中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案解析

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中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案解析
一、相似
1.已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等.
(1)求实数a,b的值;
(2)如图①,动点E,F同时从A点出发,其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动,点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动.当点E停止运动时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒.连接EF,将△AEF沿EF翻折,使点A落在点D处,得到△DEF.
①是否存在某一时刻t,使得△DCF为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式.
【答案】(1)解:由题意得:,解得:a= ,b=
(2)解:①由(1)知二次函数为 .∵A(4,0),∴B(﹣1,0),C (0,﹣2),
∴OA=4,OB=1,OC=2,∴AB=5,AC= ,BC= ,∴AC2+BC2=25=AB2,
∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.
∵AE=2t,AF= t,∴ .
又∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,∴∠AEF=∠ACB=90°,
∴△AEF沿EF翻折后,点A落在x轴上点D处;
由翻折知,DE=AE,∴AD=2AE=4t,EF= AE=t.
假设△DCF为直角三角形,当点F在线段AC上时:
ⅰ)若C为直角顶点,则点D与点B重合,如图2,
∴AE= AB= t= ÷2= ;
ⅱ)若D为直角顶点,如图3.
∵∠CDF=90°,∴∠ODC+∠EDF=90°.
∵∠EDF=∠EAF,∴∠OBC+∠EAF=90°,
∴∠ODC=∠OBC,∴BC=DC.
∵OC⊥BD,
∴OD=OB=1,
∴AD=3,
∴AE= ,
∴t= ;
当点F在AC延长线上时,∠DFC>90°,△DCF为钝角三角形.
综上所述,存在时刻t,使得△DCF为直角三角形,t= 或t= .
②ⅰ)当0<t≤ 时,重叠部分为△DEF,如图1、图2,∴S= ×2t×t=t2;
ⅱ)当<t≤2时,设DF与BC相交于点G,则重叠部分为四边形BEFG,如图4,
过点G作GH⊥BE于H,
设GH=m,则BH= ,DH=2m,∴DB= .
∵DB=AD﹣AB=4t﹣5,∴ =4t﹣5,∴m= (4t﹣5),
∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣(4t﹣5)× (4t﹣5)= ;
ⅲ)当2<t≤ 时,重叠部分为△BEG,如图5.
∵BE=DE﹣DB=2t﹣(4t﹣5)=5﹣2t,GE=2BE=2(5﹣2t),
∴S= ×(5﹣2t)×2(5﹣2t)=4t2﹣20t+25.
综上所述:.
【解析】【分析】(1)根据已知抛物线的图像经过点A,以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件,列出方程组求出待定系数的值即可。

(2)①由x=0及y=0时,求出点A、B、C三点的坐标,以及线段OA、OB、OC的长,利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形,用含t的代数式表示出线段AD、AE、AF (即DF)的长,则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似,可证得△AEF也是一个直角三角形,及∠AEF是直角;若△DCF是直角三角形,可分成三种情况讨论:
i)点C为直角顶点,由于△ABC恰好是直角三角形,且以点C为直角顶点,所以此时点B、D重合,由此得到AD的长,进而求出t的值;
ii)点D为直角顶点,此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角,由此可证得OB=OD,再得到AD的长后可求出t的值;
iii)、点F为直角顶点,当点F在线段AC上时,∠DFC是锐角,而点F在射线AC的延长线上时,∠DFC又是钝角,所以这种情况不符合题意.
②此题需要分三种情况讨论:
i)当点E在点A与线段AB中点之间时,即当0<t≤,两个三角形的重叠部分是整个△DEF;
ii)当点E在线段AB中点与点O之间时,即<t≤2时,重叠部分是个不规则四边形,根据S=S△DEF﹣S△DBG可求解。

iii)当点E在线段OB上时,即2<t≤时,重叠部分是个小直角三角形,根据三角形的面积公式,即可求解。

2.定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=3,MN=4求BN的长;
(2)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图2所示,请在BC上画一点D,使C,D 是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可);
(3)如图3,正方形ABCD中,M,N分别在BC,DC上,且BM≠DN,∠MAN=45°,AM,AN分别交BD于E,F.
求证:①E、F是线段BD的勾股分割点;
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍.
【答案】(1)解:(1)①当MN为最大线段时,
∵点M,N是线段AB的勾股分割点,
∴BM= = = ,
②当BN为最大线段时,
∵点M,N是线段AB的勾股分割点,
∴BN= = =5,
综上,BN= 或5;
(2)解:作法:①在AB上截取CE=CA;
②作AE的垂直平分线,并截取CF=CA;
③连接BF,并作BF的垂直平分线,交AB于D;
点D即为所求;如图2所示.
(3)解:①如图3中,将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH,连接HE.
∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°,∠DAF=∠BAH,
∴∠EAH=∠EAF=45°,
∵EA=EA,AH=AF,
∴△EAH≌△EAF,
∴EF=HE,
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD,
∴∠HBE=90°,
在Rt△BHE中,HE2=BH2+BE2,
∵BH=DF,EF=HE,
∵EF2=BE2+DF2,
∴E、F是线段BD的勾股分割点.
②证明:如图4中,连接FM,EN.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,∠BDC=∠ADB=45°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=∠EDN,∵∠AFE=∠FDN,
∴△AFE∽△DFN,
∴∠AEF=∠DNF,,
∴,∵∠AFD=∠EFN,
∴△AFD∽△EFN,
∴∠DAF=∠FEN,
∵∠DAF+∠DNF=90°,
∴∠AEF+∠FEN=90°,
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形,
同理△AFM是等腰直角三角形;
∵△AEN是等腰直角三角形,同理△AFM是等腰直角三角形,
∴AM= AF,AN= AE,
∵S△AMN= AM•AN•sin45°,
S△AEF= AE•AF•sin45°,
∴ =2,
∴S△AMN=2S△AEF.
【解析】【分析】(1)此题分两种情况:①当MN为最大线段时,②当BN为最大线段时,根据线段的勾股分割点的定义,利用勾股定理分别得出BM的长;
(2)利用尺规作图,将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中,①在AB上截取CE=CA;②作AE的垂直平分线,并截取CF=CA;这样的作图可以保证直角的出现,及AC 是一条直角边,③连接BF,并作BF的垂直平分线,交AB于D;这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,即BD=DF,从而实现将三条线段转化到同一
直角三角形的目的;
(3)①如图3中,将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH,连接HE.根据正方形的性质及旋转的性质得出∠EAH=∠EAF=45°,AH=AF,利用SAS判断出△EAH≌△EAF,根据全等三角形对应边相等得出EF=HE,根据正方形的每条对角线平分一组对角,及旋转的性质得出∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD,故∠HBE=90°,在Rt△BHE中,HE2=BH2+BE2,根据等量代换得出结论;②证明:如图4中,连接FM,EN.根据正方形的性质及对顶角相等判断出△AFE∽△DFN,根据相似三角形对应角相等,对应边成比例得出∠AEF=∠DNF, AF∶DF =EF∶FN ,根据比例的性质进而得出AF∶EF =DF∶FN,再判断出△AFD∽△EFN,根据相似三角形对应角相等得出∠DAF=∠FEN,根据直角三角形两锐角互余,及等量代换由∠DAF+∠DNF=90°,得出∠AEF+∠FEN=90°,即∠AEN=90°,从而判断出△AEN是等腰直角三角形,同理△AFM是等腰直角三角形;根据等腰直角三角形的边之间的关系AM= AF,AN= AE,从而分别表示出S△AMN与S△AEF,求出它们的比值即可得出答案。

3.如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
(1)球在地面上的影子是什么形状?
(2)当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?
(3)若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?
【答案】(1)解:球在地面上的影子的形状是圆.
(2)解:当把白炽灯向上平移时,影子会变小.
(3)解:由已知可作轴截面,如图所示:
依题可得:OE=1 m,AE=0.2 m,OF=3 m,AB⊥OF于H,
在Rt△OAE中,
∴OA= = = (m),
∵∠AOH=∠EOA,∠AHO=∠EAO=90°,
∴△OAH∽△OEA,
∴,
∴OH= == (m),
又∵∠OAE=∠AHE=90°,∠AEO=∠HEA,
∴△OAE∽△AHE,
∴ = ,
∴AH= ==2625 (m).
依题可得:△AHO∽△CFO,
∴ AHCF=OHOF ,
∴CF= AH⋅OFOH = 2625×32425=64 (m),
∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).
答:球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【解析】【分析】(1)球在灯光的正下方,根据中心投影的特点可得影子是圆.
(2)根据中心投影的特点:在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远的物体它的影子长;所以白炽灯向上移时,阴影会逐渐变小.
(3)作轴截面(如图)由相似三角形的判定得三组三角形相似,再根据相似三角形的性质对应边成比例,可求得阴影的半径,再根据面积公式即可求出面积.
4.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上的中点,Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.
(1)如图1,若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC,分别交AC、BC于点M、N,
易证EM=EN;如图2,若点D与点E重合,将△EFG绕点D旋转,则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明,不相等请说明理由;
(2)将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α(0∘<α<45∘). 如图2,在旋转过程中,当∠MDC=15∘时,连接MN,若AC=BC=2,请求出线段MN的长;
(3)图3, 旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合),当AB=3AE 时,线段EM与EN的数量关系是________;当AB=m·AE时,线段EM与EN的数量关系是________.
【答案】(1)解:EM=EN;原因如下:
∵∠ACB=90° AC=BC D是AB边上的中点
∴DC=DB ∠ACD=∠B=45°∠CDB=90°
∴∠CDF+∠FDB=90°
∵∠GDF=90°∴∠GDC+∠CDF=90°∴∠CDM=∠BDN
在△CDM和△BDN中
∠MCD=∠B,DC=DB,∠CDM=∠BDN,
∴△CDM≌△BDN ∴DM=DN 即EM=EN
(2)解:作DP⊥AC于P,则
∠CDP=45° CP=DP=AP=1
∵∠CDG=15°∴∠MDP=30°
∵cos∠MDP=
∴DM=, DM=DN,
∵△MND为等腰直角三角形
∴MN=
(3)NE=2ME;EN=(m-1)ME
【解析】【解答】解:(3)NE=2ME,EN=(m-1)ME 证明:如图3,过点E作EP⊥AB交AC于点P
则△AEP为等腰直角三角形,∠PEB=90°
∴AE=PE ∵AB=3AE ∴BE=2AE ∴BE=2PE
又∵∠MEP+∠PEN=90°
∠PEN+∠NEB=90°
∴∠MEP=∠NEB
又∵∠MPE=∠B=45°
∴△PME∽△BNE
∴,即EN=2EM
由此规律可知,当AB=m·AE时,EN=(m-1)·ME
【分析】(1)EM=EN;原因如下:根据等腰直角三角形的性质得出DC=DB ∠ACD=∠B=45°∠CDB=90°根据同角的余角相等得出∠CDM=∠BDN,然后由ASA判断出△CDM≌△BDN 根据全等三角形的对应边相等得出DM=DN 即EM=EN;
(2)根据等腰直角三角形的性质得出∠CDP=45°CP=DP=AP=1,根据角的和差得出
∠MDP=30°,根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值,由cos∠MDP=得出DM的长,又DM=DN,故△MND为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质即可得出MN 的长;
(3)NE=2ME,EN=(m-1)ME,如图3,过点E作EP⊥AB交AC于点P,则△AEP为等腰直角三角形,∠PEB=90°,根据同角的余角相等得出∠MEP=∠NEB然后判断出△PME∽△BNE,根据相似三角形对应边成比例即可得出u结论,由此规律可知,当AB=m·AE时,EN=(m-1)·ME
5.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),点P 是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线PQ,过点A作AQ⊥PQ于点Q,连接AP.
(1)填空:抛物线的解析式为________,点C的坐标________;
(2)点P在抛物线上运动,若△AQP∽△AOC,求点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(-1,0)
(2)解:∵点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(-1,0),∴.
∵点P的横坐标为m,∴P(m,﹣m2+3m+4).
①当点P在直线AQ下方时,QP=4-(﹣m2+3m+4)= m2-3m,
由△AQP∽△AOC得:,即:,
∴(舍去)或.
当时,﹣m2+3m+4=,此时点P的坐标为();
②当点P在直线AQ上方时,PQ=﹣m2+3m+4-4=﹣m2+3m,
由△AQP∽△AOC得:,即:,
∴=0(舍去)或=,此时P点坐标为().
综上所述:点P的坐标为()或().
【解析】【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),
∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+3x+4.
令y=0,得:﹣x2+3x+4=0,解得:x=4或x=-1,∴点C的坐标为(-1,0).
【分析】(1)根据题意,将A,B两点的坐标代入到解析式中,分别求出b,c,可以求出抛物线的解析式;
(2)C为x轴上的交点,令y=0,通过解一元二次方程,解得C点坐标。

6.如图,Rt△AOB在平面直角坐标系中,已知:B(0,),点A在x轴的正半轴上,OA=3,∠BAD=30°,将△AOB沿AB翻折,点O到点C的位置,连接CB并延长交x轴于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)动点P从点D出发,以每秒2个单位的速度沿x轴的正方向运动,当△PAB为直角三角形时,求t的值;
(3)在(2)的条件下,当△PAB为以∠PBA为直角的直角三角形时,在y轴上是否存在一点Q使△PBQ为等腰三角形?如果存在,请直接写出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:∵B(0,),
∴OB= .
∵OA= OB,
∴OA=3,
∴AC=3.
∵∠BAD=30°,
∴∠OAC=60°.
∵∠ACD=90°,
∴∠ODB=30°,
∴ = ,
∴OD=3,
∴D(﹣3,0);
(2)解:∵OA=3,OD=3,∴A(3,0),AD=6,
∴AB=2 ,当∠PBA=90°时.
∵PD=2t,
∴OP=3﹣2t.
∵△OBA∽△OPB,
∴OB2=OP•OA,
∴3﹣2t= =1,解得t=1,当∠APB=90°时,则P与O重合,∴t= ;
(3)解:存在.
①当BP为腰的等腰三角形.
∵OP=1,∴BP= =2,
∴Q1(0, +2),Q3(0. ﹣2);
②当PQ2=Q2B时,设PQ2=Q2B=a,
在Rt△OPQ2中,12+(﹣x)2=x2,解得x= ,
∴Q2(0,);
③当PB=PQ4时,Q4(0,﹣)
综上所述:满足条件的点Q的坐标为Q1(0, +2),Q2(0,),Q3(0. ﹣2),Q4(0,﹣).
【解析】【分析】(1)根据已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度数,进而求得∠ADC,即可求得D的坐标;(2)根据直角三角形的判定,分两种情况讨论求得;(3)求得PB 的长,分四种情形讨论即可解决问题.
7.在平面直角坐标系中,点 A 点 B 已知满足
.
(1)点A的坐标为________,点B的坐标为________;
(2)如图1,点E为线段OB上一点,连接AE,过A作AF⊥AE,且AF=AE,连接BF交轴于点D,若点D(-1,0),求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,如图2,过E作EH⊥OB交AB于H,点M是射线EH上一点(点M不在线段EH上),连接MO,作∠MON=45°,ON交线段BA的延长线于点N,连接MN,探究线段MN与OM的关系,并说明理由。

【答案】(1)(-4,0);(0,-4)
(2)解:作FH⊥OA于H,
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°,
∴∠FAH+∠OAE=90°,∠FAH+∠AFH=90°,∴∠AFH=∠OAE,
∵AF=OA,
∴△AFH≌△EAO,
∴FH=OA,
∵点A(-4,0),点B(0,-4)
∴FH=OA=OB=4,
∵∠FHD=∠BOD=90°,∠FDH=∠BDO,
∴△FDH≌△BDO,
∴OD=DH=1,
∴AH=OH=OE=2,
∴E(0,-2)
(3)解:结论:MN=OM,MN⊥OM,
理由:连接OH,OM与BN交于G,
∵OA=OB,∠AOB=45°,
∴∠OAB=45°
∵OE=EB=2,EH∥OA,
∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°,
∵∠MON=45°
∴∠GON=∠GHM,
∵∠NGO=∠MGH,
∴△NGO∽△MGH,
∴ = ,
∴ = ,
∵∠NGM=∠OGH,
∴△NGM∽△OGH,
∴∠NMG=∠OHG=90°,
∴△OMN是等腰直角三角形
∴MN=OM,MN⊥OM.
【解析】【解答】(1)∵ =0,
∴a=-4,b=-4,
∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,-4)
【分析】(1)先将式子变形为完全平方公式的形式,再根据平方的非负性求解;(2)如图1中,作FH⊥OA于H,由△AFH≌△EAO,推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出
AH=OH=OE=2;(3)连接OH,OM与BN交于G,由△NGO∽△MGH,推出 = ,再推出
= ,再得出△NGM∽△OGH,推出∠NMG=∠OHG=90°,推出△OMN是等腰直角三角形即可解决问题.
8.如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(-3,0)。

动点M,N 同时从A点出发,M沿A→C,N沿折线A→B→C,均以每秒1个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点C时,另一个动点也随之停止移动,移动时间记为t秒。

连接MN。

(1)求直线BC的解析式;
(2)移动过程中,将△AMN沿直线MN翻折,点A恰好落在BC边上点D处,求此时t值及点D的坐标;
(3)当点M,N移动时,记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S,求S关于时间t的函数关系式。

【答案】(1)解:设直线BC解析式为:y=kx+b,∵B(0,4),C(-3,0),
∴,
解得:
∴直线BC解析式为:y= x+4.
(2)解:依题可得:AM=AN=t,
∵△AMN沿直线MN翻折,点A与点点D重合,∴四边形AMDN为菱形,
作NF⊥x轴,连接AD交MN于O′,
∵A(3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB=5,
∴M(3-t,0),
又∵△ANF∽△ABO,
∴ = = ,
∴ = = ,
∴AF= t,NF= t,
∴N(3- t, t),
∴O′(3- t, t),
设D(x,y),
∴ =3- t, = t,
∴x=3- t,y= t,
∴D(3- t, t),
又∵D在直线BC上,
∴ ×(3- t)+4= t,
∴t= ,
∴D(- ,).
(3)①当0<t≤5时(如图2),
△ABC在直线MN右侧部分为△AMN,
∴S= = ·AM·DF= ×t× t= t ,
②当5<t≤6时,△ABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM,如图3
∵AM=AN=t,AB=BC=5,
∴BN=t-5,CN=-5-(t-5)=10-t,
又∵△CNF∽△CBO,
∴ = ,
∴ = ,
∴NF= (10-t),
∴S= - = ·AC·OB- ·CM·NF,
= ×6×4- ×(6-t)× (10-t),
=- t + t-12.
【解析】【分析】(1)设直线BC解析式为:y=kx+b,将B、C两点坐标代入即可得出二元一次方程组,解之即可得出直线BC解析式.(2)依题可得:AM=AN=t,根据翻折性质得四边形AMDN为菱形,作NF⊥x轴,连接AD交MN于O′,结合已知条件得M(3-t,0),
又△ANF∽△ABO,根据相似三角形性质得 = = ,
代入数值即可得AF= t,NF= t,从而得N(3- t, t),根据中点坐标公式得O′(3- t,
t),
设D(x,y),再由中点坐标公式得D(3- t, t),又由D在直线BC上,代入即可得D点坐标.(3)①当0<t≤5时(如图2),△ABC在直线MN右侧部分为△AMN,根据三角形面积公式即可得出S表达式.
②当5<t≤6时,△ABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM,由△CNF∽△CBO,根据相似三角形性质得 = ,代入数值得NF= (10-t),最后由S= - = ·AC·OB- ·CM·NF,代入数值即可得表达式.
9.问题提出;
(1)如图1,矩形ABCD,AB=4,BC=8,点E为CD的中点,点P为BC上的动点,CP=________时,△APE的周长最小.
(2)如图2,矩形ABCD,AB=4,BC=8,点E为CD的中点,点P、点Q为BC上的动点,且PQ=2,当四边形APQE的周长最小时,请确定点P的位置(即BP的长)
问题解决;
(3)如图3,某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部(不包括边界)点P处修一个凉亭,设计要求PA长为100米,同时点M,N分别是水域AB,AC边上的动点,连接P、M、N的水上浮桥周长最小时,四边形AMPN的面积最大,请你帮忙算算此时四边形AMPN面积的最大值是多少?
【答案】(1)
(2)解:点A向右平移2个单位到M,点E关于BC的对称点F,连接MF,交BC于Q,此时MQ+EQ最小,
∵PQ=3,DE=CE=2,AE=2 ,
∴要使四边形APQE的周长最小,只要AP+EQ最小就行,
即AP+EQ=MQ+EQ,过M作MN⊥BC于N,
∴MN∥CD
∴△MNQ∽△FCQ,


∴NQ=4
∴BP=BQ﹣PQ=4+2﹣2=4
(3)解:如图,作点P关于AB的对称点G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB,AC于点M,N,此时△PMN的周长最小.
∴AP=AG=AH=100米,∠GAM=∠PAM,∠HAN=∠PAN,
∵∠PAM+∠PAN=60°,
∴∠GAH=120°,且AG=AH,
∴∠AGH=∠AHG=30°,
过点A作AO⊥GH,
∴AO=50米,HO=GO=50 米,
∴GH=100 米,
∴S△AGH= GH×AO=2500 平方米,
∵S四边形AMPN=S△AGM+S△ANH=S△AGH﹣S△AMN,
∴S△AMN的值最小时,S四边形AMPN的值最大,
∴MN=GM=NH=时
∴S四边形AMPN=S△AGH﹣S△AMN=2500 ﹣=平方米.
【解析】【解答】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°=∠ABC,AB=CD=4,BC=AD=8,
∵E为CD中点,
∴DE=CE=2,
在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE===2 ,
即△APE的边AE的长一定,
要△APE的周长最小,只要AP+PE最小即可,
延长AB到M,使BM=AB=4,则A和M关于BC对称,
连接EM交BC于P,此时AP+EP的值最小,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴△ECP∽△MBP,


∴CP=
故答案为:
【分析】(1)延长AB到M,使BM=AB,则A和M关于BC对称,连接EM交BC于P,此时AP+EP的值最小,根据勾股定理求出AE长,根据矩形性质得出AB∥CD,推出△ECP∽△MBP,得出比例式,代入即可求出CP长;(2)点A向右平移2个单位到M,点E关于BC的对称点F,连接MF,交BC于Q,要使四边形APQE的周长最小,只要AP+EQ最小就行,证△MNQ∽△FCQ即可求BP的长;(3)作点P关于AB的对称点G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB,AC于点M,N,此时△PMN的周长最小.S四=S△AGM+S△ANH=S△AGH-S△AMN,即S△AMN的值最小时,S四边形AMPN的值最大.
边形AMPN
10.如图1,在△ABC中,在BC边上取一点P,在AC边上取一点D,连AP、PD,如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似,我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”.
(1)如图2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°,△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”,且AD=DP,∠PAC=∠BPD,则∠PAC的度数是________;
(2)如图3,在△ABC中,∠A=2∠C,在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”,请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”,并说明理由;
(3)如图4,在Rt△ABC中AB=AC=2,△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”,请写出AD长度的所有可能值.
【答案】(1)30°
(2)解:如图3中,△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”,
理由:作∠BAC的平分线AP交BC于P,作PD∥AB交AC于D,
∴∠BAP=∠PAD=∠DPA,∠CPD=∠B,
∴DP=DA,
∵∠CAB=2∠C,
∴∠BAP =∠C,
∴△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似,
∴△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”
(3)解:如图3′中,当DA=DP时,设∠APD=∠DAP=x,
①若∠BPD=∠CAP=90°-x,∠BDP=∠CPA=2x,
∴90°-x+2x+x=180°,
∴x=45°,
∴三角形都是等腰直角三角形,易知AD=1;
②若∠PDB=∠CAP时,设∠APD=∠DAP=x,
得到∠PDB=∠CAP=2x,易知x=30°,
设AD=a,则AP=
∵△BPD∽△CPA,
∴,即,
解得,
如图4中,当PA=PD时,易知∠PDB是钝角,∠CAP是锐角,
∴∠PDB=∠CPA,则△BPD≌△CPA,
设AD=a,则BD=2-a,,AC=2,

解得a= ,
如图5中,当AP=AD时,设∠APD=∠ADP=x,则∠DAP=180°-2x,易知∠PDB为钝角,∠CAP为锐角,
∴∠PDB=∠CPA=180°-x,∠CAP=90°-∠DAP=90°-(180°-2x)=2x-90°,
在△APC中,2x-90°+180°-x+45°=180°,
解得x=45°,不可能成立.
综上所述.AD的长为1或或
【解析】【解答】(1)解:如图2中,
∵AB=AC,DA=DP,
∴∠B=∠C,∠DAP=∠DPA,
∵∠PAC=∠BPD,
∴∠APC=∠BDP=∠DAP+∠DPA,
∵∠APC=∠B+∠BAP,
∴∠B=∠PAB=50°,
∵∠BAC=180°−50°−50°=80°,
∴∠PAC=30°
故答案为30°
【分析】(1)根据等边对等角和三角形外角的性质证明∠B=∠PAB即可解决问题.(2)如图3中,作∠BAC的平分线AP交BC于P,作PD∥AB交AC于D,根据平行线的性质和角平分线定义可得∠BAP=∠PAD=∠DPA,∠CPD=∠B,结合∠A=2∠C可证△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似,即可解决问题.(3)分三种情形讨论:如图3′中,当DA=DP时;如图4中,当PA=PD时;如图5中,当AP=AD时;分别求解即可解决问题.
11.如图,半径为4且以坐标原点为圆心的圆O交x轴,y轴于点B、D、A、C,过圆上的动点不与A重合作,且在AP右侧.
(1)当P与C重合时,求出E点坐标;
(2)连接PC,当时,求点P的坐标;
(3)连接OE,直接写出线段OE的取值范围.
【答案】(1)解:当P与C重合时,
,的半径为4,且在AP右侧,

点坐标为;
(2)解:如图,作于点F,
为的直径,


∽,


,,

点P的坐标为或;
(3)解:如图,连结OP,OE,AB,BE,AE,
,都为等腰直角三角形,
,,

∽,



【解析】【分析】当P与C重合时,因为,的半径为4,且在AP右侧,所以,所以E点坐标为;作
于点F,证明∽,可求得CF长,在中求得PF的长,进而得出点P的坐标;连结OP,OE,AB,BE,AE,证明∽,可得,根据,即可得出OE的取值范围.
12.如图1,在四边形ABCD中,∠DAB被对角线AC平分,且AC2=AB•AD,我们称该四边形为“可分四边形”,∠DAB称为“可分角”.
(1)如图2,四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,求证:△DAC∽△CAB.(2)如图2,四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,则∠DAB=________°
(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,且AC=4,BC=2,∠D=90°,求AD的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,
∴AC2=AB•AD,
∴,
∵∠DAB为“可分角”,
∴∠CAD=∠BAC,
∴△DAC∽△CAB
(2)120
(3)解:∵四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,
∴AC2=AB•AD,∠DAC=∠CAB,
∴AD:AC=AC:AB,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠D=∠ACB=90°,
∴AB=,
∴AD= .
故答案为 .
【解析】【解答】(2)解:如图所示:
∵AC平分∠DAB,
∴∠1=∠2,
∵AC2=AB•AD,
∴AD:AC=AC:AB,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠D=∠4,
∵∠DCB=∠DAB,
∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1,
∵∠1+∠D+∠3=∠1+∠4+∠3=180°,
∴∠1+2∠1=180°,
解得:∠1=60°,
∴∠DAB=120°;
故答案为:120;
【分析】(1)根据“可分四边形”的定义,可得AC2=AB•AD,从而可得,根据对应边成比例且夹角相等可证△DAC∽△CAB ;
(2)根据对应边成比例且夹角相等可证△ADC∽△ACB,可得∠D=∠4,由∠DCB=∠3+∠4=2∠1,根据三角形内角和可得∠1+∠D+∠3=∠1+∠4+∠3=∠1+2∠1=180°,求出∠1=60°,从而求出∠DAB的度数;
(3)先证△ADC∽△ACB,可得∠D=∠ACB=90°,利用勾股定理求出AB=,由AC2=AB•AD,即可求出AD的长.。

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