2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3.1 空间中向量的概念和运算含解析

3．1空间中向量的概念和运算
第一课时　空间中向量的概念和线性运算
[读教材·填要点]
1．向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量．
2．用有向线段表示向量
要表示向量a，可以从任意一点A出发作有向量线段AB，使AB的方向与a相同，长
―→
度|AB|等于a的模，则有向线段AB表示向量a，记为a＝.
AB
3．空间向量加法的运算律
(1)a＋b＝b＋a.(加法交换律)
(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(加法结合律)
4．向量与实数相乘
(1)向量与实数相乘：任何一个向量a都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行．
(2)①λ(a＋b)＝λa＋λb.(对向量加法的分配律)
②(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.(对实数加法的分配律)
[小问题·大思维]
1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？
提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样．
2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？
提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．
3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？
提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的．
4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？
提示：a ，b 共线时， 这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件．
空间向量的线性运算
已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射
影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：
(1)＝＋x ＋y ；
O Q ―→ P Q ―→ PC ―→ PA ―→ (2)＝x ＋y ＋.
PA ―→ PO ―→ P Q ―→ PD ―→ [自主解答]　
如图，
(1)∵＝－O Q ―→ P Q ―→ PO
―→ ＝－(＋)
P Q ―→ 12PA ―→ PC ―→ ＝－－，
P Q ―→ 12PA ―→ 12PC ―→ ∴x ＝y ＝－.
12
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
PA ―→ PC ―→ PO ―→ PA ―→ PO ―→ PC ―→ 又∵＋＝2，∴＝2－.
PC ―→ PD ―→ P Q ―→ PC ―→ P Q ―→ PD ―→
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
PA ―→ PO ―→ P Q ―→ PD ―→ PO ―→ P Q ―→ PD ―→ ∴x ＝2，y ＝－2.
本例中，若＝x ＋y ＋z ，则x ，y ，z 为何值？
P Q ―→ BA ―→ BC ―→ BP ―→
解：∵＝＋＋＝－＋＋P Q ―→ PB ―→ BC ―→ C Q ―→ BP ―→ BC ―→ 12CD
―→
＝－＋＋＝＋－，
BP ―→ BC ―→ 12BA ―→ 12BA ―→ BC ―→ BP ―→
∴x ＝，y ＝1，z ＝－1.
1
2
利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．
应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．
1.如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1) ＋；
CB ―→ BA 1―→ (2) ＋＋；
AC ―→ CB ―→ 12AA 1―→ (3)－－.
AA 1―→ AC ―→ CB ―→ 解：(1)＋＝.
CB ―→ BA 1―→ CA 1―→ (2)因为M 是BB 1的中点，所以＝.
BM ―→ 12BB 1―→
又＝，所以＋＋＝＋＝.
AA 1―→ BB 1―→ AC ―→ CB ―→ 12AA 1―→ AB ―→ BM ―→ AM ―→ (3)－－＝－＝.
AA 1―→ AC ―→ CB ―→ CA 1―→ CB ―→ BA 1―→ 向量，，如图所示．
CA 1―→ AM ―→ BA 1―→
共线问题
空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别在边CB ，CD 上，
且＝， ＝.判断与是否共线？若共线，并判断四边形EFGH 的
CF ―→ 23CB ―→ CG ―→ 23CD ―→ EH ―→ FG ―→
形状．
[自主解答]　根据题意，
∵＝－， ＝－，
EH ―→ AH ―→ AE ―→ BD ―→ AD ―→ AB ―→ 又∵＝，∴＝.
AH ―→ 12AD ―→ AE ―→ 12AB ―→ ∴＝.①
EH ―→ 12BD ―→
∵＝－，＝－，
FG ―→ CG ―→ CF ―→ BD ―→ CD ―→ CB ―→ 又∵＝，＝，
CG ―→ 23CD ―→ CF ―→ 23CB ―→ ∴＝(－)＝.②
FG ―→ 23CD ―→ CB ―→ 23BD ―→ 由①②得，＝.
EH ―→ 34FG ―→ ∴与共线．
EH ―→ FG ―→
∴EH ∥，且||≠||.
FG ―→ EH ―→ FG ―→ 又∵点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG 且|EH |≠|FG |.∴四边形EFGH 为梯形．
判断空间图形中两个向量共线的步骤为：(1)作出空间图形；
(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a 与b ；(3)化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．
本例中，如果F ，G 分别是边CB ，CD 的中点，你能判断出EFGH 是什么四边形吗？解：若F ，G 分别是边BC ，CD 的中点，
∵＝－，＝－，
EH ―→ AH ―→ AE ―→ BD ―→ AD ―→ AB ―→ ＝，＝，AH ―→ 12AD ―→ AE ―→ 12AB ―→ ∴＝.①
EH ―→ 12BD ―→
∵＝－，＝－，
FG ―→ CG ―→ CF ―→ BD ―→ CD ―→ CB ―→ 又∵＝，＝，
CG ―→ 12CD ―→ CF ―→ 12CB ―→ ∴＝(－)＝.②
FG ―→ 12CD ―→ CB ―→ 12BD ―→ 由①②，得＝，
EH ―→ FG ―→ ∴∥且||＝||.
EH ―→ FG ―→ EH ―→ FG ―→
又∵点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG 且|EH |＝|FG |.∴四边形EFGH 是平行四边形．
2.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且 A 1E
―→ ＝2，F 在对角线A 1C 上，且＝.求证：E ，F ，B 三点共ED 1―→ A 1F ―→ 23FC ―→ 线．
证明：设＝a ，＝b ，＝c .
AB ―→ AD ―→ AA 1―→ ∵＝2，＝，
A 1E ―→ ED 1―→ A 1F ―→ 23FC ―→
∴＝，＝.
A 1E ―→ 23A 1D 1―→ A 1F ―→ 25A 1C ―→ ∴＝＝b ，
A 1E ―→ 23AD ―→ 23＝(－)A 1F ―→ 25AC ―→ AA 1―→ ＝(＋－)
25AB ―→ AD ―→ AA 1―→ ＝a ＋b －c .25252
5∴＝－EF ―→ A 1F ―→ A 1E
―→
＝a －b －c 2541525＝.25(
a －2
3
b －
c )
又＝＋＋＝－b －c ＋a
EB ―→ EA 1―→ A 1A ―→ AB ―→ 2
3＝a －b －c ，
2
3∴＝.
EF ―→ 25EB ―→
所以E ，F ，B 三点共线．
共面问题
已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足＝＋＋
OM ―→ 13OA ―→ 13OB ―→ 1
3
.OC ―→
(1)判断， ， 三个向量是否共面；
MA ―→ MB ―→ MC ―→
(2)判断M 是否在平面ABC 内．
[自主解答]　(1)∵＋＋＝3，
OA ―→ OB ―→ OC ―→ OM ―→
∴－＝(－)＋(－)＝＋.
OA ―→ OM ―→ OM ―→ OB ―→ OM ―→ OC ―→ BM ―→ CM ―→
∴＝＋＝－－.
MA ―→ BM ―→ CM ―→ MB ―→ MC ―→ ∴向量，，共面．
MA ―→ MB ―→ MC ―→
(2)由(1)向量，，共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，
MA ―→ MB ―→ MC ―→
∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．
利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．
向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．
3．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面．(2)BD ∥平面EFGH .证明：如图，连接EG ，BG .
(1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝
EG ―→ EB ―→ BG ―→ EB ―→ 12BC ―→ BD ―→ EB ―→ BF ―→ EH ―→
＋，
由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．EF ―→ EH ―→
(2)因为＝－＝－＝，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，
EH ―→ AH ―→ AE ―→ 12AD ―→ 12AB ―→ 12BD ―→
BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
如图，已知斜三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，点M ，N 分别在面对
角线AC ′，棱BC 上，且AM ＝kAC ′，BN ＝kBC (0<k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB ′A ′.
[巧思]　要证明MN ∥平面ABB ′A ′，只要证明向量可以用
MN ―→
平面ABB ′A ′内的两个不共线的向量线性表示即可，但要注意指明MN 不在平面ABB ′A ′内．
[妙解]　因为M 在AC ′上，且AM ＝kAC ′，所以＝k ＝k ＋k ，
AM ―→ AC ′―→ AC ―→ AA ′―→
又＝＋＝＋k ＝＋k (－)＝(1－k )＋k ，
AN ―→ AB ―→ BN ―→ AB ―→ BC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AB ―→ AC ―→ 所以＝－＝(1－k )＋k －k －k ＝(1－k )－k .
MN ―→ AN ―→ AM ―→ AB ―→ AC ―→ AC ―→ AA ′―→ AB ―→ AA ′―→ 因为与不共线，由共面向量定理，可知，，共面．
AB ―→ AA ′―→ MN ―→ AB ―→ AA ′―→ 因为0<k ≤1，所以MN ⊄平面ABB ′A ′，所以MN ∥平面ABB ′A ′.
1．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD
AO ―→ OB ―→ DO ―→ OC ―→ 是( )
A ．平行四边形
B ．空间四边形
C ．等腰梯形
D ．矩形
解析：∵＋＝＋，
AO ―→ OB ―→ DO ―→ OC ―→
∴＝.
AB ―→ DC ―→
∴∥且||＝||.
AB ―→ DC ―→ AB ―→ DC ―→ ∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：A
2．已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
AB ―→ AC ―→ BC ―→ AB ―→ AC ―→ BC ―→ A ．＝＋
B ．＝－－AB ―→ A
C ―→ BC ―→
AB ―→ AC ―→ BC
―→
C ．与同向
D ．与同向
AC ―→ BC ―→
AC ―→ CB ―→
解析：由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．答案：D
3.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(＋)＋；
AB ―→ BC ―→ CC 1―→
②(＋)＋；
AA 1―→ A 1D 1―→ D 1C 1―→ ③(＋)＋；
AB ―→ BB 1―→ B 1C 1―→
④(＋)＋中，运算结果为向量的共有( )
AA 1―→ A 1B 1―→ B 1C 1―→ AC 1―→
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：①(＋)＋＝＋＝；
AB ―→ BC ―→ CC 1―→ AC ―→ CC 1―→ AC 1―→ ②(＋)＋＝＋＝；
AA 1―→ A 1D 1―→ D 1C 1―→ AD 1―→ D 1C 1―→ AC 1―→
③(＋)＋＝＋＝；
AB ―→ BB 1―→ B 1C 1―→ AB 1―→ B 1C 1―→ AC 1―→ ④(＋)＋＝＋＝.
AA 1―→ A 1B 1―→ B 1C 1―→ AB 1―→ B 1C 1―→ AC 1―→ 答案：D
4．对于空间中任意四点A ，B ，C ，D 都有＋－等于________．
DA ―→ CD ―→ CB ―→
解析：由向量加(减)法的三角形法则可知＋－＝＋＝.
DA ―→ CD ―→ CB ―→ DA ―→ BD ―→ BA ―→
答案：
BA ―→
5．已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中：①－＝；
AB ―→ CB ―→ AC ―→ ②＝；
AA ′―→ CC ′―→
③＋＋＋＝.
AB ―→ BB ′―→ BC ―→ C ′C ―→ AC ′―→ 其中正确的有________．
解析：①－＝＋＝，正确；②显然正确；③＋＋＋
AB ―→ CB ―→ AB ―→ BC ―→ AC ―→ AB ―→ BB ′―→ BC ―→ ＝(＋)＋(＋)＝＋0≠，错误．C ′C ―→ AB ―→ BC ―→ BB ′―→ C ′C ―→ AC ―→ AC ′―→
答案：①②
6.如图，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．证明：直线EE 1∥平面FCC 1.
证明：由题意知＝2，∵F 是AB 的中点，
AB ―→ DC ―→
∴＝＝，
AF ―→ 12AB ―→
DC ―→
∴四边形AFCD 是平行四边形，∴＝.
AD ―→ FC ―→ ∵E ，E 1分别是AD ，AA 1的中点，
∴＝－＝－＝－，
EE 1―→ AE 1―→ AE ―→ 12AA 1―→ 12AD ―→ 12CC 1―→ 12FC ―→
又与不共线，根据共面向量定理可知，，共面．
CC 1―→ FC ―→ EE 1―→ CC 1―→ FC ―→ ∵EE 1不在平面FCC 1内，∴直线EE 1∥平面FCC 1.
一、选择题
1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则＋(＋)等于( )
AB ―→ 12BD ―→ BC ―→
A ．
B ．AG ―→
CG
―→
C ．
D.BC ―→
12BC ―→
解析：＋(＋)＝＋×(2)＝＋＝.
AB ―→ 12BD ―→ BC ―→ AB ―→ 12BG ―→ AB ―→ BG ―→ AG ―→
答案：A
2.如图所示空间四边形ABCD ，连接AC ，B D ，设M ，G 分别是BC ，C D 的中点，则－＋
MG ―→ AB ―→
等于( )AD ―→
A. B ．332DB ―→ MG
―→ C ．3
D ．2GM ―→
MG
―→
解析：－＋＝－(－)
MG ―→ AB ―→ AD ―→ MG ―→ AB ―→ AD ―→
＝－＝＋MG ―→ DB ―→ MG ―→ BD
―→
＝＋2＝3.
MG ―→ MG ―→ MG ―→ 答案：B
3．给出下列命题：
①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；
AB ―→ BC ―→ CD ―→ DA ―→
②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；③若，共线，则AB ∥CD ；
AB ―→ CD ―→
④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若＝x ＋y ＋z (其
OP ―→ OA ―→ OB ―→ OC ―→ 中x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面．
其中不正确命题的个数是( )A ．1 B ．2C ．3
D ．4
解析：显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若，共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误
；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C AB ―→ CD ―→
四点才共面，故④错误．故选C.
答案：C
4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( )
A ．a ∥e 1
B ．a ∥e 2
C ．a 与e 1，e 2共面
D ．以上三种情况均有可能
解析：当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2；
当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1；
当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面．
答案：D
二、填空题
5．化简：－＋－－＝________.AB ―→ AC ―→ BC ―→ BD ―→ DA ―→
解析：原式＝(－)＋(－)－AB ―→ AC ―→ BC ―→ BD ―→ DA ―→
＝＋－＝－＝.CB ―→ DC ―→ DA ―→ DB ―→ DA ―→ AB ―→
答案： AB ―→
6．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知＝e 1＋ke 2，＝5e 1＋4e 2，＝－e 1AB ―→ BC ―→ DC ―→
－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值是________．
解析：∵＝5e 1＋4e 2，＝－e 1－2e 2，BC ―→ DC ―→
∴＝＋＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2，BD ―→ BC ―→ CD ―→
∵A ，B ，D 三点共线，
∴＝λ，∴e 1＋ke 2＝λ(6e 1＋6e 2)，AB ―→ BD ―→
∵e 1，e 2是不共线向量，∴Error!∴k ＝1.
答案：1
7.如图，已知空间四边形ABCD 中，＝a －2c ，＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD AB ―→ CD ―→
的中点分别为E ，F ，则＝________(用向量a ，b ，c 表示)．EF ―→
解析：设G 为BC 的中点，
连接EG ，FG ，
则＝＋EF ―→ EG ―→ GF ―→
＝＋12AB ―→ 12CD ―→
＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )1212
＝3a ＋3b －5c .
答案：3a ＋3b －5c
8．在空间四边形OABC 中，＝a ，＝b ，＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，OA ―→ OB ―→ OC ―→
N 为BC 的中点，给出以下向量：
①3a －4b ＋3c ；②－4a ＋3b ＋3c ；③3a ＋3b －4c ；
④a －b －c .43
其中与平行的向量是________(只填相应序号即可)．MN ―→
解析：由已知得＝－＝(＋)－＝－a ＋b ＋c .MN ―→ ON ―→ OM ―→ 12OB ―→ OC ―→ 23OA ―→ 231212
所以＝(－4a ＋3b ＋3c )＝－，故②④适合．MN ―→ 1612(43a －b －c )
答案：②④
三、解答题
9.如图，H 为四棱锥P ­ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝
HC ，点G 在AH 上，AG ＝mAH .四边形ABCD 为平行四边12形．若G ，
B ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．
解：连接BD ，BG ，
∵＝－ 且 ＝，AB ―→ PB ―→ PA ―→ AB ―→ DC ―→
∴＝－.DC ―→ PB ―→ PA ―→
∵＝＋，PC ―→ PD ―→ DC ―→
∴＝＋－PC ―→ PD ―→ PB ―→ PA ―→
＝－＋＋.PA ―→ PB ―→ PD ―→
∵＝，PH HC 12
∴＝＝(－＋＋)PH ―→ 13PC ―→ 13
PA ―→ PB ―→ PD ―→ ＝－＋＋PD .13PA ―→ 13PB ―→ 13
又∵＝－，AH ―→ PH ―→ PA ―→
∴＝－＋＋.AH ―→ 43PA ―→ 13PB ―→ 13PD ―→
∵＝m ，AG AH
∴＝m ＝－＋＋.AG ―→ AH ―→ 4m 3PA ―→ m 3PB ―→ m 3PD ―→
∵＝－＋＝－＋，BG ―→ AB ―→ AG ―→ PA ―→ PB ―→ AG ―→
∴＝＋＋.BG ―→ (1－4m 3)PA ―→ (m 3－1)
PB ―→ m 3PD ―→ 又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－＝0，∴m ＝.4m 334
10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为
DD 1和BB 1的中点．
(1)证明：四边形AEC 1F 是平行四边形；
(2)试判断A 1D 1是否平行于平面AEC 1F .
解：(1)证明：∵E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点，
∴＝＋＝＋，AE ―→ AD ―→ DE ―→ AD ―→ 12DD 1―→
＝＋＝＋.FC 1―→ FB 1―→ B 1C 1―→ 12BB 1―→
B 1
C 1―→ 又＝，＝，A
D ―→ B 1C 1―→ DD 1―→ BB 1―→
∴＝，即AE 綊FC 1，AE ―→ FC 1―→
∴四边形AEC 1F 是平行四边形．
(2)设A 1D 1平行于平面AEC 1F ，则存在x ，y ，使得＝x ＋y ，又＝＋A 1D 1―→ AE ―→ AF ―→ AE ―→ AD ―→
，＝＋＝＋，12DD 1―→ AF ―→ AB ―→ BF ―→ AB ―→ 12BB 1―→
∴＝x (＋)＋y (＋)A 1D 1―→ A D ―→ 12DD 1―→ A B ―→ 12BB 1―→
即(x －1)＋y ＋(x ＋y )＝0.A 1D 1―→ AB ―→ 12
BB 1―→ ∵，，不共面，∴不存在实数x ，y 使得上式成立，故不存在实数x ，y 可A 1D 1―→ AB ―→ BB 1―→
以使得＝x ＋y ，A 1D 1―→ AE ―→ AF ―→
∴A 1D 1不平行于平面AEC 1F .
第二课时　空间向量的数量积
[读教材·填要点]
空间向量的数量积
(1)定义：
已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫作a ，b 的数量积，记作a ·b .
即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
(2)运算律：
①(λa )·b ＝λ(a ·b )；
②交换律：a ·b ＝b ·a ；
③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .
(3)数量积的性质：(1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0.
(2)若a 与b 同向，则a ·b ＝|a |·|b |；若反向，则a ·b ＝－|a |·|b |.特别地：a ·a ＝|a |2或|a |＝.a ·a (3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝
.a ·b |a |·|b |
两个向量
数量积的
性质(4)|a ·b |≤|a |·|b |.[小问题·大思维]
1．已知三个非空向量a ，b ，c ，若a ·b ＝a ·c ，那么b ＝c 成立吗？
提示：不一定有b ＝c .
当a ⊥b ，a ⊥c 时，
a ·
b ＝a ·
c ＝0，
此时不一定有b ＝c .
2．已知向量a ，b ，对于|a ·b |＝|a |·|b |成立吗？
提示：|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |.
∴当a 与b 共线时，
|a ·b |＝|a ||b |，否则不成立．
数量积的计算
如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分
别是AB ，AD 的中点，求值：
(1)·；EF ―→ BA ―→
(2)·；EF ―→ BD ―→
(3)·；EF ―→ DC ―→
(4)·.AB ―→ CD ―→
[自主解答]　(1)·＝·EF ―→ BA ―→ 12BD ―→
BA ―→ ＝||||·cos 〈，〉12BD ―→
BA ―→ BD ―→ BA ―→ ＝cos 60°＝.1214
(2)·＝·＝||2＝.EF ―→ BD ―→ 12BD ―→ BD ―→ 12BD ―→ 12
(3)·＝·＝||·||cos 〈，〉＝cos 120°＝－.EF ―→ DC ―→ 12BD ―→ DC ―→ 12BD ―→ DC ―→ BD ―→ DC ―→ 1214
(4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos 〈，〉AB ―→ CD ―→ AB ―→ AD ―→ AC ―→ AB ―→ AD ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AD ―→ AB ―→ AD ―→
－||||cos 〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→
空间向量数量积的计算要充分利用向量所在的图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时要充分利用图形的特点以及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．
1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：∵p ⊥q 且|p |＝|q |＝1，
∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1.
答案：A
2．已知正四面体OABC 的棱长为1，求：
(1)·；(2)(＋)·(＋)．OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ CA ―→ CB ―→
解：(1)·＝||||cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝.OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ 12
(2)(OA ＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)OB ―→ CA ―→ CB ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OC ―→ OB ―→ OC ―→
＝(＋)·(＋－2)OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ OC ―→
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1. 利用数量积求两点间的距离
如图，已知线段AB ⊥平面α，B C ⊂α，C D ⊥BC ，D F ⊥平面α，且∠DCF ＝
30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．
[自主解答]　∵＝＋＋，AD ―→ AB ―→ BC ―→ CD ―→
∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋|AD ―→ AD ―→ AD ―→ AB ―→ BC ―→ CD ―→ AB ―→ BC ―→ CD ―→ AB ―→ BC ―→ CD ―→ |2＋2·＋2·＋2·.①AB ―→ BC ―→ BC ―→ CD ―→ AB ―→ CD ―→
∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴||＝||＝||＝2.②AB ―→ BC ―→ CD ―→
又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴·＝0.③AB ―→ BC ―→
∵CD ⊥BC ，∴·＝0.④CD ―→ BC ―→
把②③④代入①可得||2＝4＋4＋4＋2·＝12＋2||·||cos 〈，〉AD ―→ AB ―→ CD ―→ AB ―→ CD ―→ AB ―→ CD ―→
＝12＋8cos 〈，〉．⑤AB ―→ CD ―→
∵∠DCF ＝30°，从而∠CDF ＝60°.
又∵AB ⊥α，DF ⊥α，∴AB ∥DF .
∴〈，〉＝〈，〉＝60°.AB ―→ DC ―→ DF ―→ DC ―→
∴〈，〉＝120°.AB ―→ CD ―→
代入⑤式得到||2＝12＋8cos 120°＝8，AD ―→
∴||＝2.AD ―→
2即A ，D 两点间的距离为2.
2
求两点间的距离或线段长度的方法如下：
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a |＝，通过计算求出|a |，即得所求距离．
a 2
3．如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，
PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长．
解：∴＝＋＋，PC ―→ PA ―→ AD ―→ DC ―→
∴||2＝(＋＋)2PC ―→ PA ―→ AD ―→ DC ―→
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2|||PA ―→ AD ―→ DC ―→ PA ―→ AD ―→ AD ―→ DC ―→ DC ―→ PA ―→ AD ―→ |cos 120°DC ―→
＝61－12＝49.∴||＝7，即PC ＝7.PC ―→
利用数量积解决垂直问题
如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1
的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .
[自主解答]　设＝a ，＝b ，＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，A 1B 1―→ A 1D 1―→ A 1A ―→
|a |＝|b |＝|c |.
∵＝＋A 1O ―→ A 1A ―→ AO ―→
＝＋(＋)＝c ＋a ＋b ，A 1A ―→ 12AB ―→ AD ―→ 1212
＝－＝b －a ，BD ―→ AD ―→ AB ―→
＝＋＝(＋)＋OG ―→ OC ―→ CG ―→ 12AB ―→ AD ―→ 12CC 1―→
＝a ＋b －c .121212
∴·＝·(b －a )A 1O ―→ BD ―→ (c ＋12a ＋12b )
＝c ·b －c ·a ＋a ·b －a 2＋b 2－b ·a 12121212
＝(b 2－a 2)＝(|b |2－|a |2)＝0.1212
于是⊥，即A 1O ⊥BD .A 1O ―→ BD ―→
同理可证⊥，即A 1O ⊥OG .A 1O ―→ OG ―→
于是有A 1O ⊥平面GBD .
用向量法证明垂直关系的操作步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
4.如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .
证明：在△OAC 和△OAB 中，
OB ＝OC ，AB ＝AC ，
∴△OAC ≌△OAB .
∴∠AOC ＝∠AOB .
∵·＝·(－)OA ―→ BC ―→ OA ―→ OC ―→ OB ―→
＝·－·OA ―→ OC ―→ OA ―→ OB ―→
＝||·||cos ∠AOC －||·||cos ∠AOB ＝0，OA ―→ OC ―→ OA ―→ OB ―→
∴OA ⊥BC .
解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．
[巧思]　求B ，D 间的距离可以转化为求向量的模，但向量的模无法直接求出，BD ―→ BD ―→
可以转化为其他向量，注意折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，可以充分利用这种关系．
[妙解]　∵∠ACD ＝90°，
∴·＝0.同理·＝0.AC ―→ CD ―→ AC ―→ BA ―→
∵AB 与CD 成60°角，
∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.BA ―→ CD ―→ BA ―→ CD ―→
又＝＋＋，BD ―→ BA ―→ AC ―→ CD ―→
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·BD ―→ BA ―→ AC ―→ CD ―→ BA ―→ AC ―→ BA ―→ CD ―→ AC ―→ CD ―→
＝3＋2×1×1×cos 〈，〉．BA ―→ CD ―→
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，BA ―→ CD ―→ BD ―→
此时B ，D 间的距离为2；
当〈，〉＝120°时，||2＝2，BA ―→ CD ―→ BD ―→
此时B ，D 间的距离为.
2
1．设a ，b 为空间的非零向量，下列各式：①a 2＝|a |2；②＝；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2a ·b a 2b a
＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤(a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·a ；⑥向量a 在向量b 的方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由向量数量积的性质可知①正确；向量的数量积不满足消去律，故②不正确；(a ·b )2＝a 2·b 2·cos 2〈a ，b 〉≤a 2·b 2，故③不正确；由向量数量积的运算律知④正确；数量积不满足结合律，⑤不正确；|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 的方向上的投影，可正可负，⑥正确．
答案：C
2.已知正四面体A ­BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 夹角的余弦值为1414
( )
A. B.413
313C ．－D ．－
413313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A ­BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．
又＝＋＝＋，ED ―→ EA ―→ AD ―→ 14BA ―→
AD ―→ ＝＋＝＋，BF ―→ BC ―→ CF ―→ BC ―→ 14CD ―→
∴·＝·＋·＝4，ED ―→ BF ―→ 14BA ―→ BC ―→ 14AD ―→
CD ―→ ||2＝＋·＋＝1－4＋16＝13.ED ―→ 116BA ―→ 212BA ―→
AD ―→ AD ―→ 2||＝，同理||＝.ED ―→ 13BF ―→
13∴cos 〈，〉＝＝.ED ―→ BF ―→ ·| |||413
答案：A
3．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设＝a ，＝b ，＝c ，则a ·(b ＋c )AB ―→ AD ―→ AA 1―→
的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－2解析：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝0.
答案：B
4．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝，则cos 〈，〉的值π3
OA ―→ BC ―→ 为________．
解析：cos 〈，〉＝OA ―→ BC ―→ ·||·||
＝·(－)||·||
＝＝0.||||cos π3－||||cos π3||·||
答案：0
5．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________.解析：∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c
＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3，
∴|a －2b ＋c |＝.3答案：3
6．已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求：
(1)·；BC ―→ ED 1―→
(2)·.BF ―→ AB 1―→
解：如图所示，设＝a ，＝b ，＝c ，AB ―→ AD ―→ AA 1―→
则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，
a ·
b ＝b ·
c ＝c ·a ＝0.
(1)·BC ―→ ED 1―→
＝b ·[12(c －a )＋b ]
＝|b |2＝42＝16.
(2)·＝·(a ＋c )BF ―→ AB 1―→ (
c －a ＋12b )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.
一、选择题
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为( )①＝|a |；
a ·a ②m (λa )·
b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R)；
③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ；
④a 2b ＝b 2a .
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：∵a ·a ＝|a |2，∴＝|a |，故①正确．
a ·a m (λa )·
b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故②正确．
a ·(
b ＋
c )＝a ·b ＋a ·c ，
(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故③正确．
a 2·
b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，
故④不一定正确．
答案：D
2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．以上都不对解析：由已知c ＝－(a ＋b )，
所以|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，
即a ·b ＝.32
∴cos 〈a ，b 〉＝＝.a ·b |a |·|b |14
答案：D
3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )
A ．6
B ．62
C ．12
D ．144
解析：∵＝＋＋，PC ―→ PA ―→ AB ―→ BC ―→
∴2＝2＋2＋2＋2·PC ―→ PA ―→ AB ―→ BC ―→ AB ―→ BC ―→
＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.
∴|PC |＝12.
答案：C
4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝AB ―→ AC ―→ AC ―→ AD ―→ AB ―→ AD ―→
0，则△BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
解析：∵＝－，＝－，BD ―→ AD ―→ AB ―→ BC ―→ AC ―→ AB ―→
∴·＝(－)·(－)BD ―→ BC ―→ AD ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→
＝·－·－·＋||2＝||2>0，AD ―→ AC ―→ AD ―→ AB ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AB ―→
∴cos ∠CBD ＝cos 〈，〉＝>0，BC ―→ BD ―→ ·||·||
∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，
∴△BCD 为锐角三角形．
答案：B
二、填空题
5．在棱长为1的正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，·＝________.AD ′―→ BC ′―→
解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈， 〉＝0，又||＝||＝，AD ′―→ BC ′―→ AD ′―→ BC ′―→
2所以·＝··1＝2.AD ′―→ BC ′―→
22答案：2
6．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G
为△ABC 的重心，则·(＋＋)＝________.OG ―→ OA ―→ OB ―→ OC ―→
解析：由已知·＝·＝·＝0，OA ―→ OB ―→ OA ―→ OC ―→ OB ―→ OC ―→
且＝，OG ―→ ＋＋3
故·(＋＋)＝(＋＋)2OG ―→ OA ―→ OB ―→ OC ―→ 13OA ―→ OB ―→ OC ―→ ＝(||2＋||2＋||2)13OA ―→
OB ―→ OC ―→
＝(1＋4＋9)＝.13143
答案：143
7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．
解析：＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋AB ―→ AC ―→ CD ―→ DB ―→ AB ―→ CD ―→ AC ―→ CD ―→ DB ―→ CD ―→ AC ―→ CD ―→
2＋·＝0＋12＋0＝1，又||＝2，||＝1.CD ―→ DB ―→ CD ―→ AB ―→ CD ―→
∴cos 〈，〉＝＝＝.AB ―→ CD ―→ ·| |·||12×112
∴a 与b 所成的角是60°.
答案：60°
8.如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平
面ABCD ，PA ＝6，则线段PC 的长为________．
解析：∵＝＋＋.PC ―→ PA ―→ AD ―→ DC ―→
∴||2＝(＋＋)2PC ―→ PA ―→ AD ―→ DC ―→
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2|||PA ―→ AD ―→ DC ―→ PA ―→ AD ―→ AD ―→ DC ―→ DC ―→ PA ―→ AD ―→ |cos 120°＝61－12＝49.DC ―→
∴||＝7，即PC ＝7.PC ―→
答案：7
三、解答题
9.如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.
求证：BD ⊥平面ADC .
证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝.
2·＝(－)·＝·－·，BD ―→ AC ―→ AD ―→ AB ―→ AC ―→ AD ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→
由于·＝·(＋)＝·＝1，AD ―→ AC ―→ AD ―→ AD ―→ DC ―→ AD ―→ AD ―→
·＝||·||cos 60°＝××＝1.AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ 2212
∴·＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面ADC .BD ―→ AC ―→
10.如图，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面边长为.
2
(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；
(2)设AB 1与BC 1的夹角为，求侧棱的长．π3
解：(1)证明：＝＋， ＝＋.AB 1―→ AB ―→ BB 1―→ BC 1―→ BB 1―→ BC ―→
∵BB 1⊥平面ABC ，
∴·＝0，·＝0.BB 1―→ AB ―→ BB 1―→ BC ―→
又△ABC 为正三角形，
∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.AB ―→ BC ―→ BA ―→ BC ―→ π32π3
∵·＝(＋)·(＋)AB 1―→ BC 1―→ AB ―→ BB 1―→ BB 1―→ BC ―→
＝·＋·＋2＋·AB ―→ BB 1―→ AB ―→ BC ―→ BB 1―→ BB 1―→ BC ―→
＝||·||·cos 〈，〉＋2＝－1＋1＝0，AB ―→ BC ―→ AB ―→ BC ―→ BB 1―→
∴AB 1⊥BC 1.
(2)结合(1)知·＝||·||·cos 〈，〉＋2＝2－1.AB 1―→ BC 1―→ AB ―→ BC ―→ AB ―→ BC ―→ BB 1―→ BB 1―→ 又||＝＝＝||.AB 1―→ 2＋22＋2BC 1―→
∴cos 〈，〉＝＝，AB 1―→ BC 1―→ 2－12＋212
∴||＝2，即侧棱长为2.BB 1―→。