-_关灯_游戏的数学建模与求解

初始控制向量).其中 aij=1,表示点击方格 i 能控制方
格 j；aij=0, 表示点击方格 i 不能控制方格 j （j=1，2，
…，l，）.
称由初始控制向量 Li 为行向 量 构 成 的 二 进 制
矩阵 A 为初始控制矩阵.
例如:3×3 棋盘的初始控制矩阵为
H E O 0
0
0
0
0
0
0
0
A=
E0
0
0
定义 3 设 F2={0，1},F2 上定义四则运算, 其运
算法则如下:
堠⊕
2 模型的建立
塥⊗
÷÷
定义 1 若 aij∈{0，1}，则称矩阵 An×n=（aij）为 n×n 阶的二进制矩阵[2].特别地,1×n 阶的二进制矩阵称为 n 维二进制向量.
若用 0 代表白色,1 代表黑色,令 l=n×n,并将 n×n
显 然,F2={0，1}对 于 上 述 运 算 构 成 一 个 域(称 此
收 稿 日 期 ：2008－09－10 作者简介：胡英武(1975- )，男，浙江武义人，硕士、讲师，主要从事数学建模与数理统计的研究。
域为二元有限域). 定 义 4 设 V1=（b1，b2，… ，bl）,V2=（c1，c2， … ，cl）
H
E
0 0
0
0
0
0
O E H 0
0
0
0
其中每个小方阵都是 3 阶二进制矩阵
1 1 0 0
0
0
0
1 0 0 0
0
0
0
0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
H=
10
0
1
10 0
E=
00
0
1
00 0
O=
00
0
0
00 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1 1 0
0
0
0
0 0 1 0
0
0
0
0 0 0 0
0
0
综合 1)、2)即得到定理 3 的证明.
显然, 由于复合控制矩阵的行向量都是某几个
初始控制向量相加得到, 所以经复合变换后新旧矩
阵所能达到的总效果不变.
定义 7 若二进制矩阵 B 是二进制矩阵 C 经
一系列复合变换后得到的,则称矩阵 B 与 C 的控制
效果等价(简称矩阵 B,C 等价),记为 B∽C.
若复合控制矩阵的某个行向量是复合变换: （Lj+Lk+Li）+Li 的结果,由运算“+，堠”性质有（Lj+Lk+Li） +Li=Lj+Lk，即 点 击 方 格 两 次 或 偶 数 次 ， 此 操 作 的 作 用 将取消,为使点击方格次数尽可能少,这种重复操作 应避免. 于是排除上述情况后的复合控制矩阵的行 向量表示若干个方格(各点击一次)对棋盘的复合控 制效果.
S1=S0+x1·Lk1+x2·Lk2+…+x·i Lkr
证明 1)对于棋盘的某一状态 Si，在点击第 k 个
方格后, 转移到另一种状态 Sj 这一过程可以用状态 向量和初始控制向量之和表示为:Sj=Si+Lk，反之亦然.
2)从初始 状 态 S0 变 到 终 止 状 态 S1,等 价 于 从 初 始状态 S0 出发点击某几个方格各一次可变到终止 状态 S1，又因为点击方格的初始控制向量 L1，L2，…， Ll 都是 Lk1，Lk2，…，Lkr 的线性组合.
显 然 , 关 系 “∽ ” 为 等 价 关 系 , 复 合 变 换 是 一 种 等
价变换.
定理 4[4] 若 B，C 都是二进制矩阵,则
1)如果 B∽C,则 R(B)=R(C) (即复合变换不改变
矩阵的秩);
2)如果 B∽C,则 B,C 的行向量组的极大无关组
等价(பைடு நூலகம்可以相互表出).
定义 8 如果矩阵 M 的非零行的第 1 个不为 0
本 文 利 用 有 限 域 上 的 线 性 空 间 理 论 讨 论 n×n 方格的棋盘问题, 研究了棋盘从任一初始状态能否 通过点击方格变为终止状态的操作可行性判定方 法,以及操作可行时的具体操作(最优策略)，也得到 了有限域上的线性方程组的数学模型及求解，较全 面地解决了该问题.
棋盘的所有方格按从左到右, 从上到下依次编号为
“关灯”游戏的数学建模与求解
胡英武，赵永建
（金华职业技术学院,浙江 金华 321007）
摘要:对互联网上的一个数学游戏的控制问题,进行了一般性推广,运用数学建模的方法给出了其基于有限域上的 线性方程组的数学模型及求解.
关键词:有限域；数学建模；初始控制矩阵；复合变换；复合控制矩阵；最终效果矩阵 中图分类号: O141.4 文献标识码：A 文章编号：1671－3699（2008）06－0078－03
定义 5 设 β，αi∈V（i=1，2，…，r）是 l 维二进制 向量,如果存在 xi∈F2（i=1，2，…，r）,使
β=x1·α1+x2·α2+…+x·r αr 则称 β 是 α1，α2，…，αr 二进制线性组合(简称线性组 合).
到此,我们给出问题的数学模型如下: 已知 n×n 方格棋盘的初始状态向量 S0，终止状 态向量 S1 和初始控制矩阵 A. 点击方格后棋盘的状 态为:S0+x1·L1+x2·L2+…+x·i Li（xi∈F2，i=1，2，…，l），于 是能否将 S0 变成 S1 的可行性判别方法归结为有限 域 F2 上方程组解的存在问题. 即,是否存在 xi∈F2，（i=1，2，…，l）使
1,2,…,l，则棋盘的任一状态对应于一个 l 维二进制
向量 S=（S1，S2，…，Sl），Si∈{0，1}，i=1，2，…，l，称此向
量 S 为棋盘的状态向量.
定义 2 称 l 维 二 进 制 向 量 Li=（ai1，ai2，… ，ail），
（i=1，2，…，l）为点击方格 i 对棋盘的控制作用(简称
1 问题的提出
考虑互联网 上 的 一 个 关 灯 游 戏[1]：定 义 如 下,给 定一个 5×5 方格的棋盘, 每个方格有白色和黑色两 种状态,当用鼠标点击其中任何一个方格时,则使这 个方格自身及与之相邻的上,下,左,右四个方格都改 变状态,即原来是白色的则变为黑色,原来是黑色的 则变为白色.对于处于棋盘边缘的 16 个方格,它们的 这四个邻居可能不全存在,那么只考虑存在的方格.
的元素所在列的其余元素均为 0, 零行全部位于矩
阵 M 的下部,则称该矩阵为最简阶梯型矩阵.
定 理 5[5] 若 二 进 制 矩 阵 N 的 秩 为 r,则 必 可 经
过一系列复合变换将矩阵 N 变成仅有 r 个非零行
向量的最简阶梯型矩阵. 称由初始控制阵 A 经过一 系列复合变换得到的最简阶梯型矩阵 Q 为 A 的最 终效果矩阵.
证明 由定理 4 和定理 5 知,Q1，Q2，…，Qr 与矩 阵 A 的行向量组的一个极大无关组等价. 再由定理 3 就得到定理 6 的证明.
又根据“+，堠”的性质,可将定理 6 中的 S1=S0+x1·Q1+x2·Q2+…+x·r Qr 改为 S0+S1=x1·Q1+x2·Q2+…+x·r Qr
下面我们给出原问题的可行性判别与求解方法. 1) 通过一系列复合变换将初始控制阵 A 变为
定理 2[3] 设 α1，α2，…，αr 是 r 个线性无关的 l 维 二进制向量,则由 α1，α2，…，αr 生成的子空间 V（α1， α2，…，αr）总共含有 2r 个不同的向量.
推论 如果初始控制矩阵 A 的秩为 r,则
1) 通过操作点击方格总共可以使棋盘达到 2r
种不同的状态,反之亦然.
2)操作点击方格可以达到棋盘所有可能状态的
是 两 个 l 维 二 进 制 向 量 ，k∈F2 称 运 算 V1+V2=（b1堠 c1，b2堠c2，… ，bl堠cl），k·V1=（k塥b1，k塥b2，… ，k塥bl） 分别为 l 维二进制向量的加法与数乘.
显然, 对于这样定义的 l 维二进制向量的加法 与数乘,有
定理 1[3] 设 V 是所有 l 维二进制向量组成的集 合，F2={0，1}，则对于 l 维二进制向量的加法与数乘, V 是数域 F2 上的向量空间. 称向量空间 V 为 l 维二 进制向量空间.
Abstract:We conduct the general popularization to the state control of a mathematical game on Internet and use the method of mathematical modeling to show the mathematical model of linear equation system based on finite field and its solving.
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4 模型评价
该模型可用于解决类似的状态控制问题（如文 [2]），方法上易于推广, 建模所用的数学知识比文[1] 的简单.
模型的缺点是如果控制矩阵 A 的阶较大, 那么 求最终效果阵 Q 及解组合式
S0+S1=x1·Q1+x2·Q2+…+x·r Qr 的过程比较繁琐,最好编程处理.
参考文献:
[1] 周 昊. “关灯”游戏中的代数学[J]. 数学的实践与认识，2007，37（11）:132-140. [2] 程德文，张建涛. 一个游戏难题的数学建模与求解[J]. 数学的实践与认识，2005，35（8）:1-4 [3] 冯克勤. 有限域[M]. 长沙: 湖南教育出版社，1998. [4] 李炯生，查建国. 线性代数[M]. 合肥:中国科学技术大学出版社，1989. [5] T W Hungerford. Algebra[M]. New York：Springer-Verlag,1974.
最终效果阵 Q， 于是得到最终效果阵 Q 的 r 个非零 行向量 Q1，Q2，…，Qr.
2)令 ：S0+S1=x1·Q1+x2·Q2+…+x·r Qr，若 此 组 合 式 有解, 则棋盘能从初 始 状 态 S0 变 成 终 止 状 态 S1;否 则,棋盘不能从初始状态 S0 变成终止状态 S1.
3) 如果棋盘能从初始状态 S0 变成终止状态 S1, 则根据步骤 2) 的解中等于 1 的 xi 所对应的 Qi 即可 得点击操作方法.
假定棋盘的初始状态为所有方格全部为白色， 问是否可以通过点击方格将棋盘的所有方格全部 变为黑色.若可以,如何进行游戏,使点击鼠标的次数 尽可能少(称为最优策略).
文[1]用 抽 象 代 数 的 变 换 理 论 建 立 了 该 游 戏 的 基于有限域上的线性方程组的数学模型及求解,运 用代数的“分类”方法给出了游戏的四个等价类的 直观描述.
The Mathematical Modeling and Solving for a Game of "Lights-Off"
HU Ying-wu，ZHAO Yong-jian （Jinhua College of Profession and Technology，Jinhua 321007，China）
S0+x1·L1+x2·L2+…+x·i L=S1 成立. 如果存在这样的 xi∈F2,那么通过点击方格能将 S0 变成 S1,由解中等于 1 的 xi 所对应的 Li 即可得点击操作方法. 如果不存在这样的 xi∈F2,那么通过点击方格不 能将 S0 变成 S1.
3 模型的求解
定义 6 将二进制矩阵的第 i 行加到 (按 l 维二 进制向量加法)第 j 行去,称这种变换为二进制矩阵 的复合变换[4].将初始控制矩阵 A 的 第 i 行 加 到 第 j 行的复合变换记为 Lj+Li,初始控制矩阵 A 经过一系 列复合变换得到的矩阵称为复合控制矩阵.
2r
l
.特别地，当且仅当
r=l
时,对任一给定初始状态可
2
以达到任意终止状态.
注:推论说明,棋盘所能达到的状态由初始控制
矩阵 A 的秩唯一决定.
定理 3[3] 设 n×n 棋 盘 的 初 始 状 态 向 量 S0,终 止 状态向量 S1， 初始控制矩阵 A 的秩为 r，Lk1，Lk2…… Lkr 是矩阵 A 的行向量组的一个极大无关组,则游戏 可从初始状态 S0 变到终止状态 S1 的充分必要条件 为:存在二进制数 xi∈F2（i=1，2，…，r），使
定 理 6 设 初 始 控 制 阵 A 的 秩 为 r，Q 是 初 始 控制阵 A 的最终效果矩阵，S0，S1 分别为游戏的初始 状态向量和终止状态向量，Q1，Q2，…，Qr 是最终效果 矩阵 Q 的非零行向量,则游戏可从初始状态 S0 变到 终止状态 S1 的充分必要条件为:
存在二进制数 xi∈F2（i=1，2，…，r），使 S1=S0+x1·Q1+x2·Q2+…+x·r Qr