福建省莆田一中高三数学上学期期中试题 文 新人教A版【会员独享】

莆田一中2010-2011学年度上学期第一学段高三数学（文科）试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．在下列结论中，正确的是 （ ） ①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件； ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件； ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件； ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
2.已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，
，且0x >时，
()0()0f x g x ''>>，；则0x <时 （ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
3．在△ABC 中，关于x 的方程(1+22)sin 2sin (1)sin 0x A x B x C +⋅+-＝有两个不等
的实数根，则角A 为 （ ）
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不存在 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则 （ ）
A ．0>b B. 1<b C. 10<<b D. 2
1
<b
5．集合A ＝{t |t ＝q
p ，其中p ＋q ＝5，且p 、q ∈N *}所有真子集个数（ ）
A ．3
B ．7
C ．15
D ．31
6．{}n a 是等比数列,其中37,a a 是方程22350x k x -+=的两根,且
23728()41a a a a +=+,则k 的值为
（ ）
A ．
B C ．23± D ．38
±
7．下列结论正确的是 （ ）
A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x
x x x 时且
B ．21,1≥+>x
x x
C ．x
x x 1
,2+
≥时当有最小值2 D ．当x
x x 1
,20-
≤<时有最大值32
8.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若,159=S S =3
5a a
（ ）
A ．5
9
B ．9
5
C ．5
3
D ．3
5
9. 已知等比数列a a S a n n n
,61
2:}{1+⋅=-的值为 ( )
A ．3
1
B ．
21 C ．—3
1
D ．—
2
1 10．已知()()的导函数，是x f x f '且()的x f '图象
如右图所示，则()x f 的图象只可能是（ ）
11．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形，俯视
图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（ ）
A. 4
B. 32
C.
22 D.3
12．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。

一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。

若它停在
奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上， 则跳两个点。

该青蛙从5这点跳起，经2011次跳后它将停 在的点是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卷的
相应位置 ） 13. 已知()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x x =++++++6，则(0)f '= __________.
俯视图
正视图
B 1
A 1
B
A 1
1A
2
14．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平 面图形的直观图,其中''A O =6, ''C O =2,则 原图形的面积为 ．
15.若{}n a 是等差数列，首项a 1＞0，a 2010+a 2011＞0, a 2010•a 2011＜0，则使前n 项和0n S 成立的最大自然数n 是 .
’
16. 已知,a b 均为实数，设数集41,53A x a x a B x b x b ⎧⎫⎧⎫
=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且
数集A 、B 都是数集{}10≤≤x x 的子集.如果把n m -叫做集合{}x m x n ≤≤的“长度”，那么集合A B ⋂的“长度”的最小值是 .
三、解答题 ：（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。

）
17．（本题满分12分）已知函数531
)(23-++=ax x x x f ．
(1) （4分）若函数在()+∞∞-,总是单调函数，求：实数a 的取值范围； (2) （4分）若函数在),1[+∞上总是单调函数，求：实数a 的取值范围； (3) （4分）若函数在区间（-3，1）上单调递减，求：实数a 的取值范围；
18、（本题满分12分） 已知函数.12
3
2sin 3sin 21)(2++-=
x x x f （1）（6分）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；
（2）（6分）该函数图象怎样平移，能得到函数x y sin =的图象？
写出平移的过程。

19．（本题满分12分）平面直角坐标系有两点)cos ,1(x P ，)1,(cos x Q ， 其中
∈x [4
,4π
π-
]；
(1) （6分）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； (2) （6分）求题(1)中)(x f 的值域。

20.（本题满分12分）已知数列}2{1n n a ⋅-的前n 项和96n S n =-．
(1) （6分） 求数列｛n a ｝的通项公式； (2) （6分）设2(3log )3n n a b n =⋅-，设数列｛1
n
b ｝的前n 项和为Tn ； 求：使得满足Tn ＜
6
m
的最小正整数m 的值。

21. （本题满分12分）为加快海西建设步伐，甲公司对乙企业进行扶持性技术改造。

乙企业的经营状况是：每月收入45万元，但因设备老化，每个月需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月递增2万元。

甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业；据测算，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在前4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后各月收入都稳定在第五个月的水平上。

若设备改造时间可忽略不计，那么从第一个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？ 22．（本题满分14分）已知函数3()3.f x x x =-
（1）（4分）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；
（2）（10分）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.
莆田一中2010-2011学年度上学期第一学段高三数学（文科）试卷答
题卷
一、单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60小题）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、14、15、16、
三、解答题：
17、(12分)
18、（12分）
19、（12分）
20、（12分）
21、（12分）
22、（14分）
莆田一中2010-2011学年度上学期第一学段高三数学（文科）试卷
参考答案及评分标准
一、选择题：(共12小题，每小题5分，满分60分)
二、填空题:（每题4分,共16分）
13、120 14、 15、4020 16、 2
15
三、解答题 ：（本大题共6小题，共74分）
17. (1);.1≥a …………4分
;3)2(-≥a …………8分 .3)3(-≤a …………12分
18、 解：（1）2
3sin 211232cos 13sin 21)(+=++--=x x x x f ,1)3sin(1cos ++=+πx x …………2分
2
23
,2πππ
π+
=+
=∴k x T …………4分
即2)(,,62max =∈+=x f Z k k x 时ππ …………6分
（2）该函数图象首先纵坐标不变，图象向右平移3
π，得到1sin +=x y 的图象；…9分
再向下平移1个单位，即得到x y sin =的图象。

…………12分
19．解：(1)由于x cos 2=⋅ …………2分
x2
cos
1+
=…………4分
)
(
cos
1
cos
2
cos
2
x
f
x
x
=
+
=
=
∴θ…………6分
(2)
x
x
x
x
x
f
cos
1
cos
2
cos
1
cos
2
)
(
cos
2
+
=
+
=
=
θ
且⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
∈
4
,
4
π
π
x⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
∴1,
2
2
cos x
令
x
x
x
g
1
)
(+
=…………8分
设
1
x，]1,
2
2
[
2
∈
x，且
2
1
x
x<
)
1
)(
(
1
1
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
<
-
-
=
-
-
+
=
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
g
x
x
x
g
1
)
(+
=
∴在]1,
2
2
[上是减函数。

…………10分
2
2
3
cos
1
cos
2≤
+
≤
∴
x
x
1
)
(
3
2
2
≤
≤x
f即)
(x
f的值域是]1,
3
2
2
[。

…………12分
20.解：(1)1
n=时，0
111
23,3
a S a
⋅==∴=; ……2分
当1
12
3
2,26,
2
n
n n n n n
n a S S a
-
--
-
≥⋅=-=-∴=
时．……4分
2
3(1)
3
(2)
2
n
n
n
a
n
-
=
⎧
⎪
∴=⎨
-≥
⎪⎩
通项公式……6分
(2) 设｛
1
n
b
｝的前n项和为
n
T，当1
n=时，
121
1
11
3log13,
3
b T
b
=-=∴==；
2
n≥时，
22
3
(3log)(1)
32
n n
b n n n
-
=⋅-=⋅+
⋅
，∴
1
n
b
1
(1)
n n
=
+
……8分
∴n T =
12
11111132334
n b b b +++
=++++
⨯⨯1
(1)
n n +＝5161n -+……10分 故，满足Tn ＜6
m
的最小正整数m 的值是5。

……12分
21.解：设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n 万元，进行技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n …………………1分 ①A n ＝45n-[3+5+…+（2n +1）]=45n-（n 2+2n ）=43n-n 2 …………………4分 ②当n ≥5 时，B n = 16[(3
2)5-1]
32 -1 +16·（32）4
·（n-5）-400=81n-594；………7分
当n ≤5时，B n = 16[(3
2)n -1]
32 -1 -400=16[2（32）n
-27]<0 …………………9分
显然，在前5个月里，对乙企业的技改投资未能收回，
当n ≥5 时，B n - A n =n 2
+38n-594>0，则n ≥12， ……………11分 所以，至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益。

…………………12分
22．解：（1）23()33,(2)9,(2)2322f x x f f ''=-==-⨯= ………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为29(2)y x -=-，即9160x y --=…4分 （2）过点(1,)A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为00(,)x y 则32000003,()3 3.y x x k f x x '=-==-
则切线方程为320000(3)(33)()y x x x x x --=--…………………………………6分 整理得32002330(*)x x m -++=
∵过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线 ∴方程（*）有三个不同实数根.
记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-
令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………10分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表
2. ………………12分
由()
g x的简图知，当且仅当
(0)0
,
(1)0 g
g
>⎧
⎨
<⎩
即
30
,32
20
m
m
m
+>
⎧
-<<-
⎨
+<
⎩
时，
函数()
g x有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.
所以若过点A可作曲线()
y f x
=的三条不同切线，m的范围是(3,2)
--.…14分。