2019年苏州中考《第一讲：填空选择压轴题选讲》专题复习含答案

2019年苏州中考数学专题辅导
第一讲 填空选择压轴题选讲
真题再现：
1．（2008年苏州第12题）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2
y ax bx c =++的图象时．列了如
下表格：
根据表格上的信息同答问题：该=次函数2
y ax bx c =++在x =3时，y= ．
2．（2008年苏州第18题）如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°． 现
给出以下四个结论：
①∠A=45°； ②AC=AB ：
③AE BE =； ④CE ·AB=2BD 2． 其中正确结论的序号是
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
3．（江苏省2009年第8题）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； ……
第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A ．第10个数；
B ．第11个数；
C ．第12个数；
D ．第13个数
4．（江苏省2009年第18题）如图，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，DEF △的面积为2
4cm ，则梯形ABCD 的面积为 cm 2．
5．（2019年苏州第10题）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，
0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-．2
6．（2019年苏州第18题）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为()
、(0，2)， P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为 ．
7．（2019年苏州第10题）如图，已知A 点坐标为（5，0），直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，∠a=75°，则b 的值为（ ）
A ．3
B ．4 D
8．（2019年苏州第18题）如图，已知点A ，3），AB ⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ，反比例函数k y x =（k>0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D ．若AB ＝3BD ，以点C 为圆心，CA 的54
倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是 （填“相离”、“相切”或“相交”）．
9．（2019年苏州第10题）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥
10．（2019年苏州第17题）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1y x =
图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数2y x
=-图象的一个分支，在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ．若四边形ACDB 的周长为8且 AB<AC ，则点A 的坐标是 ．
（第10题）
11．如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A →B →C →
D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止．已知△PAD 的面积S (单位：cm 2)与点P 移动的时间t(单
位：s)的函数关系如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了 秒(结果保留根号）．
12．（2019年•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（ ）
A．
；B．
；
C．
；
D．2
；
（第12题）（第13题）
13．（2019年•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长
为．（结果保留π）
14．（2019年•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标
为．
（第14题）（第15题）
15．（2019年•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=
用含k的代数式表示）．
16．（2019年•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）
A．4km；B．2km ； C．2km； D．（+1）km
（第16题）（第17题）17．（2019年•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为
A．
（，）B．
（，）
C．
（，）
D．
（，4）
18．（2019年•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．
（第18题）（第19题）
19．（2019年•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若
AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．
20．（2019年•苏州）如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB⊥l，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x ﹣y ）的最大值是 ．
（第20题）
模拟训练：
1．（青云中学2019年中考模拟）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 是DC 中点，AF 平分∠EAB ，FH ⊥
AD 交AE 于点G ，则GH 的长为（ ）
2．（青云中学2019年中考模拟）已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB ＝54，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为（ ） A.1
(1,)2 B.42(,)33 C.63(,)55 D.105(,)77
3．（青云中学2019年中考模拟）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥AB ，∠ABC ＝30°，
过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F ，则AO
AF ＝ ．
4．（青云中学2019年中考模拟）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A （1，12）和B （6，2）两点，
点P 是线段AB 上一动点(不与点A 和B 重合)，过P 点分别作x 、y 轴的垂线PC 、PD 交反比例函数图像于
点M 、N ，则四边形PMON 面积的最大值是 ．
5．（无锡市滨湖区2019年）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线y ＝k x
( x ＞0)上，BC 与x 轴交于点D ．若点A 的坐标为（2，4），则点D 的坐标为（ ）
A ．（322，0）
B ．（215，0）
C ．（968，0）
D ．（5
48，0） 6．（无锡市滨湖区2019年）如图，在⊙O 中直径AB=8，弦AC=CD=2，则BD 长为（ ） A ．7
B ．6
C ．53
D ． 515
9
7．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在 ⊙O 上运 动，则正方形面
积最大时，正方形与⊙O 重叠部分的面积是 .
8．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，点E 从C 点出发向终点B 运动，速度为1cm/秒，运动时间为t 秒，作EF∥AB，点P 是点C 关于FE 的对称点，连接AP ，当△AFP 恰好是直角三角形时，t
的值为____________．
（第7题）
9．（南通启东市2019年）如图，在平面直角坐标系中 ，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的
负半轴上，∠BOC=60°，顶点C 的坐标为(m,
，反比例函数k y x
的图像与菱形对角线AO 交于D 点，连接BD ，当BD ⊥x 轴时，k 的值是（ ）．
A ．
B ．－
C ．
D ．－
12
（第9题）（第10题）
10．（南通启东市2019年）如图，在RT △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，点M 为边AB 上的一动点，点N 为边AC 上的一动点，且∠MDN ＝90°，则cos ∠DMN 为（ ）．
A.
；
B. ；
C. 35；
D. 45
11．（南通启东市2019年）如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 值为 ．
12．（南通启东市2019年）已知点P 的坐标为（m －1,m 2－2m －3）,则点P 到直线y ＝－5的最小值
为 ．
（第11题）
13．（2019年苏州市平江）如图，在等边△ABC 中，AB ＝10，BD ＝4，BE ＝2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是 ．
14．（2019年苏州模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC ＝2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
A. 30，2
B.60，2
C. 60，3
D. 60， 3
15．（2019年苏州模拟）如图，以O 为圆心的圆与直线y ＝－x+3交于A 、B 两点，若△OAB 恰为等边三角形，则弧AB 的长度为（ ）
(第14题) 题）
A ．23π
B ．π
C ．π
D ．13π 16．（2019•苏州模拟）如图，□ABCD 顶点A ，B 坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C ，D 在双曲
线y ＝k x
上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k ＝__ ___．
（第16题）（第17题）
17．（2019年苏州模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，3）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形
A 2
B 2
C 2C 1…，按这样的规律进行下去，第4个正方形的边长为___ ．
18.（吴江区2019O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且4AB CD ==，则OP 的长为( )
C. 2
D.
19. （吴江区2019年）如图，A 、B 、C 是反比例函数(0)k y k x
=<图象上三点，作直线l ，使A 、B 、C 到直线l 的距离之比为3:1:1，则满足条件的直线l 共有( )
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条
（第18题）（第19题）
20．（蔡老师预测2019年）如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为 （a ，b ）、（3，1）、（－a ，b ），则点D 的坐标为（ ）
A ．（1，3）
B ．（3，－1）
C ．（－1，－3）
D ．（－3，1）
21．（蔡老师预测2019年）二次函数y ＝a(x －b)2＋c （a ＜0）的图像经过点（1，1）和（3，3），则b 的
取值范围是 ．
22．（蔡老师预测2019年）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠PAB ＝
24．（苏州市区2019年）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4.点P 是△ABC 内的一点，连接
PC ，以PC 为直角边在PC 的右上方作等腰直角三角形PCD.连接AD ，若AD ∥BC ，且四边形ABCD 的面积为12，则BP 的长为 ．
25．（太仓市2019年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标系原点，A(3，0)，B(3，1)，C(0，1)，将OAB ∆ 沿直线OB 折叠，使得点A 落在点D 处，OD 与BC 交于点E ，则OD 所在直线的解析式为 （ ）
A ．45y x =
B ．54y x =
C ．34y x =
D ．43
y x = 26．（太仓市2019年）已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，且a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0，有以下四个命题，①x=1是二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的左侧；④不等式4a+2b+c>0一定成立．则一定正确命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．③④ 27．（太仓市2019年）已知△ABC 中， AB=4，AC=3，当∠B 取得最大值时，BC 的长度为 ．
28．（相城区2019年）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为(2,4)A -，(4,2)B ，直线2y kx =-与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ）
A 5- B.2- C. 3 D. 5
29．（相城区2019年）若,()m n m n <是关于x
的方程()()x a x b --=a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）
A.m a b n <<<
B.a m n b <<<
C.a m b n <<<
D. m a n b <<<
（第28题）（第30题）
30．（相城区2019年）如图，在平面直角坐标系中，过点(3,2)M -分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数4y x
=
的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为 . 31．（相城区2019年）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，顺次连接P 、M 、Q 、N ，则四边形PMQN 的面积的最大值
.
（第31题） 第32
图1 C
32．（高新区2019年）如图1，在平行四边形ABCD 中，点P 从起点B 出发，沿BC ，CD 逆时针方向向终点D 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，则线段AP ，AD 与平行四边形的边所围成的图形面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图像大致如图2，则AB 边上的高是( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 33．（高新区2019年）如图，菱形ABCD 放置在直线l 上(AB 与直线l 重合)，AB ＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD 沿直线l 向右无滑动地在直线l 上滚动，从点A 离开出发点到点A 第一次落在直线l 上为止，点A 运动经过的路径总长度为( )
A
B
； C
D
34．（高新区2019年）如图，已知点A 是双曲线1y x
=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x
=(k ＜0)上运动，则k 的值是 ． 35．（高新区2019年）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点(不与B 、D 重合)，连结AP ，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为H ，连结DH ，若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是 ．
36．（高新区2019年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别为(6，0)，(7，3)，将平行四边形OABC 绕点O 逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC 的延长线上时，线段OA′交BC 于点E ，则线段C′E 的长度为 ．
（第37题）
37.（2019年常熟）如图，在四边形ABCD 中， 90,60ADC BAD ∠=︒∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠，且4AB AC ==，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，连接DE 、EF 、DF ，则DF 的长为 .
38. （2019年常熟）如图，在ABC ∆中， 90,8,6ACB BC AC ∠=︒==，以点C 为圆心，4为半径的
C D B l
A 第33题图
圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则
12
BD AD +的最小值是 . 39．（2019年吴中）如图，二次函数213222y x x =--+象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA 的面积的最大值是 。

40．（2019年吴中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =经过点A ，作AB x ⊥轴于点B ，将ABO V 绕点B 逆时针旋转60︒得到CBD V 。

若点B 的坐标为(2,0)，则点C 的坐标为 。

（第38题） （第39题） （第40题）
★★★问题情境：如图1，P 是⊙O 外的一点，直线PO 分别交⊙O 于点A 、B ，则PA 是点P 到⊙O 上的点的最短距离．
探究：请您结合图2给予证明，
归纳：圆外一点到圆上各点最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间距离．
图中有圆，直接运用：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 ．
图中无圆，构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C 长度的最小值．
解：由折叠知A′M=AM，又M 是AD 的中点，可得MA=MA'=MD ，故点A'在以AD 为直径的圆上．如图5，以点M 为圆心，MA 为半径画⊙M ，过M 作MH ⊥CD ，垂足为H ，（请继续完成下列解题过程）
迁移拓展，深化运用：
如图6，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．
参考答案
1．-4；2．C ；3．A ；4．16；5．C ；6．1)；7．B ；8．相交；9．D ；
10．1
(,3)3
；11．4+
12．解：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN⊥OA 于N ，则此时PA+PC 的值最小，∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD ， ∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2， 由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，∴AD=2×=3， ∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=
，
∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC==
，即PA+PC
的最小值是
，故选B ．
（第12题）
（第13题）
13．解：连接OB ，OC ，∵AB 为圆O 的切线，∴∠ABO=90°， 在Rt△ABO 中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC ，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧
长为
=π．故答案为：π
14．解：∵四边形OABC 是边长为2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，
∵QO=OC，∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，
∵正方形OABC 的边AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ， ∴
=
，即
=
，解得BP=2
﹣2，
∴AP =AB ﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2， ∴点P 的坐标为（2，4﹣2）．故答案为：（2，4﹣2）． 15．解：∵点E 是边CD 的中点，∴DE=CE，
∵将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE，∴DE=EF，AF=AD ，∠AFE=∠D=90°，∴CE=EF， 连接EG ，在Rt△ECG 和Rt△EFG 中，，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL ），
∴CG=FG，设CG=a ，∵
=，∴GB=ka，∴BC=CG+BG=a+ka=a（k+1），
在矩形ABCD 中，AD=BC=a （k+1），∴AF=a（k+1），
AG=AF+FG=a （k+1）+a=a （k+2）， 在Rt△ABG 中，AB==
=2a
，
∴
=
=
．故答案为：
．
（第15题）（第16题）
16．解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，
∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．
即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选C．
17．解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，），∴OC=2，AC=，由勾股定理得，OA===3，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，
由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×=，BD=4×=，
∴OD=OB+BD=4+=，∴点O′的坐标为（，）．故选C．
（第17题）（第18题）
18．解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．
19．解：如图，连接BE，则BE=BC．设AB=3x，BC=5x，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，
由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x﹣4x=x，∵AE•ED=，∴4x•x=，
解得：x=（负数舍去），则AB=3x=，BC=5x=，
∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，故答案为：5．
（第19题）（第20题）20．解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，
∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，∴=，∵PA=x，PB=y，半径为4，∴=，∴y=x2，
∴x﹣y=x ﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2，
模拟训练：
1．B；2．D；3
．
7
；4．
25
2
；5．B；6．A；7．；8．；9．D；
10．D；11．4.8；12．1；13．8；14．C；15．C；16．12；17
18．B；19．A；20．D；21．b
＞2；22．2－1；23．A；24
25．C；26．C；27
；
28．B；29．A；30．10；31．5
2
；32．B；33．D；34．－3；
35. ；36. 5；
37
．；解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，
由（1）可知EF∥AB，AE=DE，∴∠FEC=∠BAC=30°，∠DEA=2∠DAC=60°，∴∠FED=90°，∵AC=4，∴DE=EF=2，∴DF==2．
38
．
1
2
+
π
8
25
8
7
或
故B′D=1
2
BD，因此，求
1
2
BD+AD 的最小值，也就是求 B'D+AD 的最小值；两点之间线段最短，所以当 D
位于线段 AB' 上时，B'D+AD 最小且等于线段 AB' 的长度（如图所示）；不难看出，线段 AB'
= 436210
+=。

39．8；40．(1,3)
-。

【考点】圆的综合题．
【分析】探究：在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC，证得PA＜PC即可得到PA是点P到⊙O 上的点的最短距离；
图中有圆，直接运用：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可；
图中无圆，构造运用：根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可；
迁移拓展，深化运用：由正方形性质：AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：探究：
如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO=PA+OA，OA=OC，∴PA＜PC，
∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（3分）
图中有圆，直接运用：
解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，
可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，
∵AE==，P2E=1，∴AP2=﹣1．故答案为：﹣1；
图中无圆，构造运用：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF ⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，
∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cos30°=，
∴MC==，∴A′C=MC﹣MA′=﹣1．故答案为：﹣1．
迁移拓展，深化运用：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF 中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=AB=1，
在Rt△AOD中，OD===，根据三角形的三边关系，
OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系及圆的性质，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若关于x 的一元二次方程kx 2
-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围( ) A.k 1<且k 0≠
B.k 0≠
C.k 1<
D.k 1>
2．下列命题中真命题是（ ）
A ．若a 2
=b 2
,则a=b B ．4的平方根是±2
C ．两个锐角之和一定是钝角
D ．相等的两个角是对顶角 3．分式方程216
111
x x x +-=--的解是（ ） A ．x ＝﹣2
B ．x ＝2
C ．x ＝3
D ．无解
4．如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A ．20
10
x x +>⎧⎨
->⎩
B ．20
10
x x +>⎧⎨
-<⎩
C ．2010x x +<⎧⎨->⎩
D ．20
10x x +<⎧⎨-<⎩
5．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．0
B ．﹣1
C ．1
D ．2
6．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm 2，高为8cm ，乙圆柱型容器底面积为xcm 2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y （cm ）与x （cm 2）之间的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列结果不正确的是（ ） A ．()
2
353
3-=
B ．22233333++=
C ．426333-÷=
D ．2019201833-能被2整除
8．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A ′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A.12
a -
B.1
(1)2
a -
+ C.1
(1)2
a -
- D.1
(3)2
a -
+ 9．体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛，要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投篮10次，每投中1次记1分）:①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同．上述说法中，正确的序号是（ ）
A.①②③
B.①③
C.②③
D.①②.
10．下面的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，抛物线()2
0y ax bx c a =++≠过点()1,0和点()0,2-，且顶点在第三象限，设m a b c =-+，则m 的取值范围是（ ）
A ．10m -<<
B ．20m -<<
C ．40m -<<
D ．42m -<<-
12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ），半径为2，直线y ＝﹣x 与⊙P 相交于A 、B 两点，
若弦AB 的长为a 的值是（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣2
D ．﹣2
二、填空题
13．已知反比例函数y=k
x
（k≠0）的图象在第二、四象限，则k 的值可以是：____（写出一个满足条件的k 的值）．
14．2019年4月29日中国北京世界园艺博览会在北京延庆开幕，大会以“绿色生活，美丽家园”为主题．如图，是北京世界园艺博览会部分导游图，若国际馆的坐标为(4，2)，植物馆的坐标为(﹣4，﹣1)，则中国馆的坐标为_____．
15．函数y
中，自变量x 的取值范围是____． 16．如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为_____．
17．因式分解：316y y -+=_________．
18．已知不等式组1
x x a >⎧⎨<⎩
无解，则a 的取值范围是_____．
三、解答题
19．已知抛物线y ＝ax 2
+bx+3与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点D （0，
7
4
）作x 轴的平行线交抛物线于E ，F 两点，求EF 的长； （3）当y≤
7
4
时，直接写出x 的取值范围是 ． 20．对于平面内的∠MAN 及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距离分别为d 1，d 2，称12
d d 和2
1d d 这两个数中较大的一个为点P 关于MAN ∠的“偏率” . 在平面直角坐标系xOy 中，
（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点.
①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于MON ∠的“偏率”为____________；
②若第一象限内点Q （a ，b ）关于MON ∠的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为____________；
（2）已知点A （4，0），B （2，，连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）. 若点C 关于AOB ∠的“偏率”为2，求点C 的坐标；
（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为（t ，4），T 是以点T 为圆心，
半径为1的圆. 若T 上的所有点都在第一象限，且关于EOF ∠直接写出t 的取值范围.
21．某单位需要购买一些钢笔和笔记本．若购买2支钢笔和1本笔记本需42元，购买3支钢笔和2本笔记本需68元．
（1）求买一支钢笔要多少钱？
（2）若购买了钢笔和笔记本共50件，付款可能是810元吗？说明理由．
22．某中学校开展了“献爱心”捐款活动。

第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款? 23．如图，直线y ＝x+m 与双曲线y ＝相交于A （2，1），B 两点．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式，并求出B 点坐标；
（2）若P 为直线x ＝上一点，当△APB 的面积为6时，请求出点P 的坐标．
24．抛物线2
()2(0)y x m m =--+>的顶点为A ，与直线2m x =相交于点B ，点A 关于直线2
m
x =的对称点为C .
（Ⅰ）若抛物线2
()2(0)y x m m =--+>经过原点，求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m 的值，使得点B 到x 轴距离等于点B 到直线AC 距离的一半，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）将2
()2(0)2m
y x m m x =--+>≥
且的函数图象记为图象G ，图象G 关于直线2
m x =的对称图象记为图象H ，图象G 与图象H 组合成的图象记为M . ①当M 与x 轴恰好有三个交点时，求m 的值：
②当ABC ∆为等边三角形时，直接写出M 所对应的函数值小于0时，自变量x 的取值范围.
25．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC≠AB，BD ⊥CD ，AB ＝3，BD ＝4，求BC 的长； （2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BC ＝2．在AB 的垂直平分线上是否存在点P 使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”？若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题
13．-2(答案不唯一) 14．(0，0) 15．x≤
2
3
且x≠0． 16．a+b ﹣c 17．(4)(4)y y y -+- 18．a≤1 三、解答题
19．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）EF 长为2；（312
x ≤或3
2x ≥．
【解析】 【分析】
（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，即可求解； （2）把点D 的y 坐标
7
4
代入y=-x 2+2x+3，即可求解； （3）直线EF 下侧的图象符合要求． 【详解】
（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3，
解得：a ＝﹣1，b ＝2，
抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3；
（2）把点D 的y 坐标y ＝74
，代入y ＝﹣x 2+2x+3， 解得：x ＝12或32
，
则EF 长31222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
； （3）由题意得：
当y≤74
时，直接写出x 的取值范围是：12x ≤或32x ≥， 故答案为：12x ≤或32x ≥． 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．
20．（1）①5；②a h =；（2）点C 的坐标为83⎛ ⎝⎭或103⎛ ⎝⎭；（3）1t <<2t >+. 【解析】
【分析】
（1）①根据“偏率”的定义，结合点P 的坐标，即可得出答案；
②根据“偏率”的定义，结合题干第一象限内点Q （a ，b ），即可得出答案；
（2）由点(4,0),(2,A B ，得OB 、AB 长度，从而得到OAB △是等边三角形.
由等边三角形性质，根据相似的判断可得ACD BCH △△∽.则
CD CA CH CB =. 由于点C 关于AOB ∠的“偏第”为2，所以
2CD CH =或2CH CD
=. 再根据三角函数即可得出答案；
∴点C 的坐标为8,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（3）根据第（3）题意和“偏率”的定义即可得出答案.
【详解】
解：（1）①5；
②a h =；
（2）∵点(4,0),(2,A B ，
∴4,44,OB AB OA =====.
∴OA OB AB ==.
∴OAB △是等边三角形.
∴60OAB OBA ∠=∠=︒.
过点C 作CD OA ⊥于点D ，CH OB ⊥于点H ，如图，
则90CDA CHB ∠=∠=︒.
∴ACD BCH △△∽. ∴
CD CA CH CB
=. ∵点C 关于AOB ∠的“偏第”为2， ∴2CD CH =或2CH CD =.
当
2CD CH =时，则2CA CB
=. ∴2833CA AB ==.
∴4cos 60,sin 603DA CA CD CA =⋅︒=
=⋅︒=. ∴83OD OA DA =-=
.
∴点C 的坐标为83⎛ ⎝⎭
.
同理可求，当2CH CD =时，点C 的坐标为10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
∴点C 的坐标为8,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（3）13
t <<或2t >+. 【点睛】 本题考查等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定和三角函数，解题的关键是读懂“偏率”，掌握等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定和三角函数.
21．（1）16；（2）不可能，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）设一支钢笔x 元，一本笔记本y 元，根据“购买2支钢笔和1本笔记本需42元，购买3支钢笔和2本笔记本需68元．”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买m 支钢笔，则购买（50﹣m ）本笔记本，根据总价＝单价×数量结合购买的费用为810元，即可得出关于m 的一元一次方程，解得m 的值为不大于50的正整数即可．
【详解】
解：（1）设一支钢笔x 元，一本笔记本y 元，
根据题意得：2423268x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得：1610x y =⎧⎨=⎩
． 答：一支钢笔16元，一本笔记本10元．
（2）设学校购买m 支钢笔，则购买（50﹣m ）本笔记本，
根据题意得：16m+10（50﹣m ）＝810，
解得：m ＝52＞50，不符合题意．
答：若购买了钢笔和笔记本共50件，付款不可能是810元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．
22．（1）10%；（2）第四天该校能收到的捐款是 13310 元
【解析】
【分析】
（1）设捐款增长率为 x ，可得第二天捐款10000（1+x)元，第三天捐款10000（1+x)2
元，由第三天收到捐款12100元，可得方程10000（1+x)2=12100，解出方程即得.
（2）第四天该校能收到捐款 =12100（1+x ）,代入数据计算即得.
【详解】
（1）捐款增长率为 x ，根据题意得：
10000（1+x ）2＝12100，
解得：x 1＝0.1，x 2＝﹣2.1（舍去）．
则 x ＝0.1＝10%．
答：捐款的增长率为 10%.
（2）根据题意得：12100×（1+10%）＝13310（元）
答：第四天该校能收到的捐款是 13310 元.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去．
23．（1）一次函数的解析式为y＝x﹣1，反比例函数的解析式y＝，B的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）P点的坐标为（，）或（，﹣）．
【解析】
【分析】
（1）将点A代入两解析式根据待定系数法即可求得一次函数与反比例函数的解析式，联立方程，解方程组即可求得B点的坐标．
（2）求得直线x＝与直线y＝x﹣1的交点坐标，设P（,n）,根据题意得出|n+|×（2+1）＝6,解得n 的值,从而求得P的坐标．
【详解】
解：（1）因为点A（2,1）在两函数图象上,
则1＝2+m,1＝,
解得：m＝﹣1,k＝2,
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1,反比例函数的解析式y＝，
联立:,
解得:x＝2或x＝﹣1,
又∵点A的坐标为（2，1）,
故点B的坐标为（﹣1，﹣2）,
（2）把x＝代入y＝x﹣1得，y＝﹣1＝﹣，
∴直线x＝与直线y＝x﹣1交点C的坐标为（，﹣）,
设P（，n）,
∴PC＝|n+|，
∴S△APB＝S△APC+S△BPC＝|n+|×（2+1）＝6,
解得，n＝或n＝﹣，
∴P点的坐标为（，）或（，﹣）．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决本题的关键是要熟练掌握待定系数法．
24． ；(2) m=2；(3)①m=x ＜x ＜x ＞
【解析】
【分析】
(1)将原点代入表达式，即可求出m;
(2)利用使得点B 到x 轴距离等于点B 到直线AC 距离的一半，给出等量关系即可求出结果，
（3）：①当M 与x 轴恰好有三个交点时，则抛物线与直线2
m x =相交于点B 为(02m ，)； ②，利用ABC ∆为等边三角形，算出m 的值，然后求函数M 的零点，即可给出答案，
【详解】
解：
(1)将原点代入表达式得0=-m²+2，∵ m ＞0，∴ ； (2) m 2x =时，2m 24
y =-+，B(m 2,2m 24-+), 点A （m,2），则C （0，2），
点B 到直线AC 距离为22
m m -+2-2=44
点B 到x 轴距离为2m 24-+，∴22m 1m 2=424
-+⨯，
∵ m =m =4m =或4m =-（舍）.
∴3
m =或4m =. (3)①∵M 与x 轴恰好有三个交点， ∴抛物线与直线2m x =相交于点B 为(02m ，)，将B 代入表达式2()2y x m =--+，得2m 024
=-+，则
m=或 m=.。