5.2.2同角三角函数的基本关系课件高一上学期数学人教A版(1)

(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的
目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造
sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练 4
解
sin -cos
tan -1
(2)sin2αtan
sin -cos
化简:(1)
4si
n
α-5cos2α=
=
1
si n 2 +co s 2
4ta n 2 -3tan -5 4×4-3×2-5
=
=1.
2
ta n +1
4+1
规律方法
已知tan α,求关于sin α和cos α的齐次式的值的基本方法
sin +cos
(1)形如
的分式,可将分子、分母同时除以
sin +cos
利用同角三角函数的基本关系求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解.
(2)已知三角函数之间的关系式求三角函数值的问题,我们可利用平方关系
或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±2sin
αcos α的等价转化,寻找解决问题的突破口.
自主诊断
1.已知 α 是第四象限角,cos
解析 由题意知 sin α=2.若 cos
1
α= ,且
3
12
α= ,则
13
1-cos 2 =-
所以 tan
1-cos 2 =-
sin
α=cos =-2
2.
1
α=3,
1 2 2
1-(3) =-3
.
12 2
5
1-(13 ) =-13.
α 为第四象限角,则 tan α=
么就可以利用平方关系求出其余的两个.
2.sin θ±cos θ的符号的判定方法
(1)sin θ-cos θ的符号的判定方法:
由三角函数的定义知,当θ的终边
落在直线y=x上时,sin θ=cos θ,
即sin θ-cos θ=0;当θ的终边落在直
线y=x的上半平面区域内时,sin θ>cos θ,即sin θ-cos θ>0;当θ的终边落在直
半平面区域内时,sin θ<-cos θ,即sin θ+cos θ<0.如图2所示.
变式训练 3
cos
[2024 江西上饶高一阶段检测](多选题)已知 θ∈(-π,0),sin θ+
7
θ=13 ,则下列结论正确的是(
π
A.θ∈(-π,- )
2
C.tan
5
θ=12
B.cos
BD )
12
θ=
13
D.sin θ-cos
-1(其中
si n 2
α 是第二象限角);
解 因为 α 是第二象限角,所以 tan α<0.
故 tan α
=tan α
1
si n 2
1
tan
-1=tan α
tan
==-1.
tan
1-si n 2
=tan
si n 2
α
co s 2
=tan
si n 2
α
1
ta n 2
线y=x的下半平面区域内时,sin θ<cos θ,即sin θ-cos θ<0.如图1所示.
(2)sin θ+cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直
线y=-x上时,sin θ=-cos θ,即sin θ+cos θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半
平面区域内时,sin θ>-cos θ,即sin θ+cos θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下
si n 4 +co s 4 +2si n 2 co s 2
=
cos sin
=
(si n 2 +co s 2 )2
sin cos
=
1
.
sin cos
(3)
1+cos
1-cos
+
1-cos
(180°<α<270°).
1+cos
解 因为 180°<α<270°,所以 sin α<0.
写成sin α2,前者是角α的正弦的平方,后者是角α2的正弦,两者是不同的.
思考辨析
1.同角三角函数基本关系中,角α是否是任意角?
提示 平方关系中的角α是任意角,除法关系中的角α并非任意角,
π
α≠kπ+ 2 ,k∈Z.
2.若sin θ+cos θ=0,则tan θ的值为多少?
提示 由sin θ+cos θ=0,则sin θ=-cos θ,所以tan θ=-1.
4
由①②得 sin α=5,cos
49
α=25 ,
3
α=-5,∴tan
4
sin
α=cos =-3.
α的值.
规律方法
1.由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可
知如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那
探究点二
应用同角三角函数的基本关系式化简
【例2】 化简下列各式:
(1)
解
sin760 °
;
1-co s 2 40°
sin760 °
1-co s 2 40°
=
sin (2×360°+40°)
si n 2 40°
=
sin40 °
|sin40 °|
=
sin40 °
=1.
sin40 °
(2)tan α
1
cos α;形如
si n 2 +sin cos +co s 2
的分式,可将分子、分母同时除以
2
2
si n +sin cos +co s
cos2α,将正、余弦
转化为正切,从而求值.
(2)形如 asin2α+bsin αcos α+ccos2α 的式子,可将其看成分母为 1 的分式,再
;
tan -1
=
sin -cos
sin
-1
cos
=
co s 2
α+
+2sin
tan
2 sin
sin -cos
sin -cos
cos
=cos θ.
αcos α;
2 cos
解 原式=sin αcos +cos α sin +2sin αcos α
公式对任意角α成立
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的 平方和
等于1.
2.商数关系
(1)根据三角函数定义,当

sin
α≠kπ+ (k∈Z)时,有
=tan
2
cos
α;
公式对终边不在y轴上的角α成立
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的
商
等于角α的正切.
名师点睛
π
1.这里的“同角”应作广义上的理解,如2
人教A版 数学必修第一册
课 程 标 准
sin
2
2
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式:sin x+cos x=1,
cos
=tan x.
2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简、求值和证明.
基础落实·必备知识一遍过
知识点
同角三角函数的基本关系
1.平方关系
(1)公式:sin2α+cos2α=1;
sin α+cos α=2(sin α-cos α),
两边平方得 1+2sin αcos α=4(1-2sin αcos α),
整理得 sin αcos
3
α= .
10
3
10
.
角度3.利用sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α之间的关系求值
【例1—3】 已知sin α+cos α=
(1)
=
4sin -9cos
解析
2sin -3cos
4sin -9cos
=
2si n 2 -3co s 2
(2) 2
=
4si n -9co s 2
解析
;
-1
2si n 2 -3co s 2
4si n 2 -9co s 2
2tan -3
4tan -9
5
7
=
(方法 1)原式=
(1+cos )2
1-co s 2
+
(1-cos )2
1-co s 2
=
1+cos
|sin |
+
1-cos
|sin |
=22=. Nhomakorabea|sin | sin
(方法 2)原式= (
=
1+cos
1-cos
=
(1-cos )2
1-co s 2
=
2(1+co s 2 )
将分母 1 变形为 sin α+cos
2
si n 2 +sin cos +co s 2
α,转化为形如
的分式求解.
si n 2 +co s 2
2
变式训练 2
解析
sin +cos
已知
=2,则
sin -cos
sin +cos
由
=2,得
sin -cos
sin αcos α 的值为
−
θ,
24
θ-13 )=0,解得
12
θ=13 ,则选项
12
θ= >0,可得
13
sin
5
θ=cos =-12 ,则选项
5
θ=-13
cos
7
θ= -sin
13
B 正确;
θ 为第四象限角.
A 错误;
C 错误;
12 17
=- ,则选项
13 13
D 正确.故选 BD.
sin
12
θ=13 或
sin
5
θ=-13 .
sin2 + cos2 = 1,①
sin
cos
= - 5.②
由②得 sin α=- 5cos α,代入①整理得 6cos α=1,所以 cos
2
因为 α 是第二象限角,所以 cos α=-
6
,
6
代入②式得 sin α=- 5cos α=(- 5)×(-
6
30
)= .
6
6
1
α=6.
2
规律方法
是第一或第二象限角.
当 α 为第一象限角时,cos α=
当 α 为第二象限角时,cos
1-sin2
2 6
α=- ,tan
5
=
1
1- 25
6
α=- .
12
=
2 6
,tan
5
sin
α=cos
=
6
;
12
(2)[人教B版教材例题]已知tan α=- 5 ,且α是第二象限,求角α的正弦和余弦.
解析 由题意和同角三角函数的基本关系式,得
17
θ=-13
解析 由 sin θ+cos
7
θ= ,可得
13
7
则(13 -sin)2 +sin2θ=1,即(sin
又 θ∈(-π,0),则 sin
由 sin
5
θ=- <0,cos
13
又 θ∈(-π,0),则
tan
5
θ=-13 ,故
sin θ-cos
5
θ+13 )(2sin
cos
π
θ∈(-2 ,0),则选项
4
α+25 =1,
7
α=-25 .
又 α∈(0,π),∴sin α>0,即 sin
3
5
4
5
2
α= -2sin
5
3
=-4.故选
3
α= ,∴cos
5
C.
2
α=
5
−
6 4
=- ,
5 5
角度2.已知tan α,求关于sin α和cos α的齐次式的值
【例1—2】 已知tan α=2,则
2sin -3cos
π
与 2 、2α
与 2α
π
是同角,2α+3 与
π
2α+3
是同角,即“同角”的概念与角的表达形式无关,如 sin23α+cos23α=1,

2

cos
2
sin

=tan (α≠2kπ+π,k∈Z)恒成立.
2
2.sin2α是(sin α)2的简写,即sin2α=sin α·sin α,读作“sin α的平方”,不能将sin2α
+
si n 2
=
2
2( 2
sin
+
1-cos
(3)tan2α-sin2α-tan2αsin2α.
解析
2
si
n
tan2α-sin2α-tan2αsin2α=tan2α(1-sin2α)-sin2α= 2 ·cos2α-sin2α=0.
co s
规律方法
三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)利用同角三角函数的基本关系,减少函数名称,达到化简的目的.
解 ∵sin α+cos
1
,α∈(0,π),求tan
5
1
α=5,①
将其两边同时平方,得 1+2sin αcos
∴2sin αcos
1
α=25 ,
24
α=-25 .
∵α∈(0,π),∴cos α<0<sin α,∴sin α-cos α>0.
∵(sin α-cos α) =1-2sin αcos
2
7
∴sin α-cos α=5.②
变式训练 1 若 α∈(0,π),2sin α+cos
3
A.-5
4
B.-5
3
C.-4
1
D.-4
2
α=5,则
tan α=( C )
解析 由 2sin α+cos
∴sin α+cos α=sin
2
解得 sin
2
3
α=5或
2
sin
2
α= ,得
5
cos
∴tan
sin
α=cos
=
α,
2
2
2 8
α+(5 -2sin) =5sin α-5sin
解析 因为 α 为第四象限角,且 cos
所以 sin α=-