2016年河南省普通高中招生考试数学试卷

2016年河南省普通高中招生考试试卷
数 学
(考试时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共24分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. －1
3
的相反数是 ( )
A. －13
B. 1
3
C. －3
D. 3
2. 某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095用科学记数法表示为 ( ) A. 9.5×10－
7 B. 9.5×10
－8
C. 0.95×10－7
D. 95×10－
8
3. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是 ( )
4. 下列计算正确的是 ( )
A. 8－2＝ 2
B. (－3)2＝6
C. 3a 4－2a 2＝a 2
D. (－a 3)2＝a 5
5. 如图，过反比例函数y ＝k
x (x >0)的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S ⊥AOB ＝2，则k 的
值为( )
第5题图
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6. 如图，在⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，DE 垂直平分AC 交AB 于点E ， 则DE 的长为 ( )
第6题图
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
第8题图
8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )
A. (1，－1)
B. (－1，－1)
C. (2，0)
D. (0，－2) 二、填空题(每小题3分，共21分) 9. 计算：(－2)0－3
8＝________．
10. 如图，在⊥ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若⊥1＝20°，则⊥2的度数为________．
第10题图
11. 若关于x 的一元二次方程x 2＋3x －k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 12. 在“阳光体育”活动时间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在
同一组的概率是________．
13. 已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是________． 14. 如图，在扇形AOB 中，⊥AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB ︵
于点C .若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．
第14题图
15. 如图，已知AD ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3.点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将
⊥ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点 M ，N .当点B ′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为________．
第15题图
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16. (8分)先化简，再求值：(x
x 2＋x －1)÷x 2－1x 2＋2x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤12x －1<4
的整数解中选取．
17. (9分)在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录
如下：
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 步数分组统计表
第17题图
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：m＝________，n＝________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在________组；
(4)若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．
18. (9分)如图，在Rt⊥ABC中，⊥ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊥O分别交AC，BM
于点D，E.
(1)求证：MD＝ME；
(2)填空：
⊥若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝______；
⊥连接OD，OE，当⊥A的度数为______时，四边形ODME是菱形．
第18题图
19. (9分)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆
底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处．若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
第19题图
20. (9分)学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能
灯和2只B型节能灯共需29元．
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3
倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21. (10分)某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完
整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝________．
第21题图
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该
函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．
(4)进一步探究函数图象发现：
⊥函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；
⊥方程x2－2|x|＝2有________个实数根；
⊥关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．
第22题图⊥
22. (10分)(1)发现
如图⊥，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.
填空：当点A位于____________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________(用含有a，b 的式子表示)．
(2)应用
点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图⊥所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.
⊥请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ⊥直接写出线段BE 长的最大值．
第22题图⊥
(3)拓展 如图⊥，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且P A ＝2，PM ＝PB ，⊥BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．
第22题图⊥ 备用图
23. (11分)如图⊥，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C (0，4)，抛物线y ＝2
3
x 2＋bx ＋c 经过点
A ，交y 轴于点
B (0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m . (1)求抛物线的解析式；
(2)当⊥BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；
(3)如图⊥，将⊥BDP 绕点B 逆时针旋转，得到⊥BD ′P ′，且旋转角⊥PBP ′＝⊥OAC ， 当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出．．．．
点P 的坐标．
第23题图
2016年河南省普通高中招生考试·数学
一、选择题
1. B
2. A
3. C
4. A
5. C 【解析】 ⊥点A 在反比例函数y ＝k
x 的图象上，且AB⊥x 轴于点B ，设点A 坐标为(x ，y )，⊥k ＝
xy ，⊥点A 在第一象限，⊥x 、y 都是正数，⊥S ⊥AOB ＝12OB ×AB ＝1
2
xy ，⊥S ⊥AOB ＝2，⊥k ＝xy ＝4.
6. D 【解析】⊥DE 垂直平分AC ，⊥⊥ADE ＝90°，点D 是AC 中点，⊥⊥ACB ＝90°，⊥DE ⊥BC ，⊥DE 是⊥ABC 的中位线，⊥BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6，⊥ DE ＝1
2
BC ＝3.
7. A 【解析】本题考查平均数和方差的意义．从平均成绩看甲、丙两人比乙、丁两人高，都是185，故应从甲、丙两人中选，又因为甲与丙的方差分别是3.6与7.4，甲的方差比丙的方差小，说明甲的成绩比丙的成绩稳定，所以应该选择甲．
8. B 【解析】⊥菱形OABC 的顶点O (0，0)，点B 的坐标是(2，2)，⊥BO 与x 轴的夹角为45°，⊥菱形的对角线互相垂直平分，⊥点D 是线段OB 的中点，⊥点D 的坐标是(1，1)，⊥菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，⊥每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，⊥60÷8＝7……4，⊥第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，⊥点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D 关于原点O 成中心对称，⊥第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为(－1，－1)． 二、填空题
9. －1 【解析】原式＝1－2＝－1.
10. 110° 【解析】 ⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥CD ⊥AB ，⊥⊥CAB ＝⊥1＝20°，⊥BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，⊥⊥ABE ＝90°，⊥⊥2＝⊥CAB ＋⊥ABE ＝20°＋90°＝110°.
11. k ＞－9
4 【解析】⊥一元二次方程x 2＋3x －k ＝0有两个不相等的实数根，⊥b 2－4ac ＝32－4×1×(－k )
＞0，即9＋4k ＞0，解得k ＞－9
4
.
12. 1
4
【解析】画树状图如解图：
第12题解图
共有16种情况，其中两人分到同一组的情况有4种，因此小明和小亮同学被分在同一组的概率是416＝1
4
.
13. (1，4) 【解析】⊥A (0，3)、B (2，3)，两点纵坐标相同，⊥A 、B 两点关于直线x ＝1对称，⊥抛物
线的对称轴是直线x ＝1，即－b
2×（－1）＝1，解得b ＝2，⊥当x ＝0时，y ＝3，⊥c ＝3，⊥抛物线的解析式
为y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ＝1时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－12＋2×1＋3＝4，⊥抛物线的顶点坐标是(1，4)．
14. 3－π
3 【解析】 如解图，连接OC 、AC ，由题意得，OA ＝OC ＝AC ＝2，⊥⊥AOC 为等边三角形，
⊥BOC ＝30°，⊥S 扇形OBC ＝30×π×22360＝13π，S ⊥AOC ＝12×2×3＝3，S 扇形AOC ＝60×π×22360＝2π
3，则阴影部分的面积
为：S 扇形OBC －(S 扇形AOC －S ⊥AOC )＝S 扇形OBC ＋S ⊥AOC －S 扇形AOC ＝13π＋3－2π3＝3－π
3
.
第14题解图
15.
322或355 【解析】当点B′为线段MN 的三等分点时，需分两种情况讨论：(1)如解图⊥，当B′M ＝1
3
MN 时，⊥AD ⊥BC ，AB ⊥BC ，MN ⊥BC ，⊥B′M ＝13MN ＝13AB ＝1，BN ＝AM ，由折叠的性质可得AB ＝AB′＝3，⊥AB′E
＝⊥ABC ＝90°，⊥AM ＝AB′2－B′M 2＝32－12＝22，⊥EB′N ＝⊥MAB ′，⊥⊥AMB ′⊥⊥B′NE ，⊥EN B′M ＝B′N
AM ，
即
EN 1＝222，解得EN ＝22，⊥BE ＝BN －EN ＝22－22＝322；(2)如解图⊥，当B′M ＝23
MN 时，⊥AD ⊥BC ，AB ⊥BC ，MN ⊥BC ，⊥B′M ＝23MN ＝2
3AB ＝2，B′N ＝1，BN ＝AM ，⊥AM ＝AB′2－B′M 2＝32－22＝5，由
折叠性质可得⊥AB′E ＝90°，⊥⊥EB′N ＝⊥MAB ′，⊥⊥AMB ′⊥⊥B′NE ，EN B′M ＝B′N AM ，即EN 2＝15，解得EN ＝2
5＝
255，⊥BE ＝BN －EN ＝5－255＝355，综上所述，BE 长度是322或35
5
.
第15题解图
三、解答题
16. 解：原式＝x －x 2－x x 2＋x ÷ （x ＋1）（x －1）（x ＋1）2
(3分)
＝－x 2x （x ＋1）·（x ＋1）2（x ＋1）（x －1） ＝－x x －1
.(5分)
解⎩
⎪⎨⎪⎧－x ≤12x －1＜4，得－1≤x ＜52， ⊥不等式组的整数解为－1，0，1，2，(7分)
⊥要使分式有意义，则x 只能取2，
⊥原式＝－22－1
＝－2.(8分) 17. 解： (1)4；1；(2分) 解法提示⊥在7500≤x ＜8500中，有8430，8215，7638，7850，共4个数据，
⊥m ＝4；
⊥在9500≤x ＜10500中，有9865，1个数据，
⊥n ＝1.
(2)补全频数分布直方图如解图所示：
第17题解图
(4分)
(3)B ；(6分) 解法提示⊥有20名“健步走运动”团队成员，
⊥中位数是第十名和第十一名成员步数的平均数．
⊥这两名成员均在B 组，
⊥这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在B 组(6500≤x ＜7500)．
(4)120×4＋3＋120
＝48(人)． 答：该团队一天行走步数不少于7500步的人数约为48人．(9分)
18. (1)证明：在Rt⊥ABC 中，点M 是AC 的中点，
⊥MA ＝MB ，⊥A ＝⊥MBA.(2分)
第18题解图⊥
如解图⊥，连接ED ，
⊥四边形ABED 是圆内接四边形，
⊥⊥ADE ＋⊥ABE ＝180°，
又⊥⊥ADE ＋⊥MDE ＝180°，
⊥⊥MDE ＝⊥MBA ，
同理可证：⊥MED ＝⊥A ，(4分)
⊥⊥MDE ＝⊥MED ，⊥MD ＝ME .(5分)
(2)解：⊥2；(7分) 解法提示由(1)可得DE ⊥AB ，
⊥⊥DME ⊥⊥AMB ，⊥DE AB ＝DM AM
， 当AD ＝2DM 时，DM AM ＝13
， ⊥DE 6＝13
， ⊥DE ＝2.
⊥ 60°.(9分)
第18题解图⊥ 解法提示如解图⊥，连接BD ，当四边形ODME 是菱形时，
则DM ＝OD ＝OE ＝ME ，OD ⊥EM ，
⊥点O 是AB 的中点，
⊥点D 是AM 的中点，
⊥AB 是⊥O 的直径，
⊥BD 是AM 上的高，
又⊥AM ＝BM ，点D 是AM 中点，
⊥⊥ABM 是等边三角形，则⊥A ＝60°.
19. 解：如解图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则DB ＝9，(1分)
在Rt⊥CBD 中，⊥BCD ＝45°，
⊥CD ＝DB tan45°
＝9，(3分) 在Rt⊥ACD 中，⊥ACD ＝37°，
⊥AD ＝CD ·tan37°≈9×0.75＝6.75，(6分)
⊥AB ＝AD ＋DB ≈6.75＋9＝15.75，(7分)
⊥(15.75－2.25)÷45＝0.3(米/秒)，
⊥国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升．(9分)
第19题解图
20. 解：(1)设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价是y 元．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝263x ＋2y ＝29， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝7，(3分) 所以一只A 型节能灯的售价是5元，一只B 型节能灯的售价是7元．(4分)
(2)设购进A 型节能灯m 只，总费用为w 元．
依题意得w ＝5m ＋7(50－m )＝－2m ＋350.(5分)
⊥－2＜0，⊥当m 取最大值时，w 有最小值．(6分)
又⊥m ≤3(50－m )，⊥m ≤37.5，
而m 为正整数，⊥当m ＝37时，w 最小＝－2×37＋350＝276，(8分)
此时50－37＝13，
所以最省钱的购买方案是购进37只A 型节能灯，13只B 型节能灯．(9分)
【一题多解】(2)设购进A 型节能灯m 只，所以购进B 型节能灯(50－m )只，
由题意可得：m ≤3(50－m )，(5分)
解得：m ≤37.5，
⊥两种节能灯数量之和为定值，A 型节能灯售价低，
⊥购买A 型节能灯数量最多时最省钱．(6分)
⊥当x ＝37时最省钱，50－37＝13，
⊥最省钱的购买方案是购进A 型节能灯37只，B 型节能灯13只．(9分)
21. 解：(1)0；(1分)
(2)如解图所示：
第21题解图
(2分)
(3)⊥函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)；
⊥函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x ＝0(y 轴)；(4分)
⊥从图象信息直接看出：当x ＜－1或0＜x ＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x ＜0或x ＞1时，函数值随自变量的增大而增大；
⊥在x ＜－2或x ＞2时，函数值大于0，在－2＜x ＜0或0＜x ＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)(6分)
(4)⊥3；3；⊥2; ⊥－1＜a ＜0.(10分) 解法提示⊥观察图象可知函数图象与x 轴有3个交点，
⊥方程x 2－2|x |＝0有3个不相等的实数根；
⊥把抛物线y ＝x 2－2|x |向下平移2个单位，得抛物线y ＝x 2－2|x |－2，
则抛物线y ＝x 2－2|x |－2与x 轴只有2个交点，
⊥方程x 2－2|x |－2＝0有2个不相等的实数根；
⊥把抛物线y ＝x 2－2|x |向上平移a (0＜a ＜1)时，抛物线与x 轴有4个交点，
⊥抛物线解析式y ＝x 2－2|x |－a 中，0＜－a ＜1，
⊥－1＜a ＜0.
22. 解：(1)CB 延长线上；a ＋b ；(2分)
(2)⊥DC ＝BE ，理由如下：
⊥⊥ABD 和⊥ACE 为等边三角形，
⊥AD ＝AB ，AC ＝AE ，⊥BAD ＝⊥CAE ＝60°，
⊥⊥BAD ＋⊥BAC ＝⊥CAE ＋⊥BAC ，即⊥CAD ＝⊥EAB ，(5分)
⊥⊥CAD ⊥⊥EAB ，⊥DC ＝BE ；(6分)
⊥BE 长的最大值是4.(8分)
(3)AM 的最大值是3＋22，点P 的坐标是(2－2，2)．(10分) 解法提示如解图⊥，构造⊥BNP ⊥⊥MAP ，则NB ＝AM ，由(1)得出当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值(如解图⊥)，易得AN ＝22，所以AM ＝NB ＝3＋22，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PE ＝AE ＝2，所以点P 的坐标是(2－2，2)．
第22题解图
23. 解：(1)由直线y ＝－43
x ＋n 过点C (0，4)，得n ＝4， ⊥y ＝－43
x ＋4.
当y ＝0时，0＝－43
x ＋4，解得x ＝3， ⊥A (3，0)，
⊥抛物线y ＝23
x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (0，－2)， ⊥⎩⎪⎨⎪⎧0＝23×32＋3b ＋c －2＝c ， ⊥⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－43c ＝－2
， ⊥抛物线的解析式为y ＝23x 2－43
x －2；(3分) (2)⊥点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上，
⊥P (m ，23m 2－43
m －2)，D (m ，－2)，(4分) 若⊥BDP 为等腰直角三角形，则PD ＝BD ，
⊥当点P 在直线BD 上方时，PD ＝23m 2－43
m ， (⊥)若点P 在y 轴左侧，则m ＜0，BD ＝－m ，
⊥23m 2－43m ＝－m ，⊥m 1＝0(舍去)，m 2＝12
(舍去)；(5分) (⊥)若点P 在y 轴右侧，则m ＞0，BD ＝m ，
⊥23m 2－43m ＝m ，⊥m 3＝0(舍去)，m 4＝72
； (6分) ⊥当点P 在直线BD 下方时，m ＞0，BD ＝m ，PD ＝－23m 2＋43
m ， ⊥－23m 2＋43m ＝m ，⊥m 5＝0(舍去)，m 6＝12
，(7分) 综上，m ＝72或12，即当⊥BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12
.(8分) (3)P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)，P 3(258，1132
)．(11分)
第23题解图⊥
解法提示⊥⊥PBP ′＝⊥OAC ，OA ＝3，OC ＝4，
⊥AC ＝5，
⊥sin⊥PBP ′＝45，cos⊥PBP ′＝35
.
⊥当点P ′落在x 轴上时，过点D ′作D ′N ⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，⊥DBD ′＝⊥ND ′P ′＝⊥PBP ′，
PD ＝y P ＋2＝23m 2－43
m ， 如解图⊥，ND ′－MD ′＝2，
⊥ND ′＝P ′D ′·cos⊥ND ′P ′
＝35PD ＝35(23m 2－43
m )， MD ′＝BD ′·sin⊥DBD ′
＝45BD ＝－45
m ，
即35(23m 2－43m )－(－45
m )＝2，
第23题解图⊥
解得m ＝－5或m ＝5(舍去)，
⊥P 1(－5，45＋43
)； 如解图⊥，ND′＋MD′＝2，
即35(23m 2－43m )＋45
m ＝2， 解得m ＝－5(舍去)，m ＝5，
⊥P 2(5，－45＋43
)；
第23题解图⊥
⊥当点P ′落在y 轴上时，如解图⊥，过点D′作D′M ⊥x 轴，交BD 于点M ，过点P ′作P′N ⊥
y 轴，交MD′的延长线于点N ，
⊥⊥DBD′＝⊥ND′P ′＝⊥PBP′，
⊥P′N ＝BM ，
P′N ＝P′D ′·sin⊥ND′P′＝45PD ＝45(23m 2－43
m )， BM ＝BD′·cos⊥DBD ′＝35BD ＝35
m ， 即45(23m 2－43m )＝35
m ， ⊥P 3(258，1132
)． 综上所述，P 点坐标为P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)，P 3(258，1132
)．。