运筹学第七章答案

[课后习题全解]
7.2 解（1）建立数学模型
（2）计算原理
1）梯度法（最速下降法）
a. 给定初始近似点不妨为（0，0，0），精度，不妨为
，若
则即为近似极小点.
b. 若，求步长.并计算
步长求法用近似最佳步长.
c. 一般地，若，则即为所求的近似解；若
则求步长，并确定下一个近似点
如此继续，直至达到要求的精度为止.
2）近似最佳步长求法
由，求出步长.
7.3 解（1）
的海塞矩阵为
知为严格凸函数，为凸函数，为凹函数，所以不是一个凸规划问题.
（2）
的海塞矩阵为
则为严格凸函数，为凹函数，为凸函数，所以上述非线性规划不是凸规划.
7.6 解计算结果如表7-2所示.
表7-2
迭代次数
1
2
3
由可知相邻两步的搜索方向正
交.
7.10 解 因为
现从
，开始
于是
故
故得到极小值点
7.12 解
取
由于，所以
由
得
故
由于
故为近似极小点.
7.13 解（1）用最速下降法
（2）牛顿法
得极小点
（3）变尺度法
得极小点
7.15 解原非线性规划等同于
（1）
其作用约束的是
所以
得则有
存在可行下降方向.
（2）
其作用约束的是
所以
即即（无可行解）不存在可行下降方向.
（3）
其作用约束的是
所以
所以
存在可行下降方向.
7.17 解（1）原式等同于
写出目标函数和约束函数的梯度
对第一个和第二个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子，得点为，则有
1）令，无解；
2）令，解之得是点，目标函数值
；
3）令，解之得是点，目标函数值
；
4）令，则是点，，但不是最优. 此问题不是凸规划，故极小点1和5是最优点.
（2）原式等同于
写出目标函数和约束函数的梯度
引入广义拉格朗日乘子，得点为，则有
1）令，无解；
2）令，则不是点；
3）令，则不是点；
4）令，则是点，目标函数值
由于该非线性规划问题为凸规划，故是全局极小点.] 7.18 解这个非线性规划的条件为
极大点是，但它不是约束条件的正则点.
7.21 解构造惩罚函数
由
则的解为
当时，；当时，.
当时，趋于原问题的极小值. .
7.22 解构造惩罚函数
解得最优解为
7.24 解构造障碍函数
得最优解。