人教版(2019)数学选择性必修二 4_3_2等比数列的前n项和公式(1)课件

(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？
课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝
✓ q＝1时不成立
1 1−
1−
来求． ( × )
(2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)． ( √ )
方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或
q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪训练
1．已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，求公比q的值．
当q＝1时
由5S2＝4S4知10a1＝16a1，则a1＝0，不合题意，故q≠1.
A．－2
B．1
C．－2或1
D．2或－1
✓ 当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
✓ 当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
1
4．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若q＝－
2
31
10
则 ＝________.
32
5
10
5
＝
−1 1− 10
1−
⋅
＝1 + 5
＝1 +
＝1 −
1−
2
n
(3)1＋x＋x ＋…＋x ＝
1−
✓ q＝1时不成立
．( × )
3
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则
2
A．3
3
✓ ＝
2
B．4
1 1−23
1−2
1 ×2
＝
7
2
7
C．
2
13
D．
2
＝( C )
3．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为( C )
• 整理得Sn＝
1 1−
1−
(q≠1)．
错位相减法
我们把上述方法叫_____________，一般适用于数列{a
bn}前n项和
n·
的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一 等比数列基本量的运算
[例1]
在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
an元(1≤n≤6)，
则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
1.016 ×102
6
5
由题意，可知a6＝0，即1.01 a0－(1＋1.01＋…＋1.01 )a＝0，a＝
当q≠1时
51 1−2
由5S2＝4S4知
1−
＝
41 1−4
∴5(1－q2)＝4(1－q4)．
5
2
解得1＋q ＝
1
，即q＝± .
4
2
1−
，
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
[例2]
借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，
王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试
高二选择性必修二
等比数列的前n项和公式(1)
本节目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.
2.会用错位相减法求数列的和.
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
课前预习
➢ 预习课本P34～37，思考并完成以下问题
(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？
(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？
在等比数列{an}中，
5
4
(2) a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求S5；
a1＋a3＝10
5
a4＋a6＝
4
思路
二
(a1＋a3)q3＝a4＋a6
1
3
q＝
8
q＝
1
2
a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10
a1＝8
S5＝
1 1−
1−
＝
31
2
[例1]
在等比数列{an}中，
(3) a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
a2an－1＝a1an＝128
a1＋an＝66
思路
a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根
a1＝2
an＝64 或
Sn＝
a1＝64
an＝2
1 −an
1−
＝126
1
2
q为2或
方法总结
1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其
中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是
提示：可把等比数列前n项和Sn理解为关于
n的指数型函数．
2．错位相减法
• 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①
• 用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②
• 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
[例2] 借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后
第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，
1.015≈1.051)
设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款
✓
6
1.1−1.1
所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·
1−1.1
＝11(1.15－1)a.
新知探究
1．等比数列前n项和公式
na1
1 1−
1−
na1
1 −an
1−
思考：类比等差数列前n项和是关于n的二
次型函数，如何从函数的角度理解等比数
列前n项和Sn?
31
＝
32
1 5
(－ )
2
1
32
1−
−1 1− 5
，
5．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长
11(1.15－1)a
10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_____________．
✓ 去年产值为a，
✓ 从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.
5
4
(2)a1＋a3＝10，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
[例1]
在等比数列{an}中，
(1) S2＝30，S3＝155，求Sn；
S2＝30
a1(1+q)＝30
S3＝155
a1(1+q+q2)＝155
思路
a1＝5
或
q＝5
Sn＝
a1＝180
5
q＝−

1080× 1−
1
5
×5n＋1－ 或Sn＝
4
4
11
5
−6
[例1]
在等比数列{an}中，
5
4
(2) a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求S5；
a1＋a3＝10
5
4
a4＋a6＝
a1+a1q2＝10
a1q3+a1q5＝
思路
一
5
4
a1＝8
1
q＝
2
S5 ＝
1 1−
1−
31
2
＝
[例1]