2012年东北三省高三三模理科数学有答案解析

2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试
2012年长春市高中毕业班第三次调研测试
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1.D
2.C
3. B
4. A
5.D
6. B
7.C
8.A
9.B 10.C 11.B 12.B 简答与提示：
1. D 集合{|22}A x x =-<<，113x -<+<，则013x ≤+<，即
{|1,}{|03}y y x x A y y =+∈=≤<.故选D.
2. C 由于32(32)(1)3232
151(1)(1)
2
2
2
i i i i i z i i
i i +++++-=
=
=
=
+
--+. 故选C.
3. B 由题意可知，圆M ：22220x x y y +++=的圆心(1,1)--到直线l ：2x my =+
，由点到直线的距离公式可知1m =或7m =-. 故选B. 4. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<，故选A.
5. D 由题意31232a a a =+，即2
11132a q a a q =+，可得2230q q --=，3q =或
1q =-，又已知0q >，即3q =，
2
10121519202381013171821
9a a a a a a q a a a a a a +++++==+++++.故选D.
6. B 在同一坐标系内画出函数3cos
2
y x π=和21log 2
y x =+
的图像，可得交点个数
为3. 故选B.
7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后
3,2,1i T P ===，
第三次循环后14,3,7
i T P ===，第四次循环后15,4,63
i T P ===
，
因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C. 8. A 由函数
()sin()6
f x A x π
ω=+
(0)ω>的图像与x
轴的交点的横坐标构成一个公差为
2
π
的等差数列可知，函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)
6
f x A x π
=
+
，
()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2
g x A x π=+，可知只需将
()f x 向左平移
6
π
个
单位即可获得()sin[2()]sin(2)6
6
6
2
f x A x A x π
π
π
π
+=+
+
=+
. 故选A .
9. B 命题“若 6
π
α=
，则2
1sin =
α”的否命题是“若 6
π
α≠，则1sin 2
α≠
”，
是假命题，因此①正确；命题 ,:0R x p ∈∃使0sin 1x >，则1sin ,:≤∈∀⌝x R x p 完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件是sin 1ϕ=±，即2
k π
ϕπ=+
()k Z ∈，因此③错误；命题:(0,)2
p x π
∃∈“
，
使2
1cos sin =+x x ”中sin cos sin cos ))2
2
4
x x x x x π
+=
+
=+
，
当(0,
)2
x π
∈时，1)4
x π
<
+
≤即:(0,
)2
p x π
∃∈“，使2
1cos sin =+x x ”
为假命题，而命题:q ABC ∆在“中，若sin sin A B >，则A B >”为真命题，可知
命题（p ⌝）∧q 为真命题，因此④正确.一共有3个正确. 故选B. 10. C 双曲线
222
2
1x
y
a b
-
=的右焦点F 是抛物线2
8y x =的焦点可知2c =，
又5PF =可知P 到抛物线的准线2x =-的距离为5，可设(3,)P m ，根据两点间距离公式可
得到m =2
2
2
21x
y
a b
-=方程化为2
2
2214x
y
a a -=-，代入点P 的坐标并求解关于2a 的一元二次方程，可求得21a =或236a =. 又22c a >，可将236
a =舍去，可知21a =，即1a =，（或根据双曲线定义得2a =|PF 2|－|PF 1|=2），综上可知
双曲线的离心率为2
21
c
e a =
=
=. 故选C.
11. B 由题意可知四棱锥S A B C D -的所有顶点都在同一个球面上，底面A B C D 是正
方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径r ，且四棱锥的高h r =，
的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为
2
2
2
2
2
4))22)44
S r r =⨯
+=+==+
因此22r =，r =
O 的体积3
443
3
3
V r ππ=
=
⨯=
. 故选B.
12. B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为3
4C ，而后再将获得同一道题目
的2位老师选出，选法为2
4C ，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为3
3A ，
即满足题意的情况共有323
443144C C A =种. 故选B.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 3
14. 4+
15.0a >且0q >
16. 35[
,]79
简答与提示：
13. 利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有
4
2(x
⋅-
和41x ⋅，求和后
可得 3x ，即x 的系数为3.
14. 侧视图的对角线长可得长方体的
2，1
，因此其全面积为1212)4++⨯=+15. 由1n n S S +>得，当1q =时，10n n S S a +-=>；当1q ≠时，10n n n S S aq +-=>，
即0a >，10q ≠>.综合可得数列{}n S 单调递增的充要条件是:0a >且0q >. 16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-，将
点(1,2)-代入50ax by -+=，可以得25a b +=. 对
2ab a b
+作如下变形：
15
5
5
12122(2)(
)142(
)52(
)ab b a b
a a b
a b a b a b a b a b
=
=
=
=+++⋅++++++
.
由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2
2585()24
a b ++≤.
由2225
585()24
a b a b +=⎧⎪
⎨++=
⎪⎩，解得12a b =⎧⎨
=⎩或31a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(1,2)A 和(3,1)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是1[,2]3，从而b a
a b
+的取值范围
是10[2,]3，进一步可以推得2ab a b +的取值范围是35[,]79
.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域.
【试题解析】解：⑴由m n m n +=- ，可知0m n m n ⊥⇔⋅=
.
然而(2cos ,1),m B = 2(2cos (),1sin 2)42
B n B π
=+-+ (1sin ,1sin 2)B B =--+，
所以2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-= ，1
cos 2
B =，3B π∠=.
(5分)
⑵2
2
2
2
2
2
21sin sin sin (
)sin )3
2
2
A C sin A A sin A A A π+=+-=++
22
2
5331cos sin cos sin cos 44
2
42
2
sin A A A A A A A =++
=++
311cos 2sin 21
12cos 24222244A A A A -=+
⋅+=+-
11112cos 2)1sin(2)22
2
2
6
A A A π
=+
-
=+
-
. (9分)
因为3
B π
∠=
，所以2(0,
)3A π
∈，
即72(,
)666
A π
ππ
-∈-
，即1s i n (2)(,1]6
2
A π
-∈-
所以1331sin(2)(,]2642A π+-∈，即22sin sin A C +的取值范围是3
3(
,
]4
2
. (12分)
18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、
二项分布以及数学期望的求法.
【试题解析】⑴平均年限10101510202525203015
22()80
n
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
≈年. (4分)
⑵所求概率2
2
2
2
2
1010252015
2
80
137632
C C C C C P C ++++=
=
. (8分)
⑶由条件知9~(10,
)16
B ξ，所以9451016
8
E ξ=⨯
=. (12分)
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、 二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.
【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面
A B C D ， 90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A = ，所以D C ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D D C D = ，所以⊥1AD 平面11DCB A ，
从而C B AD 11⊥. (4分) ⑵以D 为坐标原点，D A ，D C ,1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -，则易得)0,1,2(B )2,0,2(),2,2,0(11A C ，设平面1A B D 的法向量为),,(1111z y x n =，则由 ⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
111DA n DB n ，求得)1,2,1(1--=n ；设平面BD C 1的法向量为),,(2222z y x n =， 则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0122DC n DB n ，求得)2,2,1(2-=n
，则根据66cos =⋅=n n θ,于是可得
6
30sin =
θ. (9分)
(3) 设所给四棱柱的体积为V,则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，而三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥
CBD
C -1的体积，记为2V .则由于3
22122
13
11=
⨯⨯⨯⨯
=
V ，
3
42222
13
12=
⨯⨯⨯⨯
=
V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V .
(12分) 20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.
【试题解析】⑴当直线l 与x 轴垂直时，由2
12222
AM BN b
S a a
=⋅⋅=，得1b =.
又22M F F N
=+
,
所以2
2b a c a c a
+=
+-
，即ac =
22
1a c =+，
解得a =
因此该椭圆的方程为
2
2
12
x
y +=. (4分)
⑵设1122(,),(,)A x y B x y
，而(0),0)M N ，
所以11(,)AM x y =-
，11,)AN x y =-，
22(,)BM x y =-
，22,)BN x y =-
.
从而有
22
111222()()AM AN BM BN x x y x x y ⋅+⋅=+++
2
2
2
2
2
2
1212121212124()2()24x x y y x x x x y y y y =+++-=+-++--.
(6分)
因为直线l 过椭圆的焦点(1,0)，所以可以设直线l 的方程为1()x ty t R =+∈，则
由22
121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去x 并整理，得22
(2)210t y ty ++-=， 所以12222t y y t -+=+，1221
2
y y t -=+. (8分)
进而12122
4()22
x x t y y t +=++=+，2
12122
22(1)(1)2
t
x x ty ty t -=++=
+，
可得
2
2
2
2
2
2
2
42221(
)2(
)(
)2(
)42
2
2
2
t
t AM AN BM BN t t t t ---⋅+⋅=-+--++++
2
2
2
86(2)
2
t t =
-
++.
(10分)
令22t m +=，则2m ≥. 从而有2
2
861398(
)8
8
A M A N
B M B N m
m
m
⋅+⋅=
-
=-
-
，
而1
1
02m <≤，所以可以求得AM AN BM BN ⋅+⋅ 的取值范围是9
[,0)8
-.(12分)
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.
【试题解析】⑴令()l n 10
f x x '=+=,得1
x e
=. 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1
(,)x e
∈+∞时，()0f x '>.
所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1
(,)e
+∞上单调递增. (3分)
⑵由于0x >，所以11
()l n l n 22f x x x k x k x x
=>-⇔<+.
构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121
()0
22x k x x x x
-'=-==，得12x =. 当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1
(,)2
x ∈+∞时，()0k x '>.
所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n
11
()()l n 11l n 222
k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n2)-∞-. (7分)
⑶结论：这样的最小正常数m 存在. 解释如下：
()()()ln()ln x
x
f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()
ln a x
a
a x a x a a e
e
+++⇔
<
.
构造函数ln ()x
x x g x e
=
，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分)
对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x
x
x x
x e x x e
x x x
g x e
e
+-⋅+-'==
.
令()ln 1ln h x x x x =+-，则1
()ln 1h x x x
'=
--，显然()h x '是减函数.
又(1)0h '=，所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减
函数，而2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
22(
)ln
1ln
210e h e e e e
e
e
-=+-
⋅=-++
=
<，
(1)ln 11ln 110h =+-=>，
()ln 1ln 1120h e e e e e e =+-=+-=-<.
所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，令为1x 和
2x 12()x x <，并且有: 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上，()0,h x <即()0g x '<；在区间12(,)x x 上，()0,h x >即()0g x '>. 从而可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上
第11页（共12页）
单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增. (1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. 题目要找的2m x =，理由是：
当2a x >时，对于任意非零正数x ，2a x a x +>>，而()g x 在2(,)x +∞上单调递减，所以()()g a x g a +<一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明
2m x ≤；
当20a x <<时，取2x x a =-，显然0x >且2()()()g a x g x g a +=>，题目所要求的不等式不恒成立，说明m 不能比2x 小.
综合可知，题目所要寻求的最小正常数m 就是2x ，即存在最小正常数2m x =，当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()x f a x f a e +<恒成立. (12分)
( 注意：对于1x 和2x 的存在性也可以如下处理： 令()ln 1ln 0h x x x x =+-=，即1ln 1
x x =
-. 作出基本函数ln y x =和11
y x =
-
的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程1ln 1
x x =-有两个正实数根
1x 和2x ，且101x <<，21x >（实际上2 2.24x ≈），可知函数()g x 在区间1(0,)
x 和2(,)x +∞上单调递减，在区间12(,)x x 上单调递增.(1)0g =，当01x <<时，
()0g x <；当1x >时，()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. ）
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.
【试题解析】⑴因为M A 为圆的切线，所以2
MA MB MC =⋅.
又M 为P A 中点，所以2
MP MB MC =⋅.
因为B M P P M C ∠=∠，所以B M P ∆与P M C ∆相似. （5分）
⑵由⑴中B M P ∆与P M C ∆相似，可得M PB M C P ∠=∠.
在M C P ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=
， 得180202
BPC BM P
M PB -∠-∠∠=
=
.
(10分)
23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.
【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12
≤
-=x x y ,曲线M
是抛物线的一部分；
对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)
第12页（共12页）
(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N
过点时满足要求，并且向左下方
平行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运
动直到相切之前总是有两个公共点，所以11t <≤
满足要求；相切时仍
然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得2
10,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得
54
t =-
. 综合可求得t
的取值范围是：11t <≤或54
t =-
. （6分）
(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(2
00-x x
，0x ≤
，则
8
232
43
)2
1(2
1
2
0020
≥+
+=
++=
x x x d ，
当012
x =-
时取等号，满足0x ≤
，所以所求的最小距离为
8
23. (10分)
24. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有关知识内容.
【试题解析】解：（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f
当1≥x 时，由513>+x 解得：3
4>
x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去；
当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫
<->
⎨⎬⎩
⎭
或. (5分)
（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间
()1,-+∞上单调递增.并且
min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而
()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4
f x - (()40)f x -≠的取值范围是1
(,](0,)
2
-∞-+∞
.根据已知关于x 的方程1()4
a f x =-的解集为空集，所以实数a 的
取值范围是1(,0]2
-. (10分)。