函数的极限

有|f(x)−A|<
❖单侧极限
若当 x→x0−时 f(x) 无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数f (x) 当 x→x0 时的左极限 记为
或 f(x0−)=A .
•精确定义
0 d 0 当 x0−dxx0 有 |f(x)−A|<
注:
x→x0− 表示 x 从 x0 的左侧(即小于 x0 )趋于 x0 , x→x0+ 表示 x 从 x0 的右侧(即大于 x0)趋于 x0 .
函数的极限
一、函数极限的定义 二、函数极限的性质
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函数极限的基本类型
自变量变化过程的六种形式:
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自变量趋于无穷大时函数的极限
如果当 |x| 无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数 A 叫做函数 f(x) 当 x→ 时的极限 记为
•精确定义
lim f (x)=A
x→
例例16： 证 明 lim 1 = 0 x→ x
证明：因 为
0
X
=
1
0
当|x|X 时
有
| f (x) − A|=| 1 − 0 |= 1
x |x|
所 以 lim 1 = 0 x→ x
分析 | f (x) − A|=| 1 − 0 |= 1 x |x|
0
要使|f(x)−A|
只
要|
x
|
当 x 满足不等式 0<|x−x0|d 时 对应的函数值 f(x)都满
足不等式
|f(x)−A|
那么常数 A 就叫做函数 f(x) 当 x→x0 时的极限 记为
lim
x→ x0
f (x)= A
或
f (x)→ A (当
x→x0
)
•定义的简记形式
lim
x→ x0
f(x)=A或f(x>)0→ A(dx→>0x0当)。0<|x−x0|<d
lim
n→
f
(xn )
=
lim
x→x0
f
( x).
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x→
❖极限的定义的几何意义
0:
X0:
当 |x|>X时 有 |f(x)−A|<.
•水平渐近线
如 果 lim f(x)=c 则 直 线 y=c 称 为 函 数 y=f (x)的 图 形 的 x→
水平渐近线
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lim f (x)=A 0 X0 当 |x|X 时 有 |f(x)−A|
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lim
x→ x0
f(x)=A
或
f(x)>→0A(xd→>0x0)当。 0<|x−x0|<d
有|f(x)−A|<
❖单侧极限
若当 x→x0+ 时 f(x) 无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f(x) 当 x→x0 时的右极限 记为
或 f(x0+) = A .
•精确定义
当 |x−x0|小于某一正数 d 后 |f(x)−A| 能小于给定的 正数
任给 0 存在 d 0 使当 |x−x0|d 时 有 |f(x)−A|
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❖函数极限的精确定义
设函数 f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义 如果存
在常数 A 对于任意给定的正数 总存在正数 d 使得
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lim
x→ x0
f(x)=A
或
f(x)>→0A(xd→>0x0)当。 0<|x−x0|<d
有
|f(x)−A|<
例例32：证 明 lim (2x −1) =1
x→1
证明: 因为 0 d = /2 当 0|x−1|d 时 有
|f(x)−A| = |(2x−1)−1| = 2|x−1|
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自变量趋于有限值时函数的极限
❖函数极限的通俗定义
如果当 x 无限地接近于 x0 时 函数 f(x) 的值无限地接
近于常数 A 则常数 A 就叫做函数 f(x) 当 x→x0 时的
极限 记作 分析:
lim
x→ x0
f (x)= A
或
f (x)→ A (当
x→x0
)
当 x→x0 时 f(x)→A 当 |x−x0|→0 时 |f(x)−A|→0
x→ x0
x→ x0−
x→ x0+
例3：函数
f
(x)
=
x
−1 0
x0 x=0
x +1 x 0
当 x→0 时的极限不存在
这是因为
lim f (x) = lim (x −1) = −1
x→0−
x→0−
lim f (x) = lim (x +1) =1
x→0+
x→0+
lim f (x) lim f (x)
有
|f(x)−A|<
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lim
x→ x0
f(x)=A
或
f(x)→>0A (x→d>x00)。当
0<|x−x0|<d
有
|f(x)−A|<
❖函数极限的几何意义
>0:
d >0:
当 0|x−x0|d 时 |f(x)−A| :
y=f(x)
A+
A
A−
x0−d x0 x0+d
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0 d 0 当 x0xx0+ d 有 |f(x)−A|<
•结论
lim f (x) = A lim f (x) = A 且 lim f (x) = A
x→ x0
x→ x0−
x→ x0+
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lim f (x) = A lim f (x) = A 且 lim f (x) = A
x→0−
x→0+
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函数极限的性质
❖定理1(函数极限的唯一性) 如果当 x→x0 时 f(x) 的极限存在 那么这极限是唯一的
❖定理2(函数极限的局部有界性) 如果 f(x)→A (x→x0) 那么 f(x) 在 x0 的某一去心邻域 内有界
❖定理3(函数极限的局部保号性) 如果 f(x)→A (x→x0) 而且 A0 (或 A0 ) 那么在 x0的 某一去心邻域内 有 f(x)0 (或 f(x)0 )
所 以 lim (2x −1) =1
x→1
分析 |f(x)−A| = |(2x−1)−1| = 2|x−1|
>0 要使 |f(x)−A|< 只要 |x−1|< /2
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lim
x→ x0
f( x ) = A 或 f( x)>→0 A( xd→>0x0当) 。0<|x−x0|<d
•推论
如果在 x0 的某一去心邻域内 f(x)0 (或 f(x)0 ) 而且
f(x)→A (x→x0) 那么 A0 (或 A0)
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函数极限的性质
❖定理4(函数极限与数列极限的关系)
如果当 x→x0 时 f(x) 的极限存在 {xn}为在 f(x) 的定 义域内任一收敛于 x0 的数列，且满足 xn x0 (n Z + )， 那么相应的函数值数列 {f( xn)} 必收敛，并且
x→
lim f (x)=A 0 X0 当 |x|X 时 有 |f(x)−A|
x→
类似地可定义
•结论
lim f (x)=A 和 lim f (x)=A
x→−
x→+
结 论 lim f (x)=A lim f (x)=A 且 lim f (x)=A
x→
x→−
x→+
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lim f (x)=A 0 X0 当 |x|X 时 有 |f(x)−A|