八年级数学下册第19章四边形19.3矩形菱形正方形2菱形第2课时菱形的判定课件新版沪科版

第19章
四边形
菱形
第1课时菱形的判定
导入新课C §当堂练习C—Q课堂小结
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判
定定理.（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
（难点）
导入新课 复习引入
问题 矩形的定义是什么？性质有哪些？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
两组对边平行
四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
一组邻边相等
菱形 边
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言
:四边形A8CD是平行四边形，A
AB=AD,
「・四边形A8CZ）是菱形. 思寇还有其他的判定方法吗? B D
讲授新课
Ei四条边相等的四边形是菱形
线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形
小刚：分别以A、C为心，以
AB CD,使A。

为菱形的一条对
角线吗?
大于!AC的长为半径作弧，两条
弧分别相交于点8 , D,依次连接
想一想：根据小刚的作法你有什么猜测？你能验证小刚的作法对吗？
猜测：四条边相等的四边形是菱形.
A、B、Cx。

四点.
证证
：如图，四边形A8CQ中,A方三BC=CQ=AD
求证：四边形A8CQ是菱形. 证明:二加二BC二CD 二AD,
y/AB=BC,
・・・AB=CD , BC=AD.
.•・四边形ABC。

是平行四边形.
.・・四边形ABCD是菱形.
归纳总结
菱形的判定定理:
几何语言描述：
•.•在四边^ABCD 中，AB=BC=CD=AD, 二四边形
A8CQ 是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形
四边^ABCD
菱形ABCD D
练一练
以下命题中正确的选项是
A.—组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
［典例精析］
例1如图，在aLBC中,AD是角平分线，点E、F分别在AB. AD±^AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CD以是菱形.
证明：,•* AD是角平分线,.•./1二匕2,
又・.・AE=AC,AQ=AD,
.・.△AGD# AAED (SAS). 同理△△
CF^AAEF(SAS).
・.・ CD=ED, CF=EF.
又EF=ED,:. CD=ED=CF=EF,
.•・四边形ABCQ是菱形.
例2 如图，在△ABC中，ZB=90°, AB=6cm, BC=8cm.将左ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF, A, B,。

的对应点分别是D, E, F,连接AD求证：四边形AC”D是菱形.证明：由平移变换的性质得CF=AD= 10cm, DF=AC.
•匕B=90 9 AB=6cm, BC=^8cm,
AC = 7 AB2 + BC2= A/62+82 = 10
（cm）.
.\AC=DF=AD— CF = 10cm, 四边形
ACHD是菱形.
归纳
例3如图，顺次连接矩^ABCD各边中点，得到四边形EFGH,求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连接AC、BD.
・.•四边形ABCQ是矩形，
:.AC=BD.
・.•点E、F、G、H为各边中点,
E = GH*D, FG = EH=：AC.
:.EF=FG=GH=HE, .•・四边形EFGH是菱形.
【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形
ABCZ＞各边中点，得到四边形是什么四边形?
解：连接AC、BD.
..•点、E、F、G、H为各边中点，
1 1
.•.EF = GH=—BD, FG = EH
2 2
又\9AC=BD,
:.EF=FG=GH=HE, D G C
:.四边形EFGH是菱形.
拓展1如图，顺次连接平行四边形48CD 各边中点，得 ・.•点
E 、
F 、
G 、
H 为各边中点，
1 1
:,EF = GH=-BD, FG = EH = AC, 2 2
.・・四边形EFGH 是平行四边形. 拓展2如图，假设四边形A8CD 是菱形，顺次连接菱形 ABCD 各边中点，得到四边形是什么四边形?
到四边形应GH 是什么四边形?
解：连接AC 、BD.
四边形EFGH是矩形。

o o
思考在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形, 你能进一步判断重叠局部A8CD的形状吗？
/>F D r证明过程—
分析：易知四边形人成刀是平行四边形，只需证一组邻边相等或对房线互相垂直即可.
由题意可知边上的高和CQ边上的高相等，
然后通过证△ ABE^AADF,即得
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
前面我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固
定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜测？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证一证
：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC 与8D相交于点0, ACLBD.
求证：248CD是菱形.
四边形A8CQ是平行四边形.
证明:
・.・ OA=OC.
X'/ACXBD,
...8D是线段AC的垂直平分线.
・.・ BA=BC.
.・・四边形A8CQ是菱形（菱形的定义）.
归纳总结
平行四边形的判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC±BD
菱形AMD 几何语言描述：
•.•在Q48CD中，ACXBD,
「・ZZZ48CD是菱形.
例4如S,^ABCD的两条对角线AC、8Q相交于点O, AB=5, A0=4, BO-3.
求证：四边形ABC。

是菱形.
证明：•「OA=4,OB=3,A8=5, ・•・
AB2=OA2+OB2,
・•・ZVIOB是直角三角
形, 即ACXBD,
四边形A8C£）是菱形.
例5如图，矩A8CQ的对角线AC的垂直平分线与边AQ、8C分别交于点E、求证：四边形AHCE是菱形.
证明：四边形ABCD是矩形，・・・AE〃FG AZ1=Z2.
•.* EF®直平分AC,
:.AO = OC.
^ZAOE^ZCOF,
:.AAOE^ △ COF, :. EO
=FQ .•・四边形AFCE是平行四
边形.
又VEFXAC,
「・四边形AFCE是菱形.
在四边形ABCD中，对角线AC, 8D互相平分，假设添加一个条件使得四边形A8CQ是菱形，那么这个条件可以是（B）
A. ZABC=90°
B.AC±BD
C.AB=CD
D.AB//CD
自菱形的性质与判定的综合运用
例6如图，在左ABC中，D、E分别是A8、AC的中点, BE=2DE,延长DE到点比使得EF=BE,连接CF.
(1)求证：四边形8C所是菱形；
(1)证明:3、E分别是A氏AC的中点,
:.DE//BC 宜2DE=BC.
A
又・.・BE=2DE, EF=BE,
:.EF=BC, EF//BC,
.・・四边形是平行四边形.
又9：EF=BE,
二四边形是菱形.
(2)假设CE=4, ZBCF= 120°,求菱形8CFE的面积.
(2)解：VZBCF= 120° ,
.1
:.ZEBC=60° ,
.•.△EBC是等边三角形，
「・菱形的边长为4,高为2右，
..・菱形的面积为4 x 2A/3 = 8后
归纳
一-=
箜一练
如图，在平行四边^ABCD中，AC平分ZDAB, AB=2,求平行四边形A8CZ）的周长.
解：.・・四边形A8CZ）为平行四边形,
:.ZDAC^ZACB, ZBAC^ZACD. •「AC 平分ZD48, :.ZDAC=ZBAC,
:.ZDAC^ZACD,
:.AD=DC,
B
二四边形ASCD为菱形，
「・四边形AB CD的周长=4 X 2=8.
当堂练习
1.判断以下说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；X
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；V
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；X
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组X
对角的四边形是菱形.
2.—边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为
24cm和26cm,那么平行四边形的面积是312cm2 .
3.如图，将左ABC沿BC方向平移得到△ DCE,连接AD, 以下条件能够判定四边形ACED为菱形的是（B ）A. AB=BC B.
C.匕3=60°
D.
解析：..•将△ ABC沿BC方向平移得到△QCE,
:.AC^DE, AC=DE,
.・・四边形A8"为平行四边形.
当AO8C时，
平行四边形ACED是菱形. 应选B.
4.如图，矩ffMBCD的对角线相交于点O, DE〃
AC, 求证：四边形0CED是菱形.
证明：・：DE〃AC, CE〃BD,
.•・四边形0CEZ）是平行四边
形.
B C ..•四边形ABCD是矩形，
・.・ OC=OD,
.・・四边形OCEQ是菱形.
5.如图，△A8C中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点。

，CE以48交初V于点E,连接AE、CD 求证：四边形AQCE是菱形.
证明：..・"V是AC的垂直平分线，
:.AE=CE, AD=CD, OA=OC, /AOD=/EOC=90° .
,：CE〃AB,
・.・ ZDAO=ZECO,
:.AADO^ACEO (ASA).
:.AD=CE, OD=OE,
OD=0E, OA^OC, / .
.・・四边形AQCE是平行四边形.B C
又V ZAOD=90° ,..・四边形AQCE是菱形.
6.如图，在平行四边形A8CQ中，用直尺和规作ZBAD^i 平分线交于点旦连接ER
(1)求证：四边形A8砰为菱形；
(2)AE, 8F相交于点0,假设BF=6, AB=5,求AE的长.
(1)证明：由尺规作ZBAF的平分线的过程可得
AB=AF, ZBAE=ZFAE,
・.•四边形A8CD是平行四边形，
:.AD//BC, :. ZFAE=ZAEB,
:.ZBAE^ZAEB, :.AB^BE,
/. BE=FA,..•四边形ABES为平行四边形, *：AB=AF,
.•・四边形A8EF为菱形.
:\片＜.- ・
*,.
.•* ■:虹
(2) AE,砰相交于点O,假设BF=6, AB=5,求AE的长.
解：
四边
形A8EF为菱形，
:.AE±BF, BO三FB=3, AE^2AO, 在RtAAOB
中，由勾股定理得AO=4,
.\AE=2AO=8.
d 乎相等的四边形是菱形.
I SJ ］对角线互相垂直的平行四边形 是菱
形. 运用定理进行计算和证明 课堂水结 定义法㈡ 有一组邻边相等的平行四边 形是菱形.
菱形的
判定。