安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(PDF版)

2， 0 ，则点



a 2 6 x2 y 2 ，所以椭圆方程为 …………………………5 分 1. 解得 2 6 3 b 3 (II)当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 x 2 ，由（1）知，
M 2， 2 ，N 2， 2 ， OM 2， 2 ，ON 2， 2 ，OM ON 0 ，∴ OM ON .
1 k 2m
2
2
6 4k 2 m 2 m 2 2k 2 1 2k 2 1
2 2 3m 2 6k 2 6 3 2k 2 6k 6 0， 2k 2 1 2k 2 1
∴ OM ON . 综上所述，圆 O 上任意点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M ，N ，都有 OM ON . 2 在 RtOMN 中，由 OMP 与 NOP 相似，可得 OP PM PN 2 为定值. …………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) (I)易知 x 1 ，且 f x e x 则 h x e x
2 2 ∴ cos 2 ， 6 3 1 2 6 ∴ cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin . 6 6 6 6 6 6 6 ………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) (I)取 CD 的中点 M，连结 EM，BM. 由已知得 BCD 为等边三角形，∴ BM CD . ∵ AD AB 2, BD 2 3 ， ∴ ADB ABD 30, ∴ ADC 90, ∴ BM // AD . 又∵ BM 平面 PAD ， AD 平面 PAD ， ∴ BM ∥平面 PAD . ∵ E 为 PC 的中点，M 为 CD 中点，∴ EM ∥ PD . 又∵ EM 平面 PAD ， PD 平面 PAD . ∴ EM ∥平面 PAD . ∵ EM BM M ，∴平面 BEM ∥平面 PAD ，
n1 n2 n1 n2 13 1 13 13
13 . 13
………………………12 分
∴ cos n1 , n2
设二面角C PD B 的大小为 ，则 cos
19.(本小题满分 12 分) (I) x 0.06 34 0.18 38 0.20 42 0.28 46 0.16 50 0.10 54 0.02 58 44.72 45 ； …………………………5 分 (II)由题意知， 39.2， 50.8 ， P 39.2 t 50.8 0.6826 ，
合肥市 2019 年高三第一次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 D 8 D 9 C 10 C 11 B 12 A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13 2 2 6 14.1 15. 3， 16. 2n 4n 13. 1， 2 3 3 三、解答题： 17.(本小题满分 12 分) 3 1 3 1 (I)∵ f x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ， 2 2 2 2 6 ∴函数 f x 的最小正周期为T . …………………………5 分 (II)由 f
h 0 f 0 0 .
1
x 1
2
1 1 . 令h x ex ， x 1 x 1 1 上 单 调 递 增 ， 且 0 ， ∴ 函 数 h x ex 在 x 1， x 1
可知，当 x 1， 0 时， h x f x 0 ， f x e x ln x 1 单调递减；








当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为 y kx m ，
高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）
M x1，y1 ，N x2，y2 ，
则
m k 1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ，即 m 2 2 k 2 1 .
2
联立直线和椭圆的方程得 x 2 2 kx m 6 ，
0 0
1 a. x0 1
∴ g x0 1 x0 e x ln x0 1 1
0
1 . x0 1
高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页）
令 x 1 x e x ln x 1 1
0 时， x 0 ， x 单调递增； 可知，当 x 1，
23.(本小题满分 10 分)
x 1 0 x 1 0 1 或 x (I) f x 2 x 2 ，即 x 1 >2 2 x 3 x 1>2 2 x x 1>2 2 x 1 ∴ 实数 x 的取值范围是 ， . ………………………5 分 3 (a 1) x 2， x ，-1 1 1 (II) ∵ a 1 ，∴ 1 ， g x (1 a ) x， x 1， ， a a 1 a 1 x 2， x ， a 1 1 时 单 调 递 减 ， 在 x ， 易 知 函 数 g x 在 x ， 时 单 调 递 增 ， 则 a a 1 1 g x min g 1 . a a 1 1 ∴ 1 ，解得 a 2 . …………………………10 分 a 2
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
∵ BE 平面 BEM ， ∴ BE ∥平面 PAD . …………………………5 分 (II)连结 AC，交 BD 于点 O，连结 PO. 由对称性知，O 为 BD 中点，且 AC BD ，PO BD 平面 PBD 平面 ABCD , PO BD ， PO 平面 ABCD ， PO AO 1 ， CO 3 . 以 O 为坐标原点，OC 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O xyz . 易知平面 PBD 的一个法向量为 n1 1, 0, 0 . 设平面 PCD 的法向量为 n2 x，y，z ， 则 D (0， 3 ，0)， C (3，0，0)， P (0，0，1).

n2 DC 0 则 n2 DC , n2 DP ，∴ . n2 DP 0
∵ DC (3, 3 ,0) ， DP (0, 3 ,1) ，∴ 令y
3x 3 y 0 . 3 y z 0
3 ，得 x 1, z 3 ，∴ n2 (1, 3 ,3)
时， h x f x 0 ， f x e x ln x 1 单调递增. 当 x 0，
∴函数 f x 的单调递减区间是 1， 0 ， . 单调递增区间是 0， (II)∵ g x f x ax e ln x 1 ax ，∴ g x f x a . 上单调递增， 由(I)知， g x 在 x 1，
1 1 可得 sin 2 . 6 3 3 7 ∵ 0, ， ∴ 2 ， . 6 6 6 2 1 1 又∵ 0 sin(2 ) , ∴ 2 + , , 6 2 6 3 2
50.8 的人数约为10000 0.6826 6826 (人)； 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间 39.2，
…………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 由椭圆的离心率为 (I)设椭圆的半焦距为 c ， 易求得 A
2 x2 y2 b c，a 2b ， 知， 则椭圆方程为 2 2 1 . 2b 2 b 2 2 2， 2 在椭圆上，所以 2 2 1 ， 2b b
0 4km ∴ 1 2k 2 x 2 4kmx 2m 2 6 0 ，得 x1 x2 2 . k 1 2 2m 2 6 x x 1 2 2k 2 1 ∵ OM x1，y1 ， ON x2，y2 ， ∴ OM ON x1 x2 y1 y2 x1 x2 kx1 m kx2 m 1 k 2 x1 x2 km x1 x2 m 2 1 k 2 4km 2m 2 6 km 2 m2 2 2k 1 2k 1
1 1 ，则 x x e x . 2 x 1 x 1
∴ 函数 g x 极小值的最大值为 1.
时， x 0 ， x 单调递减， ∴ x max 0 1 . 当 x 0，
x
……………………5 分
当 x 1 时， g x ；当 x 时， g x ，则 g x 0 有唯一解 x0 . 可知，当 x 1，x0 时， g x 0 ， g x e x ln x 1 ax 单调递减； 当 x x0， 时， g x 0 ， g x e x ln x 1 ax 单调递增， ∴ 函数 g x 在 x x0 处取得极小值 g x0 e x ln x0 1 ax0 ，且 x0 满足 e x
1 1 ∴ AOB 的面积 S OA OB sin AOB 4 sin 4 cos sin 2 2 3 3 2 cos 2 3 ， 6 23 ∴ 当 时， Smax 2 3 ………………………10 分 12
…………………………12 分
22.(本小题满分 10 分) (I) C1 : x 2 y 2 1 ， C2 : =2 cos ，则 2 =2 cos ，∴ x 2 y 2 2 x . 1 1 x1 x2 2 2 x y 1 2 2 ，解得 ， ， 联立方程组得 2 2 x y 2x y 3 y 3 1 2 2 2 1 3 1 3 ∴ 所求交点的坐标为 ………………………5 分 2 ， 2 . 2， 2 ， (II)设 B ， ，则 =2 cos ,