二次函数图像与性质

3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C)
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状 4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知抛物线
，把它向下平移，得到的
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
9
（1）形状是开口向上的抛物线
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的 形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物 线 y = x2 ，
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数 y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐 标是否相同?它们有什么关系？我们应该 采取什么方法来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
向左平移对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 2个单位即直线: x=0 2个单位
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下
特点:
y
(1)对称轴是x=h;
x
(2)顶点是(h,0).
（3）抛物线y=a(x－h)2 可以由抛物线y=ax2向左 或向右平移|h|得到.
h>0，向右平移;h<0，向左平移
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同， 但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛 物线解析式。
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上， 且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。 求此函数解析式。
抛物线 开口方向 对称轴
y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
二次函数的图像和性质
1、一次函数的图像有何特征？
一次函数的图像是一条 直线 。 当 k>0 时，y随x的增大而增大； 当 k<0 时，y随x的增大而减小。
2、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
画形如y=ax2的函数图像： 1、画函数y=x2的图像；
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 解：分别填表，再画出它们的图象，如图
的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口
对称性 顶点
增减性
h>0
h<0
h>0
h<0
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶 点，最大值或最小值各是什么及增减性 如何？ y=2（x-3）2 y=-2（x+3）2
向上 y轴 向下 y轴
(0，k) (0，k)
|a|越大开口越小，反之开口越大。
练习
1.把抛物线
向下平移2个单位，可以得
到抛物线
，再向上平移5个单位，
可以得到抛物线
；
2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y随
x的增大而增大；当x ＞0 时，函数值y随x的 增大而减小；当x =0 时，函数取得最 大 值, 为1 。
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点 增减性
k>0
k<0
k>0
k<0
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
画出二次函数
、
的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和
顶点.
解:列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
（1）二次函数 y=2x²＋1 的图 象与二次函数 y=2x² 的图象有 什么关系？
（0，1）
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取 同一数值时，这两个 函数的函数值之间有 什么关系?反映在图 象上，相应的两个点 之间的位置又有什么 关系?
，顶点坐标是 ，对
称轴是 2. 抛物线 y= -
对称轴是
. x2 的开口方向是
.
，顶点坐标是 ，
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口
方向相反，则a= .
课前复习
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口 向_____，顶点坐标是_____；对称轴是 ______，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ______，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ______，函数y＝2x2当x＝______时， y有最 ______值，其最______值是______。
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 … y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 … y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数 y=3x² 的图象有 什么关系？
与
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
向左平移
1个单位
向右平移1
个单位
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
在同一坐标系中作出下列二次函数 :
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y
描点,连线 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
思考：这个二次函数图象有什么特征？
练习： 函数
对称轴是
的图象是 ，顶点坐标是 ， ，开口方向是 .
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表 ．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0)
|a|越大开口越小， |a|越小开口越大。
反馈测试
1. 抛物线y=4x2中的开口方向是
8 6 4 2
－4 －2
24
函数 有什么共同点和不同点？
的图象与函数 y=x2 的图象相比，
相同点：开口都向上， 顶点是原点而且是抛物 线的最低点，对称轴是 y轴
不同点：a 要越大，抛 物线的开口越小．
8 6 4 2
－4 －2
24
探究
画出函数 线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
···
－8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· －8 －4.5
－2 －0.5 0
··· －0.5 －2 －4.5 －8
对比抛物线，y=x2 和y=－x2.它们关 于x轴对称吗？一
你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2＋1的一些性质
吗?
完成填空：
当x____0__时，函数值y随x的增大而减小；当x____0__时， 函数值y随x的增大而增大，当x__=_0___时，函数取得最 __小____值，最__小____值y＝__1____．
以上就是函数y＝2x2＋1的性质。
… -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
… -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2…
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
x=－1
(1)抛物线
与
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线 抛物线 有什么关系?
2、二次函数 y=2x² 、
的图象
与二次函数 y=x² 的图象有什么相同和
不同？
a＞0
y
5
4
3
a＜0
2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1–O1 1 2 3 4 5
–2
–3
–4
–5
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表 ．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0)
若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下
平移几个单位？
…二次函数的图像和性质…
1. y=ax2的函数图像 2. y=ax2 +k 的函数图像 3. y=a(x-h)2的函数图像 4. y=a(x-h)2 +k 的函数图像 5. y=ax2+bx+c 的函数图像
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
向上 向下 向下
直线x=-3 直线x=1 直线x=3
顶点坐标
( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
（0，1）
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，
0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。 2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图 象向上平移一个单位得到的。
y=-2（x-2）2 y=3（x+1）2
2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图 象的顶点移到原点，则下列平移方
法正确的是（ C ）
A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上，
对称轴是直线x=3，顶点坐标是 低 ， 抛物线是最（3，0）点，
a＞0
（0，-1）
(3)在同一直角坐标系中 画出函数
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数
y 5
4
a＜0
3 2（0，2）
的图像
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1
–2（0，-2）
–3
–4
–5
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
观察三条抛物线的相互关系,并分别指 出它们的开口方向,对称轴及顶点.
在同一坐标系中作出下列二次函数:
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
向左平移 2个单位
向右平移 2个单位
顶点(－ 2,0)
向左平移 2个单位
顶点 (0,0)
向右平移 顶点 2个单位 (2,0)
直线x=－2
般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢
？
－4 －2 －2 －4
－6 －8
24
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_y_轴___，顶点是_原__点___．
当a>0时，抛物线的开口_向__上___，顶点是抛物线的最__低____点，a 越大，抛物线的开口越___小____； 当a<0时，抛物线的开口_向__下____,顶点是抛物线的最__高______点， a越大，抛物线的开口越______大___．
当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。
抛物线与x轴交点坐标（3，0），与y轴交点 坐标（0，36）。
4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式， 并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。
5、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点 （-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线 y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它 的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它 是抛物线 y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称 轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低 点或最高点．