2025年湘教版九年级下册数学第2章全章整合与提升

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6．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为A︵B上一点，AD∥OC，AD 交⊙O 于点 D，连接 AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD ＝y°，则下列结论成立的是( A ) A．x＋y＝90 B．2x＋y＝90 C．2x＋y＝180 D．x＝y
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【点拨】连接 BC，由圆周角定理，得∠BAC＝12∠BOC＝12x°. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠B＝90°－12x°. ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D＝180°－∠B＝90°＋12x°. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝12x°.
量了下两砖之间的距离刚好是80 cm，则大理石球的半
径是( D )
A．40 cm
B．30 cm
C．20 cm
D．50 cm
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【点拨】如图，设大理石球的圆心为 O，连接 OA，AB，OC， OC 交 AB 于点 D.由题意易知 AB＝80 cm， CD＝20 cm，OD⊥AB，∴AD＝12AB＝40 cm， 设⊙O 的半径为 a cm，则 OD＝(a－20)cm. 在 Rt△ AOD 中，由勾股定理，得 a2＝(a－20)2＋402，解得 a＝50，即大理石球的半径为 50 cm.
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【点拨】连接 AB. ∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠ABC＋∠CDA＝180°. ∵A︵E所对的圆周角为 25°， ∴∠ABE＝25°. ∴∠CBE＋∠CDA＝180°－25°＝155°.
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10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线， BD经过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为( B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
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14．将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 30°，得到线段 AC. 若 AB ＝12，则点 B 经过的路径B︵C的长度为___2_π____．(结果保 留 π)
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OD＝OB， 在△ ODE 与△ OBE 中，∠EOD＝∠EOB，
OE＝OE， ∴△ODE≌△OBE， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°.∴OB⊥BE. 又∵OB 是⊙O 的半径．∴直线 BE 与⊙O 相切．
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(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 解：设⊙O的半径为r，在Rt△OCD中， 由勾股定理，得r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3. 由(1)知△ODE≌△OBE，∴BE＝DE， 又∵∠CBE＝90°， ∴在Rt△CBE中，由勾股定理，得BC2＋BE2＝CE2， 即(2＋3＋3)2＋DE2＝(4＋DE)2，解得DE＝6.
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11．如图，在平面直角坐标系中，半径为 2 的⊙A 经过点 O 和点 B(0，2 2)，点 C 是优弧 BO 上一点，则 cos C 的值 2 为____2____．
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【点拨】设⊙A 与 x 轴的另一个交点为 D，连接 BD，如图， 则∠C＝∠D.∵∠BOD＝90°，∴BD 为⊙A 的直径． ∵⊙A 的半径为 2，∴BD＝4. ∵B(0，2 2)，∴OB＝2 2. ∴在 Rt△ BOD 中，OD＝ BD2－OB2＝
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2．[2023·益阳一模]已知⊙O的直径为10，A，B，C为射线
OP上的三个点，OA＝6，OB＝5，OC＝4，则在⊙O上
C．点C在⊙O外
D．点C在⊙O上
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3．[2023·岳阳月考]如图，已知点 C，D 为半圆上的三等分
点，则下列说法：①A︵D＝C︵D＝B︵C；②∠AOD＝∠DOC
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∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝12x°. ∴∠ACD＝180°－∠DAC－∠D， 即 y°＝180°－12x°－90°＋12x°＝90°－x°， ∴x＋y＝90.
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7．某公园中央的地上有一个大理石球，小明想测量球的半
径，于是找了两块厚20 cm的砖塞在球的两侧(如图)，他
第2章 圆 全章整合与提升
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1B
6A
2B
3A 4 32或65 5
7D
8
5 12
9 155°
10 B
答案呈现
11
2 2
12 C
13 1
16 36° 17 4 18 60°或120°
14 2π 15 12－134π
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1．下列说法正确的是( B ) A．长度相等的弧叫作等弧 B．同圆或等圆的半径相等 C．经过圆心的线段是直径 D．顶点在圆上的角叫作圆周角
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5．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD 交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD的延长线 于点E，连接BE.
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(1)直线BE与⊙O相切吗？请说明理由； 解：相切．理由：如图，连接OD. ∵CD为⊙O的切线， ∴∠ODC＝∠ODE＝90°. ∵OE∥AD，∴∠DAO＝∠EOB，∠ADO＝∠EOD. ∵AO＝OD，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠EOD＝∠EOB.
＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD 沿 OD 翻折后与
△ COD 重合．其中正确的有( A )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
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4．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB 为半径，点O为圆心的圆与AC相切于点A，D是BC边上 的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为__32_或__65__.
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8．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以AB为直径在矩形内 作半圆，DF切半圆于点E(如图)，则tan∠CDF的值为 5 ____1_2___．
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9．如图，点 A，B，C，D，E 在⊙O 上，且A︵E所对的圆周角 为 25°，则∠B＋∠CDA＝___1_5_5_°__．
42－(2 2)2＝2 2，∴cos C＝cos D＝OBDD＝ 22.
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12．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D， E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的 是( C ) A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF
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13．如果一个等边三角形的外接圆的半径为2，那么它的内 切圆的半径为____1____．