证时域微分特性。

r=0.01;
t=-5:r:5;
f1=Heaviside(t+pi)-Heaviside(t-pi);
f2=Heaviside(t+pi)-2*Heaviside(t)+Heaviside(t-pi); f=pi/2*(sawtooth(t+pi,0.5)+1).*f1;
w1=2*pi*5;
N=200;k=-N:N;
w=k*w1/N;
F=r*f*exp(-j*t'*w);
F2=r*f2*exp(-j*t'*w);
F3=F2./(j*w);
subplot(411);
plot(t,f2);
set(gca,'box','off')
xlabel('t');
ylabel('f2(t)');
subplot(412);
plot(t,f);
set(gca,'box','off')
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
subplot(413);
plot(w,F);
set(gca,'box','off')
xlabel('w');ylabel('F(jw)');
subplot(414);
plot(w,F3);
set(gca,'box','off')
xlabel('w');ylabel('F3(jw)');
结果说明()j F ω与()1j F ω/j ω=()3j F ω的曲线完全一致，从而验证了时域微分特性。