2015春季八年级数学下册第十六章《二次根式》导学案

二次根式的概念（第1课时）学生姓名：______________
学习目标：理解二次根式的概念，并利用a（a>0）的意义解答具体题目
重点：形如逅（a> 0）的式子叫做二次根式的概念；难点：利用“府（a>0）”解决具体问题.
学习过程
一、知识准备
平方根的性质：正数有 _个平方根，它们_____________________________ ; 0的平方根是_________ ;负数_________ 平方根。

思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）_______________________________面积为5的正方形的边长为;
（2）________________________________________________ 要修建一个面积为3的圆形喷水池，它的半径为m；
（3）—个位图从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系h=t2
如果用含有h的式子表示t,则t= ____________。

（4）6的算术平方根的相反数为_______________ ; （5）0的算术平方根为_________ 。

（用「表示）
二、探究
在上面的问题中，结果分别是____________________________________________________ ，它们都表示一些正数的算术平方根。

一般地，我们把形如___________________________________ 的式子叫做二次根式，“、、—”称为（二次）根号.
注：开平方时，被开方数a的取值范围_____________________________________ （为什么？）
例1•当x是多少时，..x -2 在实数范围内有意义？
例2、当x是多少时，.2x 3 +-^在实数范围内有意义?
x十1
例3 若.a • 1 + '、b -1=0,求a2004+b2004的值.
三、练习
（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:
是二次根式的有: 不是二次根式的有:
（2）当a 是怎样的实数时，下
列各式在实数范围内有意义?
.2a 3
四、课堂小结
二次根式的概念需注意:
已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ）
1 C .
5
六、课后反思
二次根式的性质（第2课时）
学生姓名： ___________
教学目标1、理解.a （ a >0）是一个非负数2、理解二次根式的两个性质（,a ） =a （a >0）和 =a （a 》0） o
3、会运用上述两个性质进行有关计算和化简。

重点：理解二次根式的上述两个性质； 难点：灵活运用上述两个性质进行有关计算。

学习过程
yfX ( X>0)、y^0、-
1
、.厂y (x > 0, y?> 0)
x y
.3 - a
五、课后作业
形如
1、
的式子叫做二次根式.
2、 若弋3 —x + ■. x —3有意义，贝V
3、 F 列式子中，是二次根式的是（
4、 D .以上皆不对
5、
当x 是多少时，—2x ―3
在实数范围内有意义? x
6、
已知a 、b 为实数，且满足 a +1十』2 —b =0 ,求
a
b 的值.
一、 知识准备
二次根式的概念： _________________________________________________________________________ 二、 探究
探究（一）当a>0时，...a 表示a 的算数平方根，因此
a
0;
当a =0
时，
，a 表示o 的算数平方根，因此 \ a 0.
概括：一般地：
s/a （a > 0）是一个 ____________________ 数.
探究（二） 根据算术平方根的意义填空：
（、、4）2= _____ ； 分析：例如-4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义,
.4是一个平方等于4的非负数，因此有（厂=4.
(血)2= __________ ； (J i ) 2= ______ ；(真)2= __________
概括：一般地：（石）2 = _____________ （a > 0）
例题与练习：计算
三、课堂小结
二次根式的性质：
ja （ a > 0）是一个 ___________________ 数.
(a ) 2 =
(a > 0)
a 2 =
(a 0
)
四、课后作业
1、数a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（）.
A 、a>0
B 、a A 0
C 、a<0
D 、a=0 o ■厂3有意义，则x 的取值范围为
2、
A 、x>3
B 、x > 3
C 、x<3
D . x=3 3、 (-品)2= ______________ ;
- J0.0004 = _________
4、 已知JE 无意义，那么x 的取值范围是 _____________________
探究（三）
22 =
；
(3)2 =
例题与练习：
化简
(2)■ (V)2
概括：一般地:
3.
5、若是一个正整数，则正整数m的最小值是____________ .
6、计算
(1)(-9) 2(2) - ( .3) 2(3) ( 1,6)2
2
7、已知、x _ y 1+ .一x _3=0，求x y的值.
8在实数范围内分解下列因式
2
(2) x2+2x+3
(1) x -2
9、先化简再求值：当a=9时，求a+1 -2a • a2的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+、. (1 —a)2=a+ (1-a ) =1 ；
乙的解答为：原式=a+ . (1-a)2=a+ (a-1 ) =2a-仁17 .
两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是
五、课后反思
一次根式的乘法(第3课时)学生姓名：
学习目标：理解a•、b= '■ ab(a>0, b>0) , =禹•代(a A 0, b A0),并利用它们进行计算和化简重点：-.a • <b :=■- ab (a> 0, b A 0), a =-、a • 、、b (a> 0, b A 0)及它们的运用.
难点：发现规律，导出 a • b = ■■、ab(a A 0, b A 0).
学习过程
一、.准备知识二次根式的性质：1.
2.
二、探究新知
请同学们完成填空
参考上面的结果，用“
＞、＜ 或=”填空.
J10O x 辰 ______ JlOO x 36
归纳：对二次根式的乘法规定为
三、例题与练习 例1、计算
①、2 x 5 ② 3 x .. 12
③ 3飞 x 2 .10
所用公式： ____________________________________________________
例2.化简 ①.20
②-.16 81
③.24
④ 4a 2b 3
逆用公式： _______________________________________________
例3.计算
(1) 、14 x ,7
(2) 3 ..5 x 2.10
例4.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:
(1) 「4 x ,9 = ，后9= ______ ; (2) x 725
,.、16 25 =
(3) .. 100 x .. 36 =
,J100 x 36 = ____ . (4)
4、° =
\[4 x ________ J 4 h 9 ,
金 x V 25 _____ Jl6汉 25 ,
'
4
反过来： (3) 3x •一1xy
\ 3
(1)、(_4) (一9) = •口(2) 4；：X , 25=4X
四、课堂小结
回顾公式的正用与逆用:
五、课后作业
1、计算：（1）. 24
(3) \ 18 20 X
2、下列各等式成立的是)•A
、y/a•= . (a 0, b 0)
、ab(a _____ 0, b _______ 0)
(2) ■- 6 X( —J15 )
45 X 2、、5 =8 5 B 、5.3 X 4、2 =205 C、4 ： 3 X 3 . 2 =7 D、5X 4 辽=20 走3、已知正方形的边长为a,面积为S.
(1)如果S=50cm 2,求a; (2)2
如果S=242cm ,求a.
六、课后反思
二次根式的除法（第4课时）学生姓名：
学习目标:
a(a> 0, b>0)和b a= a(a> 0,
b b>0 ）及利用它们进行计算和化简.
重点：理解■1=一(a》0, b>0), b a='a（a>0, b>0）及利用它们进行计算和化简.
b b
难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.
学习过程
一、准备知识
二次根式的乘法规定为
反过来:二、探究新知
薦•& = - . (a _______ 0, b ______ 0) Vab = ~ ~ (a __________ 0, b ______0)请同学们完成填空
5^6
；(2)36 =
、16
36
0 25_
三、例题与练习分析
四、课堂练习
五、课堂小结
请同学们注意公式成立的条件 六、课堂作业
例：计算
V24
⑴.6
计算:
79
⑵石
3)
648
\
|7
3
计算: (4)
*25
七、课后反思(5) ,2a , 6a (6)
b
20 a2
二次根式的乘除法公式的应用一化简（第5课时）学生姓名：学习目标:
学会用'-ab 八a •b( a> o, b > 0)和(a>0, b>0来化简.
重点：难点：学会用ab八a• b（a> 0, b > 0）
a _、a
b= ,b
(a> 0, b>0来化简.
学习过程
一、复习
化简：（1）12
、24 （2）3
二、探究（用公式化简）
化简(1) 27
⑵1O0 l2
观察上面各小题的最后结果（1）______________ （2） ______ （3）______ 等，这些二次根式有哪些特点: （1） __________________________________________________________________________ 被开方数不含
（2） ________________________________________________________________________________________ 被开方数不含归纳概念最简二次根式：
三、例题分析
化简：（1）■：■ ：98 = . 49，：-•.. 2 = 7；：.：? （？= ）
（2）1二/二1^2（？= _________ ）（你还有方法吗？）
\3<3 13^3 3
四、课堂小结
1、请同学们注意用公式化简
2、在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为_________________________________ .
五、课堂作业
1、下列是最简二次根式的是（）
A、,8
B、,10
C
、
18
：5
D、.
.3
2、计算：
（1）32
（
2）..40（3） 1.5（4）•. 18 " 、2
v7232⑸需⑹312；（7）.27，
六、课后反思
二次根式的加减（1）（第6课时） 学生姓名： ____________
学习目标：
1. 使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次根式 .
2. 使学生会通过合并同类二次根式
，进行二次根式的加法与减法运算
•
重点：同类二次根式概念以及二次根式的加法与减法运算 难点:如何辨别两个根式是否同类二次根式 学习过程 一、 复习、类比
1、 什么是同类项？
2、 合并同类项（1）2x+3x ；
（ 2）2X 2-3X 2+5X 2
二、 探究
1、类比回答：（1）2x 4与-5X 4是 ________ 项
（2） 2...3与-53是 _________ 二次根式。

归纳同类二次根式的概念： _____________________________________________________________________________
例：
2、思考：,18与、、8是同类二次根式吗？
归纳怎样合并同类二次根式:
4、如何进行二次根式加减计算？ __________________________________________________
3、类比计算：（1） 5a+3a= 5.6 3.6 =
三、例题
计算
(1) 2-[7 -.-6：_7 ( 2) J 80 -.-J 45
四、 课堂小结
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
五、 课堂作业
1、在 、一』75a 、一』9a 、 J125、 一 J3a ‘、3 J0.2 > -2 /一 中，与 J 3a 3 3 a Y 8 是同类二次根式的有 ________________________________: ____________________________
2、下列计算正确吗？若错误请改正。

（1） 2 , 3 =、,5 （ 2）2 .. 2 = 2 .. 2
(5) 2.12 、27 (6) 3、、48-9 ,
+^.一2(3) 3 ... 2 -2 = 3 (4) 』8「9一、4 =3一2=1
2
3、以下二次根式：① .12 :②,22 ； A .①和② B .②和③
③L 2 ;④.27中，与,3是同类二次根式的是（ ）
. .①和④ D .③和④
4、下列计算是否正确？为什么?
（1） 8 - 3 = •. 8 —'3 (2) (3)3 2-2^2. 2
5、计算:
（1） 2、一2+3 (2) 2、、8 -3 8+^.8 (3) 3.3-2「3+ . 3
(4) 、12 、20 .3 -、5
六、课后反思
二次根式的加减(2)(第7课时) 学生姓名：
学习目标：
1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算. 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.
学习过程
一、复习
1、请同学们回顾整式的运算：(1)单项式乘多项式
(2)多项式乘多项式
(3)多项式除单项式
(4)平方差公式
(5)完全平方公式
2、计算
(1) (x+y) • z ( 2) (2x+1)(x-2) (3) (2x2y+3xy2)+ xy
2 2
3 一2 -5 (3)
4 2 - 3 6 - 2 2
(4) (2x+y ) (2x-y ) (5) (x+1) 2+ (x-1 )
、探究
x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢? 2、仿照计算
归纳：整式运算中的 x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切,(4) 5・.5 -、.3 (5)
1、思考：如果把上面的 (1) 8 3 6 ?当然也可以代表二次根式,
所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.
三、课堂小结
四、课堂作业
1、计算
（1）（.6+、、8）x .3(2) (4、. 6-3 .,2 )- 2( 3) ( .5 3) ..5 2
(4) (.. 80 .. 40) ： . 52
(5) (4+戸)(4-J7) (7)(V3 + 2)
2、已知x= 3 1，y= , 3 - 1 ，求下列各式的值:
2 2 2 2
(1)x +2xy+y ⑵ x - y
五、课后反思。